Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [ 146 ] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

(в /, К). Это преобразование заменяет WT, W&, Wn на LT, £д, LH и обратно. Следовательно, наше утверждение относительно W влечет утверждение относительно L и обратно. Мы собираемся доказать последнее. То, что S принадлежит Ьг, выражается в виде

(51:7) v(£) = 2v((0).

Так как Д и Н суть компоненты, мы имеем v (S) = v (Л) f v (Г). Следовательно, мы можем переписать (51:7):

(51:8) v (R) + v (Г) = 2 v ((/)) + 2 v (( )).

*e# г£Г

То, что Л принадлежит La, & Т принадлежит LH, выражается через (51:9) v(fl) = 2v((0),

(51:10) у(Г) = 2 v((f)).

Утверждение, которое мы должны доказать, есть эквивалентность (51:7) и свойств (51:9), (51:10).

Ясно, что из (51:9) и (51:10) следует (51:7). Обратное верно, так #ак всегда

у(Л) 2 v((0),

v(f) S v((0)

(см. (31:2) из п. 31.1.4).

51.5.2. Мы теперь можем доказать следующее:

(51 :J) Игра Г проста тогда и только тогда, когда из двух ее компо-

нент А и Н одна проста, аРвторая несущественна.

Доказательство. Необходимость. Простота Г означает следующее.

(51:11) Для любого S I верно одно и только одно из следующих двух утверждений:

(51:11:а) S принадлежит Wr,

(51:11 :Ь) S принадлежит Lr.

Положим S = i?U Т (Л с= Т К) и применим (51:1) к (51:11). В результате мы получим следующее:

(51:12) Для любых двух множеств Л / и Т К верно одно и только одно из следующих двух утверждений:

(51:12:а) Л принадлежит W& и Т принадлежит Wn,

(51:12:b) Л принадлежит LA и Т принадлежит £н.

Положим теперь Л = 0 и~Т = К. Тогда Л принадлежит £д, а Т принадлежит Wh- Следовательно, из (51:12:а) будет следовать, что W& и имеют общий элемент Л, а из (51:12:Ь) будет следовать, что Wn и Ья имеют общий элемент Г. В силу (49:Е) из п. 49.3.3 (примененного к А, Н вместо Г), из первого следует несущественность А, а из второго - несущественность Н.



Итак, мы видим:

(51:13) Если Г - простая игра, то либо игра Д, либо Н несущественна.

Достаточность. Предположим, по симметрии, что несущественная игра есть Н. Тогда (49:Е) из п. 49.3.3 показывает, что каждое Т К принадлежит и к ТУН> и к н- Следовательно, мы можем теперь переформулировать характеристику (51:12) простоты Г.

(51:14) Для любого R J верно одно и только одно из следующих двух утверждений:

(51:14:а) R принадлежит W&;

(51:14:Ь) R принадлежит LA.

Это есть в точности утверждение о простоте А. Таким образом, мы видим:

(51:15) Если игра Н (А) несущественна, то простота Г эквивалентна простоте А (Н).

(51:13) и (51:15) завершают доказательство.

51.6. Несущественность, простота и композиция. Рассмотрение эксцесса

51.6. Полезно сравнить (51:J) с (46:А:с) из п. 46.1.1. Мы обнаружили там, что разложимая игра несущественна тогда и только тогда, когда две ее компоненты несущественны. Это значит, что свойство несущественности наследуется при композиции. Это неверно для простоты, которая, как мы знаем, есть простейшая форма существенности. В силу (51:J) разложимая игра не проста, если две ее компоненты просты. (51 :J) показывает, что простая игра А остается простой при композиции тогда и только тогда, когда она объединяется с несущественной игрой Н, т. е. с множеством болванов (см. замечание на стр. 353).

В связи с этим уместны следующие четыре качественных замечания.

Первое. Если простая игра Г получается, как описано выше, добавлением к простой игре А болванов (т. е. несущественной игры Н), то решения Г могут быть непосредственно получены из решений А. Действительно, это описано детально в п. 46.9 х).

Второе. Мы указали в начале п. 49.7, что для простых игр мы используем старую форму теории. Поэтому стоит заметить, что тип композиции, к которому мы пришли (см. предыдущее замечание), есть в точности тот тип, при котором наследуется старая форма теории. (См. конец п. 46.9 или (46:М) в первом замечании из п. 46.10.4.)

Третье. В связи с этим становится также яснее, почему мы должны воздерживаться от рассмотрения эксцессов, отличных от нуля, т. е. новой формы теории jb смысле п. 44.7, для теории простых игр.

Действительно, если бы мы смогли выполнить это успешно, то результаты пп. 46.6 и 46.8 дали бы нам возможность иметь дело со всеми композициями простых игр. Теперь мы увидели, что композиция простых игр не является простой игрой. Другими словами, теория простых игр с произвольным эксцессом захватывала бы косвенно также и непростые игры.

*) Конечно, это как раз то, чего во всяком случае заставляет нас ожидать здравый смысл. Однако неожиданные повороты теории разложения (см., в частности, выводы в п. 46.11) показывают, что небезопасно терять из поля зрения точный результат. В нашем случае п. 46.9 дает строгое обоснование.



Неудивительно поэтому, что мы не можем перейти к этому обобщению 1).

Четвертое. В свете анализа п. 46.10 сделанные выше замечания относительно эксцесса приобретают следующее значение. Они показывают, что понятие простоты не выдерживает общей операции погружения2). Отсюда следует, что методические принципы, рассмотренные в п. 46.10.5, не могут применяться при всех условиях.

51.7. Критерий разложимости в терминах Wm

51.7.1. В п. 51.5 мы обсудили, когда разложимая игра Г проста. Теперь мы возьмемся за обратную проблему, т. е. решим, когда простая игра разложима.

Пусть дана простая игра Г. В дальнейшем окажется важным следующее понятие. Элемент i £ I называется значимым тогда и только тогда, когда он принадлежит некоторому S из Wm 3). Обозначим множество всех значимых элементов, т. е. объединение всех S из Wm, через /0.

Расчленим наши дальнейшие рассуждения на несколько последовательных этапов.

(51 :К) Если игра Г проста и разложима и если ее простой компонентой является А (см. (51 :J) и обозначения из п. 51.5), то Г и А имеют одно и то же Wm.

Доказательство. Согласно (51:1), S = R [) Т (где R J и Т с~ К), принадлежащее получается выбором произвольного

R £ WA и произвольного Т £ WH. Игра Н несущественна (по (51 :J)), поэтому Т £ Wyl есть просто любое Т К (см. доказательство (51:J)). Поэтому S =R\JT минимально (т. е. принадлежит И71), если минимальны R и Т. Это значит, что R принадлежит ТУд и Т = 0, т. е. S = R.

Таким образом, и W% совпадают, т. е. Г и А имеют одно

и то же Wm.

(51 :L) При тех же предположениях, что и в (51 :К), / /0.

Доказательство. ГиА имеют одно и то же Wm (по (51 :К)), а поэтому одни и те же значимые элементы. Следовательно, те элементы из Г, которые образуют 10 являются участниками в игре А, которая образована множеством /.

(51 :М) Предположим только, что игра Г проста. Тогда 10 есть разлагающее множество 4). 10 -компонента А проста, а (/ - /-компонента Н несущественна (см. (51 :J)).

Доказательство. Рассмотрим S = R [] Т, R /0, Т s I ~ 10. Тогда

(51:16) S принадлежит W тогда и только тогда, когда R принадлежит W.

1) В определенном смысле это можно рассматривать как применение методических принципов, упомянутых в сноске 3 на стр. 289.

2) Кроме простого добавления болванов , как указывалось выше.

3) Таким образом, игрок i является значимым, если существует минимальная выигрывающая коалиция, к которой он принадлежит, т. е. существует возможная существенная услуга, которую он может оказать.

Будет показано, что противоположное этому состоит в том, что игрок является болваном (см. конец п. 51.7.3).

Все сказанное относится, конечно, к простым играм.

4) В смысле п. 43.1.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [ 146 ] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227