54.2. Перечисление тех игр, для которых все решения известны

54.2.1. Перечислим те случаи, для которых мы уже знаем все решения игры. Их три:

(a) Все несущественные игры (см. (31:Р) в п. 31.2.3, дополненное (31:1) из п. 31.2.1).

(b) Существенная игра трех лиц как в старой теории (эксцесс равен нулю), так и в новой (эксцесс произволен). (См. п. 32.2.3 для первого случая и анализ в пп. 47.2.1-47.7 для второго.)

(c) Все разложимые игры - в случае, если все решения компонент известны. (См. (46:1) в п. 46.6.)

Очевидно, можно использовать (с) и комбинировать игры из (а) и (Ь), получая, таким образом, игры, для которых все решения известны.

Замечание. Это можно выразить также следующим образом.

Данная игра Г строится из своих неразложимых компонент, в соответствии с определением разлагающего разбиения в конце п. 43.3 и с (43:Е). Мы знаем на основании (43:L) из п. 43.4.2, что множества, на которые это разбиение разделяет участников, являются множествами, состоящими из 1 или 3 элементов.

Простейшей возможностью поэтому будет такая, когда все эти множества одноэлементны. Согласно (43:J) в п. 43.4.1 это означает, что игра несущественна, т. е. мы снова приходим к случаю (а).

Следующая по простоте возможность - та, когда они все являются одно- или трехэлементными множествами. Это будут как раз те игры, которые можно образовать согласно (с) из (а) и (Ь). Значит, именно для таких игр мы знаем все решения.

Это удовлетворительно, так как оказывается, что классификация, основанная на размерах неразложимых компонент (т. е. элементов разлагающего разбиения, см. (43:L) в п. 43.4.2), является естественной: наше продвижение в получении всех решений следует точно по указываемым ею путям.

Это также подчеркивает, насколько ограниченны наши результаты: в действительности случай, когда игра вообще разложима, является очень частным. (Вспомним определяющие уравнения (41:6) или (41:7) из п. 41.3.2, соответствующие критерию в конце п. 42.5.2!) Как правило, игра п лиц неразложима и не может быть получена при помощи (с).

В этом процессе построения случай (а) дает только болванов (см. конец п. 43.4.2); следовательно, можно обходиться без него, так как нам нужна структурная информация. Итак, остаются игры, которые получаются повторным применением (с) к (Ь). Таким способом можно получать игры, которые являются композициями существенных игр трех лиц х).

54.2.2 Это дает игры п - Зк лиц, для которых мы знаем все решения. Так как число к произвольно, число п можно сделать произвольно большим. С этой точки зрения все обстоит удовлетворительно. Однако остается фактом, что такая игра п лиц является всего лишь полимером существенной игры трех лиц - в действительности игроки образуют множества по 3, и при этом правила игры не связывают их друг с другом. На самом деле наши результаты о решениях разложимых игр показывают, что некоторая связь между этими множествами игроков тем не менее обеспечивается в типичном решении, т. е. посредством типичной нормы поведения. Однако мы, естественно, хотим узнать, каким образом обычный вид связи, явно установленной правилами игры, воздействует на организа-

г) Применяя стратегическую эквивалентность, можно предположить, что все они заданы в редуцированной форме. Однако, обозначая их соответствующие у через У и .? нельзя рассчитывать сделать их все равными 1 при помощи изменения единицы измерения (если к Ф 1). Действительно, их отношения у4: . . .: yk при изменениях единицы измерения не изменяются.

цию игроков, т. е. на решения или нормы поведения. И это желательно знать для большого числа игроков.

Следовательно, мы должны искать и другие игры п лиц, для которых можно найти все решения.

54.3. Основания для рассмотрения простой игры [1, . . ., 1, п - 2]h

54.3.1. Как отмечено выше, мы собираемся искать указанных представителей среди простых игр Тогда оказывается, что при каждом п 3 имеется некоторая простая игра, для которой это нахождение всех решений может быть осуществлено. Она является единственной игрой п лиц, при произвольном п, для которой мы до сих пор преуспели в таком общем нахождении решений. Это, очевидно, придает ей особый интерес. Мы увидим также, что она допускает интересные во многих отношениях интерпретации.

Эта игра уже встречалась нам в п. 52.3 и в (52:В) из п. 52.4. Это - однородная взвешенная мажоритарная игра [1, . . ., 1, п - 2]h (п игроков).

54.3.2. Как говорилось в п. 52.3, в этой игре минимальными выигрывающими коалициями S являются следующие: (1, п), . . ., (п - 1, п) и (1, . . ., п - 1). Это значит, что игрок п выигрывает, как только он находит какого-нибудь союзника, но если он остается полностью изолированным, то он проигрывает 2): Здесь следует сделать некоторые замечания.

Первое. Это правило явно указывает, что игрок п находится в привилегированном положении. Для того чтобы выиграть, ему нужно только одного союзника, в то время как остальные игроки нуждаются друг в друге без исключения. Фактически положение таково: игроку п нужна коалиция из двух, а остальным нужна коалиция из п - 1; следовательно, привилегия существует только при

и - 1 >2,

т. е. при

п 4.

Для п = 3 в действительности нет никакой разницы между тремя игроками. Мы имеем тогда игру [1, 1, l]h, единственную существенную игру трех лиц, которая, очевидно, симметрична.

Второе. Привилегии игрока п широки настолько, насколько это вообще возможно. Требуется, что игрок п для своего выигрыша должен найти хотя бы одного союзника, и нельзя потребовать меньшего 3). Невозможно полагать, что игрок п может выиграть совсем без союзников, т. е. провозгласить одноэлементное множество (п) выигрывающим,- это несовместимо с существенностью игры. (Это подробно обсуждалось в п. 49.2.)

г) Поэтому мы используем старую теорию, т. е. случай, когда эксцесс равен нулю. См. третье и четвертое замечания в п. 51.6.

2) Как это и должно быть для каждого одноэлементного множества.

3) Ранее мы говорили, что игрок п вообще не имеет привилегии в этой игре при п = 3, а теперь утверждаем, что он привилегирован так, как только возможно! Тем не менее случай п - 3 не является исключением в указанном утверждении. Поскольку имеется вообще только одна существенная игра трех лиц, положение, в котором находится игрок, может также быть названо наилучшим возможным положением, так как такое положение только одно.

г) Кроме случая п = 3, о котором еще будет сказано позже.

55.1. Предварительные замечания

55.1.1. Нахождение всех решений рассмотренной выше игры покажет, что они распадаются в сложную систему классов, обнаруживающих чрезвычайно разнообразные характерные особенности. Это создает возможность для интерпретаций, о которых мы ранее упоминали. Мы рассмотрим некоторые из них, тогда как дальнейшие обсуждения в этом направлении, по-видимому, появятся в более поздних исследованиях.

Строгий вывод этого полного списка решений будет дан в следующих пунктах (55.2-55.11). Этот вывод является довольно громоздким. Мы приводим его полностью по тем же причинам, что и аналогичный вывод для решений разложимых игр в главе IX: само доказательство является удобным и естественным средством для получения некоторых интерпретаций. Оно дает возможность на различных этапах словесно описывать возникающие структурные свойства рассматриваемых построений. Это обстоятельство фактически будет выражено в доказательствах этой главы еще более отчетливо, чем в главе IX.

55.2. Доминирование. Главный игрок. Случаи (I) и (II)

55.2.1. После этих предварительных рассуждений приступим к систематическому исследованию игры [1, . . ., 1, п - 2]h (п игроков). Предположим, что игра представлена в редуцированной форме, нормированной с помощью у = 1.

Начнем с непосредственного замечания о доминировании.

(55:А) Для а={аи ...,ап} и P = доминирование as-$

имеет место тогда и только тогда, когда либо

(55:1) ап>рд и a>i>$i для некоторого г = 1, тг - 1, либо

(55:2) аг>рг- для всех г = 1, тг--1.

Доказательство. Это совпадает с (49:J) из п. 49.7.2, так как И777* состоит из множеств (1, тг), ..., (тг- 1, п) и (1, ..., п- 1).

Заметим, что 2а*~ 2 Рг = 0 позволяет вывести из (55:2) неравенство

(55:3) ап<$п.

Следовательно:

(55:В) Из а р следует ап ф р .

Доказательство. По симметрии достаточно рассмотреть -> ->

только а е- р. Тогда отсюда следует (55:1) или (55:3); значит, во всяком случае гап Ф рл.

Эти два результата, хотя они и простые, заслуживают некоторых интерпретационных комментариев.

В п. 54.3 мы говорили, что игрок п находится в привилегированном положении в этой игре *). Он находится в ситуации, сравнимой с положе-