х) Используется (52:А) из п. 52.2.1. Далее мы будем пользоваться этим фактом без ссылок.

2) То есть к единственной простой игре трех лиц [1, 1, Пл.

3) То есть к [1,1, 1]ли[1, 1, 1, 2]л.

4) Мы переставили игроков в этих играх (принадлежащих Ct и С2) для того, чтобы иметь возрастающее расположение весов.

множество. Следовательно, в W и в L должно быть одинаковое число двухэлементных множеств, а именно по 3. Итак, W содержит 3 двухэлементных множества, и то же самое верно для W71

Таким образом, единственными простыми играми для п = 4 являются игры из (52:В). Сформулируем это следующим образом.

(52:С) Если пренебречь играми, которые получаются добавлением болванов к простым играм с числом игроков меньше четырех 2), то существует только одна простая игра четырех лиц: [1, 1, 1, 2].

52.5.2. Рассмотрим теперь случай п = 5. В силу (52:В), нам нужно исследовать С0, Си С2. В отличие от гс=4, все они предоставляют конкретные возможности.

С0. Никакое двухэлементное множество не содержится в Wm, а потому и в W. Следовательно, все они содержатся в t, а их дополнения, т. е. трехэлементные множества, в W. Таким образом, W состоит из всех множеств с числом элементов 3, a Wm - из всех трехэлементных множеств. Следовательно, мы имеем дело с чисто мажоритарной игрой tl, 1, 1, 1, lk.

С*. (1,2) есть единственное двухэлементное множество в Wm и тем самым в W. Переходя к дополнениям, мы получим, что (3,4,5) - единственное трехэлементное множество в L, т. е. остальные трехэлементные множества содержатся в W. Таким образом, W состоит из следующих множеств: (1, 2), все трехэлементные множества, кроме (3, 4, 5), все четырех- и пятиэлементные множества. Легко проверить, что это W удовлетворяет условиям (49:W*), а также что Wm состоит из следующих множеств:

(1, 2), (а, Ь, с), где а = 1, 2, а Ь, с равны любым двум из 3, 4, 5.

Теперь легко увидеть, что эта игра описывается символом 12, 2, 1, 1, 11*.

С2. (1, 2) и (1, 3) суть единственные двухэлементные множества в Wm и, следовательно, в W. Переходя к дополнениям, мы получим, что (3, 4, 5) и (2, 4, 5) - единственные трехэлементные множества в L, т. е. остальные трехэлементные множества содержатся в W. Таким образом, W состоит из следующих множеств: (1, 2), (1,3), все трехэлементные множества, кроме (2, 4, 5), (3, 4, 5), все четырех- и пятиэлементные множества. Легко проверить, что это W удовлетворяет (49:W*), а также что W171 состоит из следующих множеств:

(1, 2), (1, 3), (2, 3, 4), (2, 3f 5), (1, 4, 5;.

Теперь легко видеть, что эта игра описывается символом [3# 2, 2, 1, l]/v Таким образом, простыми играми для п = 5 являются эти три игры

и игры из (52:В).

Сформулируем сказанное следующим образом:

(52:D) Если пренебречь играми, которые получаются добавлением болванов к простым играм для п < 5 3), то существуют ровно четыре простые игры пяти лиц: [1, 1, 1, 1, l]h И 1, 1, 2, 2k 4), [1, 1, 2, 2, 31И), [1, 1, 1, 1, 3]л.

§ 53. НОВЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ДЛЯ ПРОСТЫХ ИГР ПРИ Пб 53.1. Закономерности, обнаруженные для Ж б

53.1. Прежде чем идти дальше, выведем некоторые заключения из предыдущего.

Первое. Все простые игры, которые были получены до сих пор, описывались символом [wi, . . ., wn]h, т. е. были однородными взвешенными мажоритарными играми. Возникает вопрос, не будет ли это верным всегда. Как указывалось в сноске 3 на стр. 452, это не так. Первый контрпример получается при п = 6.

Второе. До сих пор каждый класс Ch, содержащий какую-либо игру, содержал только одну игру. Это также нарушается при п = 6. (См. первое замечание в п. 53.2.1.)

Третье. Априори можно было бы думать, что имеет место большая свобода в выборе весов для однородной взвешенной мажоритарной игры. Наш перечень игр (для п < 6) показывает, однако, что эти варианты очень ограничены. Их оказывается по одному для п = 3, 4 и четыре для п = 5 2). Мы подчеркиваем, что, так как наши перечни игр являются исчерпывающими, это есть строго установленный, объективный факт, а не более или менее произвольная особенность нашей процедуры.

Четвертое. Мы можем проверить утверждение сноски 1 на стр. 455 о том, что, в то время как число элементов W определяется числом п (оно равно 2п~1), число элементов Wm для простых игр с одним и тем же п может быть различным. Это явление начинает иметь место с п = 5.

Для п = 3 множество W имеет 4 элемента; W171 в единственном примере имеет 3 элемента. Для п = 4 множество W имеет 8 элементов; Wm в единственном примере имеет 4 элемента. Для п = 5 множество W имеет 16 элементов, a Wm в четырех примерах имеет соответственно 10, 7, 5 и 5 элементов.

Пятое. Мы можем проверить утверждение сноски 2 на стр. 452 о том, что число уравнений (50:8) из пп. 50.4.3, 50.6.2 (с U = Wm) может быть больше числа переменных, и тем не менее решение существует, т. е. существует система дележей в обычном смысле. Первое означает, что Wm имеет больше чем п элементов, а второе, несомненно, есть случай однородной взвешенной мажоритарной игры ((50:К) из п. 50.8.1).

Мы видели выше, что для п = 3, 4 множество Wm имеет п элементов, но для п = 5 Wm может иметь 10 или 7 элементов, и все эти игры суть однородные взвешенные мажоритарные игры 2).

По поводу простых игр, где, таких решений нет, см. пятое замечание в п. 53.2.5.

53.2. Шесть основных контрпримеров (для п = 6, 7)

53.2.1, Мы переходим теперь к п = 6, 7. Полный обзор этих случаев, даже для п = 6, был бы довольно громоздким. По этой причине мы от него отказываемся. Мы приведем только несколько характерных примеров простых игр для п = 6, 7, на которых иллюстрируются определенные явления, начинающиеся, как упоминалось выше, с этих п.

г) С точностью до перестановки игроков!

2) Таким образом, мы имеем первые контрпримеры уже при п = 5: [1, 1, 1, 1,1] h чисто мажоритарная игра) и [1, 1, 1, 2, 2].

Первое. Мы упоминали во втором замечании п. 53.1, что для п = 6 случай Сп может охватывать несколько игр. Действительно, нетрудно проверить, что две однородные взвешенные мажоритарные игры

[1, 1, 1, 2, 2,4]Л, [1,1,1,3,3,4]*

(см. сноску 4 на стр. 471) отличны друг от друга и принадлежат обе к С2.

53.2.2. Второе. Мы упоминали в первом замечании п. 53.1, что для п = 6 существует простая игра, которая не является однородной взвешенной мажоритарной игрой, т. е. игра, не описываемая каким-либо символом [wt, . . ., wn]h. По (50:К) из п. 50.8.1 это неизбежно будет в том случае, когда не существует главного простого решения, т. е. никакой системы дележей в обычном смысле. (См. пятое замечание в п. 53.1.)

Такие игры фактически существуют и даже поддаются дальнейшей дифференциации. Среди них можно найти игру, которая тем не менее является взвешенной мажоритарной игрой (но не однородной!), т. е. описывается символом [wu . . ., wn], и можно также найти игру, которая не имеет даже этого свойства.

Начнем с первой упомянутой альтернативы.

Положим п = 6. Определим W как систему всех тех множеств S 7 = (1, . . ., 6), которые либо содержат большинство всех игроков (т. е. имеют 4 элементов), либо содержат ровно половину игроков (т. е. имеют 3 элемента), но большинство из игроков 1, 2, 3 (т. е. 2 из них). Другими словами, игроки 1, 2, 3 образуют привилегированную группу по отношению к игрокам 4, 5, 6, но их привилегии довольно ограничены. Обычное большинство выигрывает; только в случае равенства решает большинство из привилегированной группы.

Легко проверить, что это W удовлетворяет условиям (49:W*). Игра, очевидно, является взвешенной мажоритарной. Достаточно дать членам привилегированной группы (1, 2, 3) некоторый излишек веса над членами из группы (4, 5, 6), который должен быть недостаточным для преобладания над обычным большинством. Любой символ

[w, w, w, 1, 1, 1]

с 1 < w < 3 удовлетворяет этому условиюх).

Wm определяется легко; оно состоит из следующих множеств:

( (SJ: (1, 2, 3);

(SI): (а, Ъ, К), где а., Ъ - любые два элемента из 1, 2, 3;

h = 4, или 5, или 6;

, (Sl): (а, 4, 5, 6), где а = 1, или 2, или З2).

Уравнения (50:8) из пп. 50.4.3 и 50.6.2 (с U = Wm), которые определяют главное простое решение в смысле п. 50.8.1, суть

(Е[): xt + *2 + *з = 6;

(Е[): ха -\-хь-\-хи - 6, где а, Ъ - любые два из 1, 2, 3;

h = 4, или 5, или 6;

k (El): Жа + .#4-г-#5 + ж6 = 6, гДе я = 1, или 2, или 3.

(Si) <

г) w Z> 1 необходимо, так как коалиция S = (1, 2, 4) выигрывает у -S = (3, 5? 6) (т. е. 2w + 1 > w + 2); w < 3 необходимо, так как коалиция S = (3, 4, 5, 6) побеждает -S = (1, 2) (т. е. w + 3 > 2и;).

2) Таким образом, Wm насчитывает 1 + 9 4-3 = 13 элементов.