Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 [ 141 ] 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

50.4.3. Продолжая обычную линию рассуждений, мы хотим теперь определить числа . . ., хп из равенств и неравенств, задаваемых тремя сделанными выше ограничениями. Выполняя это, нужно рассмотреть еще один вопрос. Мы установили в третьем замечании, что S должно быть минимальным выигрывающим подмножеством, т. е. принадлежать Wm. Однако уместен вопрос, все ли множества S из Wm могут быть при этом использованы.

Действительно, настоящая процедура есть не что иное, как обычная процедура определения цен для дополнительных товаров посредством их различного использования г). Здесь эти альтернативные использования могут быть более многочисленными, чем различные рассматриваемые товары, т. е. Wm может иметь больше элементов, чем п 2). В такой ситуации можно ожидать, что некоторые варианты не прибыльны, и включать их в третье ограничение не требуется. В действительности мы уже использовали этот принцип, беря S только из Wm, а не произвольно из W, потому что S из W - Wm (выигрывающие коалиции, отличные от минимальных), явно расточительны. Есть ли у нас гарантия, что все S из Wm должны рассматриваться как эквивалентные по прибыльности? Они, очевидно, не расточительны в упомянутом выше грубом смысле; никакого участника в S, принадлежащем Wm, нельзя удалить, не вызвав поражения. Но, как показывают многочисленные экономические примеры, неприбыльность может возникнуть и менее прямыми путями Таким образом, остается открытым вопрос, о каких S из Wm должна все-таки идти речь в третьем ограничении.

Ясно, однако, что если S из Wm не включено в рассмотрение, т. е. если для него не выполняется

(50:8)

то оно заведомо неприбыльно, вместо = :

(50:9) YiXi>n.

Таким образом, возникает вопрос: по какому именно критерию мы определяем, какие S попадают под третье замечание, т. е. для каких S должно выполняться (50:8). Обозначим множество их через U ( Wm). Тогда (50:9) должно выполняться для S из Wm - U. Таким образом, задача состоит в определении множества U 3).

50.5. Связь с общей теорией. Точная формулировка

50.5.1. Вместо попыток словесного описания посвятим этот пункт возврату к нашей систематической теории. Из утверждения, сделанного в п. 50.4, мы сохраним следующее. Рассмотрим систему минимальных выигрывающих коалиций, т. е. множество U Wm и числа xt. Составим, как в п. 50.4, дележ

as -{af, . . ., a£},

2) В этом случае больше подходит пример услуг. Предметом рассмотрения является здесь общая услуга игрока i внутри коалиции, к которой он присоединился.

2) См. четвертое замечание в 53.1.

3) Было бы грубой ошибкой пытаться определить Wm - U (и, таким образом, U) через (50:9). Это условие не ограничивает достаточным образом хи . . ., хп, а определение этих чисел и есть подлинная цель!

2 Xi = п,

т. е. в (50:8) мы должны иметь знак >



а? =

Г -1, если i не принадлежит S, 1

{ - 1 + #ь если i принадлежит S, J

То, что этот вектор as при S £ U действительно является дележом, выражается, как мы знаем, условиями из п. 50.4:

{50:7) хО,

(50:8) 2*, = n, S£U.

->

Образуем множество V таких as, где S £ U. Мы будем определять, подходят ли эти U ж хг, определяя, является ли V решением в смысле п. 30.1.1.

Далее мы увидим, что результат, который при этом получается, может быть сформулирован словесно и окажется вполне разумным с обычной экономической точки зрения. Однако может возникнуть вопрос, можно ли четко и недвусмысленно установить этот результат обычными процедурами. Это может служить иллюстрацией того, как наша математическая теория служит путеводителем даже для чисто словесных рассуждений при обычном экономическом подходе (см. п. 50.7.1).

50.5.2. Мы приступаем к исследованию, является ли V решением.

Определим сначала, когда некоторый данный дележ р = (р4, . . ., рл)

доминируется данным аг, где Т £ U. Так как игра простая, можно предполагать, что множество S из п. 30.1.1 для этого доминирования принадлежит W (или даже Wm, если учесть (49:1) или (49: J) из п. 49.7.2). Для каждого i £ S должно быть af > Pj - 1; для каждого i, не принадлежащего Т, будет at = -1. Следовательно, S Т. Далее, Т £U Wm, а S £ W; поэтому из S Т следует S = Т. Итак, мы видим: множество S из п. 30.1.1 для этого доминирования должно быть нашим Т. Это Т здесь можно использовать, так как оно принадлежит U Wm W (см. выше).

Следовательно, доминирование ат е- Р означает ai > Pi для i £ Т, т. е.

(50:10) Pf< - 1+xt для i£T.

Обозначим для любого дележа P = {Pi, Рл} множество всех таких i, что

(50:11) Р -1+ ,

-> ->

через /?(Р). Тогда (50:10) устанавливает, что множества R (Р) и Т не пересекаются. Другим способом записи этого будет

{50:12) - Д(Р)=2Г.

Повторяем:

(50:F) aT&-p эквивалентно (50:12).

Из этого мы можем вывести следующее:

<(50:G) Пусть СУ* - множество всех R(I), которые содержат некоторое подмножество, принадлежащее U. Пусть U+ - множе-

ство всех R ( /), для которых -R не принадлежит U*. Тогда р не доминируется никаким элементом из V тогда и только тогда,

когда R (Р) принадлежит U+.



Доказательство. То, что 3 доминируется некоторым элементом из V, т. е. некоторым ат, где Т £ U, означает, что (50:12) выполняется для некоторого Т £ U. Это равносильно тому, что - R ф) £ U*, т. е. что R (Р) $ U+.

Следовательно, R (Р) принадлежит U+ тогда и только тогда, когда

Р не доминируется никаким элементом из V.

50.5.3. Прежде чем перейти к дальнейшему, рассмотрим четыре простых свойства множества U+ из (50: G).

(50:Н:а) U* = U+=.W, если U = Wm.

Доказательство. Предположим, что U = Wm. Тогда U* состоит из тех множеств, которые содержат подмножества, принадлежащие Wm, т. е. минимальные выигрывающие подмножества. Следовательно, U* = W. Операция, которая приводит в (50: G) от U* к U+, является комбинацией преобразований (48:А:а) и (48:А:Ь) из п. 48.2.1. Мы уже тогда заметили, что, когда эти два преобразования применяются к W, они компенсируют друг друга. Следовательно, U* = W дает U+ = W.

(50:H:b) U* - монотонная, a U+ - антимонотонная операция. Иными словами, из Ui U2 следует U* U* и з U%.

Доказательство. Достаточно вспомнить определения из (50:6), чтобы увидеть, что Ut U2 влечет Щ s Щ, а это в свою очередь влечет U* 3 Ui.

(50:Н:с) Для всех наших U Wm выполняется U* W U+.

Доказательство. Комбинируем (50:Н:а) и (50:Н:Ь) (подставляя U, Wm вместо ии U2).

(50:H:d) U* и U+ содержат все надмножества своих элементов.

Доказательство. Для Z7* это очевидно. Рассматриваемое свойство эквивалентно сформулированному в (48:А:с) из п. 48.2.1. (Берем W вместо U*, U+.) Далее, операция, которая приводит в (50: G) от С/* к U+, является комбинацией преобразований (48:А:а) и (48:А:Ь) из п. 48.2.1 (см. доказательство (50:Н:а)). Применение (48:В) из п. 48.2.2 к этим двум преобразованиям показывает, что рассматриваемое свойство сохраняется при переходе от U* к U+.

50.5.4. Заметим, что U* и U+ допускают простую словесную интерпретацию. Если мы знаем о принадлежащих U коалициях только то, что они выигрывающие, то о каких коалициях можно сказать, что они заведомо выигрывающие, а о каких, - что они не являются заведомо проигрывающими?

Первыми являются такие коалиции, которые имеют подмножества, принадлежащие U, т. е. коалиции из U*. Заведомо проигрывающими будут дополнения к ним, т. е. коалиции, не принадлежащие U+. Следовательно, U* есть множество первых упомянутых коалиций, a U+ - множество вторых.

Теперь смысл утверждений (50:Н:а) - (50:Н:с) становится ясным. Для U = Wm все очевидно. Заведомо выигрывающие коалиции в точности



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 [ 141 ] 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227