Однако сделанный нами первый шаг еще далек от осуществления этого перехода.

С одной стороны, простой игре может соответствовать более одного* символа [wi, . . . , wn]. В действительности, каждой простой игре, которой соответствует хотя бы один символ, соответствует бесконечно много символов С другой стороны, мы не знаем, всем ли простым играм соответствуют такие символы 2).

Мы начнем с рассмотрения первого пробела. Так как одной простой игре могут соответствовать различные символы [wi, . . ., wn], некоторая естественная процедура должна выделять какой-нибудь конкретный символ среди остальных по какому-нибудь удобному принципу выбора. Желательно определить в этом принципе такие требования, которые повышали бы значимость и полезность компонент w±, . . ., wn.

Начнем с нескольких предварительных рассмотрений. Условия (50:1) и (50:2) приводят к рассмотрению разности

(50:6) as = 2 т- 2 и>*=2 *>i- 2 и> -

i£S г=1 i£S i£-S

Это число as выражает, насколько коалиция S перевешивает своих противников, сколь велико ее взвешенное большинство. Непосредственна можно получить следующие свойства: (50:С) as = -a s.

Доказательство. Воспользуемся последней формой (50:6) для as-

(50:D:a) as > 0 тогда и только тогда, когда S принадлежит W. (50:D:b) as < 0 тогда и только тогда, когда S принадлежит L. 50:D:c) as = 0 невозможно.

Доказательство. (50:D:a) справедливо по определению. (50:D:b) вытекает непосредственно из (50:D:a) и (50:С). (50:D:c) следует непосредственно из (50: D:а) и (50:D:b), так как W и L исчерпывают все возможные S. Оно также совпадает с (50:В:Ь).

50.2.2. Теперь естественно попытаться установить веса Wi, . . ., wn так, чтобы количество as, которое гарантирует победу, было одним и тем же для каждой выигрывающей коалиции. Нерационально было бы, однако, требовать этого фактически для всех S из W. Если S принадлежит W, то любое его надмножество Т также принадлежит W, и для них возможно ат > as 3). Так как такое Т содержит участников, которые для выигрыша не обязательны, представляется естественным ими пренебрегать. Это значит, что мы требуем постоянства as только для тех S из W, которые не являются собственными надмножествами других элементов из W. В терминологии, введенной в п. 49.6.3, это выглядит так: требуется, чтобы as было постоянным для минимальных элементов W, т. е. для элементов Wm>

Согласно этому мы вводим определение.

(50:E)j Веса Wi, . . ., wn называются однородными, если d~s из (50:6) имеют общее значение, обозначаемое через а для всех S из Wm~

*) Очевидно, что достаточно малые изменения wt не нарушают справедливости (50:1), в частности, потому, что (50:5) исключается по (50:В:Ь).

2) Мы увидим в п. 53.2, что некоторым простым играм не соответствуют символы.

3) Так, например, Т = I з S, ат > а$, кроме случая, когда wt = 0 для i, не-принадлежащих S.

Всегда, когда (50:Е) выполняется, мы будем вместо [г#4, . . ., wn] писать [wt, . . wn]h.

Ясно, что а > 0. Общий положительный множитель не влияет на существенные свойства . . ., wn; поэтому в случае однородности мы можем воспользоваться этим для окончательной нормировки, полагая а = 1.

В заключение заметим, что игры, упомянутые в конце п. 50.1.3, однородны и нормированы с а = 1. Это - чисто] мажоритарные игры нечетного числа участников [1, . . ., 1] и игра, соответствующая вершине / куба Q [1, 1, 1, 2]. Эти игры могут быть соответственно записаны как [1, . . ., l]h и [1, 1, 1, 2]h. Действительно, читатель легко проверит, что в обоих случаях а = 1 для всех S £ Wm.

50.3. Более прямое использование понятия дележа при образовании решений

50.3.1. Однородный случай, введенный выше, тесно связан с обычным экономическим понятием дележа. Сейчас мы предполагаем это показать.

Скажем более точно. Мы определили в п. 30.1.1 общее понятие дележей и построили с его помощью понятие решений. При образовании их мы руководствовались теми же принципами оценки, которые используются в экономике, и поэтому следует ожидать некоторой связи с обычным экономическим понятием дележа. Однако наши рассмотрения увели нас довольно далеко от этого понятия. Особенно это относится к тем построениям, которые были необходимы, когда мы обнаружили, что именно множества дележей, т. е. решения, а не отдельные дележи должны быть предметом нашей теории. Теперь окажется, что для некоторых простых игр связь с обычным экономическим понятием дележа может быть установлена несколько более прямо. Можно сказать, что для этих игр частного вида связь между таким примитивным понятием и нашими решениями может быть установлена непосредственно. Фактически это даст простой метод для нахождения некоторого частного решения в каждой из этих игр.

50.3.2. Эти два понятия решения, т. е. эти две процедуры, эффективно дополняют друг друга. Обычное экономическое понятие дает нам полезные предположения относительно вида некоторого решения. После этого можно воспользоваться математической теорией для определения искомого решения и пополнения требований, формулируемых при традиционном подходе (см. п. 50.4, с одной стороны, и п. 50.5 и следующие,- с другой).

Эти рассмотрения служат также и другой цели. Они с большой ясностью выявляют ограничения обычного подхода. Обычный подход приложим в этой форме только для простых игр, но даже и здесь не всегда и не без помощи нашей математической теории. Кроме того, он не выявляет всех решений в тех играх, к которым он применяется. (Дальнейшие замечания по этому поводу встретятся в ходе обсуждений и, в частности, в п. 50.8.2.)

В связи с этим мы снова подчеркиваем, что любая игра является моделью возможной социальной или экономической организации и любое решение является возможной устойчивой нормой поведения в ней. Как игры, так и решения не исчерпываются упомянутым методом, т. е. неулучшенным экономическим понятием дележа. Будет показано, что те простые игры, которые могут быть обработаны этим частным методом, тесно связаны с однородными взвешенными мажоритарными играми, обобщением зкоторых они являются.

50.4.1. Рассмотрим простую игру Г, которую мы будем считать нормированной с у = 1, но на которую мы не будем налагать никаких дальнейших ограничений. Попытаемся рассмотреть ее с точки зрения обычных экономических идей, не привлекая нашей систематической теории.

Ясно, что в этой игре единственной целью игроков является образование выигрывающей коалиции, и как только минимальная коалиция такого сорта образована, у ее участников не будет никаких мотивов привлекать дополнительных членов. Поэтому можно предположить, что минимальные выигрывающие коалиции S £ Wm - это как раз те структуры, которые следует создавать. Следовательно, правдоподобно предположение, что судьба игрока предоставляет ему только две существенные альтернативы: либо ему удается присоединиться к одной из желательных коалиций, либо нет. В последнем случае он проигрывает и потому получает сумму - 1. В первом случае он преуспевает, и согласно обычным представлениям нужно приписать этому успеху некоторое численное значение. Это значение может оказаться различным для различных игроков. Для игрока i мы обозначим его через-1 так что xt есть разность между

проигрышем и успехом для игрока i х).

50.4.2. Сформулируем теперь ограничения, которые должны быть наложены на эти хх, . . ., хп в ходе обычного экономического рассмотрения. *

Первое. Для каждого значения х% необходимо

(50:7) xtO.

Второе. Если окажется, что никакая минимальная выигрывающая коалиция не содержит некоторого игрока i, то для него не существует никаких других альтернатив, кроме значения -1, и поэтому мы можем никакого Xi для него не определять 2).

Третье. Если минимальная выигрывающая коалиция S становится эффективной, то дележ между игроками должен быть следующим. Каждый игрок, не принадлежащий S, получает -1, а каждый игрок из S получает -1 + xt. Сумма этих величин должна равняться 0. Это означает, что

о= 2(-i) + 2 (-!+**)=-*+2 *ь

т. е.

(50:8) %Xi=n.

В нашей системе обозначений это распределение описывается вектором а={аи . . .*, ап} с компонентами

[ -1, если i не принадлежит S,

[ - 1 + хи если i принадлежит S. Обозначим этот вектор через as. Наше первое условие и данное условие фактически устанавливают только то, что as есть дележ в смысле п. 30.1.1.

х) Мы предполагаем здесь, что существует только один способ выигрывания, т. е. что разность xt одна и та же, к какой бы минимальной выигрывающей коалиции игрок ни присоединился. Это правдоподобно, так как в простой игре существует только один вид успеха и каждая коалиция является либо выигрывающей, либо проигрывающей.

2) Для действительно актуальных простых игр таких i не существует, т.е. каждый игрок принадлежит к некоторой минимальной выигрывающей коалиции. См. первое рассмотрение в п. 51.7.1 и (51:0) в 51.7.3.