Эти уравнения (Е) решить нельзя *). Действительно, (Е[) с а = 1, Ъ = 2 и h = 4, 5, 6 показывает, что = #5 = #6; (.Б ) с а = 1, 2, 3 показывает, что х - х2 - х3; далее (Е[) дает Зх = 6, т. е. х± = 2; следовательно, (El) дает 4 + #4 = 6, #4 = 2, и тогда (Е[ ) дает 2 + 6 = = 6 - противоречие.

Стоит заметить, что обычный экономический аспект этого явления мог бы быть следующим: (SI) (т. е. (ED) показывает, что услуги игроков 4, 5, 6 взаимозаменяемы и поэтому имеют равное значение. (SI ) (т.е. (Е[ )) показывает то же самое для 1, 2, 3. Далее, сравнение (S[) и (S[) показывает, что один игрок из группы 1, 2, 3 может быть заменен одним игроком из группы 4Г 5, 6, а сравнение (Sl) и (S[ ) показывает, что один игрок из первой группы может быть заменен двумя игроками из второй. Поэтому никакой показатель заменяемости между этими двумя группами iBoo6in;e не может быть определен. Естественно было бы объявить, что некоторые множества из Wm, перечисленные в (S±), используют услуги игроков неприбыльно. В смысле п. 50.4.3 это означает выбор U cz Wm (см. также п. 50.7.1 и сноску 4 на стр. 452). Существует ли в этой игре U cz Wm, обладающее требуемыми свойствами (см. п. 50.7,1), может быть решено простым, но довольно длительным комбинаторным исследованием, которое еще не выполнено,. Существование такого U маловероятно, так как можно показать, что если бы оно существовало, то обладало бы математически неправдоподобными характеристиками.

Эта игра является особенной также и в другом отношении. Можно доказать, что не существует решения V, которое содержало бы только конечное число дележей и которое обладало бы полной симметрией самой игры, т. е. инвариантностью относительно всех перестановок игроков 1, 2, 3 и относительно всех перестановок игроков 4, 5, 6. Мы не рассматриваем здесь 2) этого довольно длинного доказательства. Таким образом, типа решения, которое можно было бы назвать естественным, не существует.

Это указывает, до какой степени аккуратным следует быть, называя необычные решения неестественными или пытаясь их исключить.

53.2.3. Третье. Рассмотрим второй случай, упомянутый выше во втором замечании простая игра для тг=6, которая, вообще говоря, не является мажоритарной, т. е. которая не описывается символом [wu . . ., wn]. Этот случай сам поддается дальнейшему подразделению. Можно найти такую игру, которая обладает главным простым решением (см. выше), а также можно найти игру, которая не имеет главного простого решения.

Рассмотрим первый случай.

Возьмем п = 6. Определим W как систему всех таких множеств S ( I = (1, . . ., 6)), которые либо содержат большинство игроков, либо содержат ровно половину их (т. е. имеют 3 элемента), но при этом содержат четное число из игроков 1, 2, 3 (т. е. 0 или 2 из них). Сравнивая это определение с примером из второго замечания, следует заметить, что игроки 1, 2, 3 все еще образуют группу особой значимости, но было бы заблуждением называть их значимость привилегией, так как их отсутствие в трехэлементном множестве S в такой же мере выгодно, как и сильное представительство (т. е. присутствие ровно двух из них), а присутствие всех их точно так же гибельно, как и их слабое представительство (т. е. при-

х) Здесь имеется 13 уравнений относительно шести неизвестных, но само по себе зто еще не является препятствием, как показывает пятое замечание в п. 53.1.

2) Неизвестно, существует ли вообще какое-либо конечное решение V. Мы подозреваем, что даже на этот вопрос ответ может быть отрицательный.

сутствие ровно одного из них). Они осуществляют решение не своим присутствием в S, а посредством некоторого арифметического отношения *).

Легко проверить, что это W удовлетворяет условиям (49:W*) из п. 49.6.2 2).

Определим теперь W771. Так как W содержит все множества с числом элементов не менее четырех, то никакие множества с числом элементов -более пяти не могут принадлежать W71. Рассмотрим теперь четырехэле-ментное множество в W.

Если число игроков 1, 2, 3 в нем четно, то исключим из него игрока 4, или 5, или 6. Если число игроков 1, 2, 3 в нем нечетно, то исключим из него игрока 1, или 2, или 3. В любом случае получится трехэлементное множество с четным числом игроков 1, 2, 3, т. е. множество из W. Итак, никакое четырехэлементное множество не может принадлежать W71. Следовательно, W 1 состоит из трехэлементных множеств

Если бы эта игра описывалась символом [wu ...,wn], то было бы

Применим это к множествам из Wm, перечисленным в (S2). Это даст, © частности,

Складывая эти неравенства, мы получим

2 (Wi + W2 + W3 + wi + W5 + W6)>2 fa + W2 + и73 + м74 + W5 + Wq),

т. е. противоречие.

С другой стороны, равенствами (50:8) из пп. 50.4.3, 50.6.2 (с U = Wm)> которые определяют главное простое решение, будут

{(Е2): #4+ #5+ #6 = 6; (El): ха-{ xb + xh = &, где а, Ъ - любые два из 1, 2, 3; fe = 4, или 5, или 6.

г) Заметим также, что группа 4, 5, 6 имеет аналогичную значимость. Так как S должно иметь три элемента (для того чтобы эти критерии стали действовать), утверждение, что в S четное число игроков из 1, 2, 3, эквивалентно утверждению, что в S нечетное число игроков из 4, 5, 6.

Это дает дальнейшие подтверждения (если они кому-либо необходимы) нашему часто делаемому замечанию относительно большой сложности возможных форм социальной организации и чрезвычайного богатства сопутствующих явлений.

2) Заметим, в частности, что всегда одно из S и - S принадлежит W. Это очевидно, если одно из них имеет 4 элементов (и поэтому другое имеет 2). В противном случае S и -S имеют по три элемента. Поэтому одно из них содержит четное число игроков 1, 2, 3, а другое - нечетное.

3) Таким образом, Wm насчитывает 1 + 9 = 10 элементов.

(S2): (4, 5, 6);

(SI): (a, b, fe), где а, & = любым двум из 1, 2, 3;

fe = 4, или 5, или б3).

2 щ > 2 wi для всех s £ w.

Щ + Щ + 6 > Щ + и>2 + ь з, Щ + и>2 + Щ > Щ + Щ + Щ + Щ + Щ > 2 + Щ + Щ, и>2 + Щ + Щ > Щ + Щ + Щ

Эти равенства имеют, очевидно, решение ... = х§ - 21).

В обычной экономической терминологии следовало бы сказать, что структурное различие между группами игроков 1, 2, 3 и 4, 5, 6 не может быть выражено с помощью весов и мажоритарности, и поскольку рассматриваются числа, они неразличимы.

53.2.4. Четвертое. Заметим, что приведенный выше пример позволяет также установить различие между принципом однородного взвешенного большинства и существованием главного простого решения, как обсуждалось в п. 50.8.2. Действительно, это - пример случая равенства в (50:21). Так как хх = ... = х6 = 2 (см. выше), должно быть

2 *£ = 12=2w.

г= 1

53.2.5. Пятое. Рассмотрим теперь второй случай, описанный в третьем замечании: простая игра для п = 6, которая не описывается символом

[wu ..,],

и не имеет главного простого решения.

По сравнению с двумя предшествующими примерами, приведенными во втором и третьем замечаниях, этот пример основан на менее прозрачных принципах. Это неудивительно, так как теперь все наши упрощающие критерии оказываются невыполненными.

Положим п = 6. Определим W как систему всех тех множеств S ( / = (1, . . ., 6)), которые содержат либо большинство всех игроков (т. е. имеют 4 элементов), либо ровно половину (т. е. 3) элементов и удовлетворяют следующим условиям: или S содержит игрока 1, но отлично от (1, 3, 4) и от (1, 5, 6) 2), или S есть (2, 3, 4) или (2, 5, 6) 3 4).

Легко проверить, что ТУ удовлетворяет условиям (49:W*) из п. 49.6.2.

W171 может быть определено без серьезных трудностей. Оно состоит из следующих множеств:

( (Ss)- (1, 2, 6), где Ъ

I (1. а 6)> гДе а

{*з)\ (St): (2, р, д), где р

{ (S\y): (3,4,5, 6) ).

Если бы эта игра описывалась символом [wu ...,wn], то было бы

2 wt > 2 wi ддя всех s € w.

*) Легко видеть, что это-единственное решение.

2) То есть это есть (1, а, Ъ) с а = 2, Ъ = 3, или 4, или 5, или 6; или с а = 3, или 4, и Ъ = 5, или 6.

3) Дополнения предварительно исключенных множеств (1, 5, 6), (1, 3, 4).

4) Если убрать исключение относительно (1, 3, 4), (1, 5, 6) и (2, 3, 4), (2, 5, 6), то W определялось бы по следующему принципу. Игрок 1 привилегированный: нормально большинство побеждает, а в случаях равенства решает игрок 1.

Легко проверить, чтоэто просто игра [2,1, 1, 1, 1, 1], т. е. этот случай даже более прост, чем наш - в некотором смысле аналогичный - пример из второго замечания выше, так как существующая здесь привилегия имеет числовое значение в соответствующем смысле.

Таким образом, сложное исключение, касающееся (1, 3, 4), (1, 5, 6) и (2, 3, 4), (2, 5, 6), является решающим для выявления действительного характера нашего примера.

5) Заметим, что а и b изменяются независимо друг от друга, а р и q - нет.

6) Таким образом, Wm насчитывает 4 + 4 + 2 + 1 = 11 элементов.

= 3, 4, 5, 6;

= 3, 4; 6 = 5, б5);

= 3, д = 4 или р = 5, q = б5);