Таким образом, Wm содержит двухэлементные множества (1,2), (1,3), (1,4), . . ., (1, к + 1) и никаких других. Обозначим эту возможность СИМВОЛОМ Cfc.

52.2.5. Удобно объединить для совместного рассмотрения случаи С0, Си С2, из п. 52.2.2 со случаями Сд, к == 3, . . ., п - 1, из п. 52.2.4.

Тогда мы имеем случаи

Ch, А:=-0, 1, ..., п - 1.

Теперь в случае Ck Wm содержит двухэлементные множества (1,2), . . ., (1, к + 1) и никаких других. Дополнительной перестановкой игроков 1, . . ., п1) мы можем заменить эти множества на (1, п), . . . . . ., (к, п).

Именно в этой форме мы собираемся использовать случаи Ckl к = 0, . . ., п - 1. Теперь СА содержит двухэлементные множества (1, п), . . ., [к, п) и никаких других.

Кроме этих Сй, возможна только альтернатива С* из п. 52.2.3, которую мы оставим без изменения.

52.3. Разложение в случаях С*, Сп-ъ<) Cti-i

52.3.1. Из всех этих альтернатив три могут быть разобраны немедленно: С*, Сп-2, Cn-i.

Пусть имеет место С*. Рассмотрим S I. Если S содержит два или более из элементов 1, 2, 3; например 1, 2, то тогда S з(1,2). (1,2) принадлежит W и, следовательно, S тоже. Если S содержит один или менее из элементов 1, 2, 3, например S не содержит 2,3, то 5 g -(2, 3) (2,3) принадлежит Wn -(2,3) принадлежит L. Следовательно, S также принадлежит L. Итак, мы видим, что W состоит точно из тех S, которые содержат два или более из элементов 1, 2, 3. Поэтому Wm состоит точно из множеств (1, 2), (1, 3), (2, 3)2). Итак, (1, 2, 3) есть для этой игры множество 10 из п. 51.7.

Другими словами, ядро рассматриваемой игры есть игра трех лиц с участниками 1, 2, 3. Ее W состоит из тех же (1,2), (1,3), (2,3). Как уже упоминалось (в последний раз в п. 52.1), эта игра описывается символом [1, 1, Ид. Оставшиеся п - 3 игроков, 4, . . ., п являются болванами .

Итак, мы видим, что случай С* представлен ровно одной игрой, а именно игрой трех лиц [1, 1, 1] с числом болванов , равным п - 3.

52.3.2. Пусть имеет место случай С. Рассмотрим S I. Предположим сначала, что игрок п принадлежит S. Если S не имеет других элементов, то 5 - одноэлементное множество и, следовательно, принадлежит L. Если S имеет другие элементы, скажем & = 1, п - 1, то S з (£, п). Так как (t, п) принадлежит W, то S тоже. Другими словами, если S содержит тг, то ч£ принадлежит W, за исключением случая, когда S = (п). Применяя это к -5, мы получим, что если п не принадлежит S, то S принадлежит W, когда -S не принадлежит W, т. е. тогда и только тогда, когда -S = (п); иными словами S = (1, . . ., п - 1).

1) А именно подстановкой * П \ ; см. п. 28.1.1.

V п, 1, Z, . . ., ть 1/

2) Эти двухэлементные множества принадлежат Wm по определению, но мы показали сейчас, что они исчерпывают VP полностью.

2) Таким образом, двухэлементными множествами Wm являются (1, /г), . . . . . ., (п - 1, п), как и должно быть по определению. Новым фактом является здесь то, что единственный элемент Wm, кроме перечисленных, есть (1, . . ., п - 1).

Заметим, что последнее множество не есть двухэлементное только потому, что п 4.

2) Таким образом, двухэлементными множествами Wm являются (1, тг), . . . . . ., (п - 2, тг), как и должно быть по определению. Новым фактом является то, что единственный элемент Wm, отличный от перечисленных, есть (1, . . ., п - 2).

Для п = 4 последнее множество также двухэлементное, в результате чего изменяется класс игры (он становится С* вместо 6-2> т- е- Съ)-Следовательно, класс Сд 2 непуст только при п 5.

3) Для п 5. Случай Сп-2 пуст для тг = 4. См. предыдущую сноску.

Следовательно, W состоит точно из следующих S: все подмножества, содержащие тг, за исключением (тг), а также множество (1, . . ., п - 1). Легко проверить, что W действительно удовлетворяет требованиям (49:W*), а также что эта игра может быть описана как взвешенная мажоритарная игра. Все игроки 1, . . ., п - 1 имеют одинаковый вес, в то время как игрок п имеет вес, в п - 2 раза больший. Таким образом, эта игра описывается символом [1, . . ., 1, п - 2].

W71 немедленно получается из W. Оно состоит точно из следующих S: (1, тг), . . ., (тг - 1, тг), (1, . . ., тг - 1) х). Легко проверить, что эта игра однородна и нормирована с а = 1. Это значит, что as = 1 (см. п. 50.2) для всех S из этого Wm. Поэтому мы можем написать [1, . . ., 1, п - 2]д.

Итак, мы видим, что случай Сп представлен только одной игрой - игрой п лиц [1, . . ., 1, п - 2]h.

52.3.3. Пусть имеет место случай Сп-.2. Рассмотрим некоторое S L Предположим сначала, что п принадлежит S. Если S не содержит других элементов, кроме, возможно, п - 1, тс) S (п - 1, тг). Но (тг - 1, тг) не принадлежит Wm, а потому и W (по (52:А) из п. 52.2.1). Поэтому S принадлежит L вместе с (тг - 1, тг). Если £ имеет элементы, отличные от тг - 1, скажем i = 1, . . ., тг - 2, то S з (t, п). Множество (£, п) принадлежит W, а поэтому и S принадлежит W. Итак, мы видим, что если п принадлежит S, то S принадлежит W, за исключением случаев S = (п) или S = (п - 1, п). Применяя это к дополнению -S, мы получим, что если п не содержится в S, то S принадлежит W, когда -S = (п) или -S = (п - 1, п), т. е. S = (1, . . ., тг - 1) или (1, . . ., п - 2).

Следовательно, W состоит из следующих множеств S: все подмножества, содержащие тг, за исключением (тг) и (тг - 1, тг); множества (1, . . ., тг - 2) и (1, . . ., тг - 1). Легко проверить, что это W действительно удовлетворяет условиям (49:W*).

Wm немедленно получается из W. Оно состоит из следующих S: (1, тг), . . ., (тг - 2, п) и (1, . . ., тг - 2) 2). Итак, (1, . . ., тг - 2, тг) есть 10 из п. 51.7 для этой игры.

Другими словами, ядро рассматриваемой игры есть игра п - 1-го лица с участниками 1, . . ., п - 2, тг. Ее Wm состоит из (1, тг), ... . . ., (тг - 2, тг), (1, . . ., тг - 2). Таким образом, случай Сп 2 для тг - 1 игроков есть аналог случая Сп для описанного выше случая п игроков. Поэтому эта игра описывается символом [1, . . ., 1, тг - 3]д. Оставшийся тг - 1-й игрок является болваном .

Итак, мы видим следующее.

Случай Сп-2 представлен ровно одной игрой 3) - игрой тг - 1 игроков [1, . . ., 1, тг - 3]/г с одним болваном .

52.4. Простые игры, отличные от [1, . . 1, I - 2]н (с болванами ). Случаи С, к .= 0, 1, . . п - 3

52.4. Результаты п. 52.3 заслуживают дальнейшего рассмотрения и переформулировки. Мы видели, что для каждого Z 4 можно составить однородную взвешенную мажоритарную игру Z игроков [1, . . ., 1, I - 2]h 1). Мы можем составить ее даже при Z = 3. В этом случае игра оказывается чисто мажоритарной игрой трех участников [1, 1, Итак, мы можем пользоваться этим фактом для всех I 3.

Если га > 4, то мы можем получить простую игру га лиц, образуя [1, . . ., 1, Z - 2]h для любого I = 3, . . ., га и добавляя необходимое число болванов .

Результатом п. 52.3 было то, что такая игра при Z = 3, га и га - 1 (для га 2 5) исчерпывает случаи С*, Сп ь Сп 2.

Особенностью этого результата является то, что эти значения I не исчерпывают всех своих возможностей I = 3, . . ., га (см. выше). Точнее говоря, это исчерпание имеет место для га = 4, 5, но не для га 6. Остаются Z = 4, . . ., га - 2 для га 6. 13 чем их смысл?

Ответ состоит в следующем. Рассмотрим игру [1, ... ., 1, Z - 2]и (Z участников) с га - Z болванами . Предположим только, что I = 3, . . . . . ., га и га 4. Wm состоит из (1, Z), . . ., (Z - 1, Z) и (1, . . ., I - 1) 2). Поэтому мы имеем случай С* при I = 3 и случай Сг ! при Z = 4, . . ., га3).

Таким образом, мы имеем в этих играх образцы случаев С*, С3, ... . . ., Сп !. Результат п. 52.3 можно теперь сформулировать так: случаи С*, Сп 2, Сп :1 исчерпываются явными указаниями на соответствующие игры 4).

Переформулируем это утверждение.

(52:В) Мы хотим перечислить все простые игры га лиц для га 4. Игра [1, . . ., 1, Z - 2]h с числом га - Z болванов есть простая игра для всех Z = 3, . . ., га. Эта игра подпадает соответственно под случай С*, С3, . . ., Сп- Все остальные простые игры га лиц (если такие есть) описываются случаями С0\ Сь . . ., Сп 3 5).

52.5. Описание случаев п = 4, 5

52.5.1. Мы рассмотрим полностью случаи значений га = 4, 5 и приведем несколько/характерных примеров для га = 6, 7.

Случай га = 4 разбирается легко. В силу (52:В), при этом га нам нужно проводить исследование только для С0 и С4. В этих случаях W171 содержит не более одного двухэлементного множества. Однако это невозможно, так как дополнение двухэлементного множества есть двухэлементное

г) См. случай Ся 1 с I вместо п.

2) Мы выбрали игроков 1, . . ., I участниками ядра [1, . . ., 1, I - 2], а игроков I + 1, . . ., п - в качестве болванов . Это отличается от соглашения в п. 52.3 для случая Cn-i,- где I = п - 1, а болваном был игрок п - 1,- перестановкой игроков п - 1 и п.

3) Для I = 3 С* можно заменить на С2, так как (1, . . ., I - 1) в этом случае есть двухэлементное множество.

*)7Т образом, С2 пусто при п 4, ибо С2 входит во второй список случаев, но не ходит в первый. См. п. 52.3.

5) Все те случаи, которые нам удалось исчерпать до сих пор, были либо пусты, либо содержали ровно одну игру. Это, однако, в общем случае неверно. См. первое замечание в п. 53.2.1.