Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 [ 153 ] 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

нием монополиста, при том неизбежном ограничении (см. второе замечание выше), что он должен найти себе хотя бы одного союзника. Это значит, что общая коалиция всех остальных игроков против него-но не что-либо меньшее - может нанести ему поражение. Будем называть его главным игроком в этой игре *).

55.2.2. Эти обстоятельства выражены явно в неравенствах (55:1) и (55:2). Можно сказать, что (55:1) есть прямая форма доминирования главным игроком и произвольным его союзником (каким-нибудь игроком i = l, . . ., п - 1), в то время как (55:2) можно назвать состоянием общей кооперации против него. Неравенства (55:1) и (55:3) или утверждение (55:В) показывают, что при доминировании главный игрок непременно оказывается под воздействием: благоприятным в случае (55:1) (прямая форма доминирования с главным игроком) и неблагоприятным в случае (55:2) (общая кооперация против главного игрока). На любого-другого игрока при доминировании может не оказываться воздействия; он может оставаться в стороне 2).

55.2.3. Теперь рассмотрим решение V этой игры 3). Образуем

шах ап - со, min ап = со4). aev ciev

Очевидно,

- 1 со со.

Смысл чисел со и со ясен: они представляют наихудший и наилучший возможный исход для главного игрока в пределах решения V. Будем различать две возможности:

(I) со = со,

(II) со<со.

55.3. Описание случая (I)

55.3.1. Рассмотрим случай (I). Это означает, что для всех a£V (55:4) ап = (й,

т. е. что главный игрок получает одинаковый выигрыш при всех условиях в пределах решения. Другими словами, (I) означает, что главный игрок в игре сегрегируется в смысле п. 33.1. Учитывая центральную роль главного игрока, представляется естественным, что первое альтернативное различение должно пойти в этом направлении.

Замечание. Ссылка на п. 33.1 снова подчеркивает, что такой образ действий аналогичен действиям для существенной игры трех лиц.

Это окажется даже еще более естественным, если вспомнить, что существенная игра трех лиц является частным случаем рассматриваемой сейчас игры, именно, при п = 3. (См., например, конец первого замечания в п. 54.3.)

*) Для случая п = 3 следует иметь в виду конец первого замечания в п. 54.3.

2) Таким образом, для некоторого i = 1, . . ., п - 1 может случиться, что -> ~>

a е- р и аг* = рг-. Это в действительности возможно только тогда, когда п 4, см. снова указания для п = 3.

3) В смысле старой теории (см. сноску 1 на стр. 481).

4) То, что эти величины можно образовать, т. е. что максимум~и минимум существуют и достигаются, может быть установлено тем же способом, что и в замечании на стр. 397-398. См., в частности, (*) там же.



Однако более внимательное рассмотрение случая п = 3 показывает, что в такой аналогии имеется довольно неудовлетворительная ограниченность: в этом случае игра фактически симметрична, и поэтому любой из трех игроков мог бы быть назван главным игроком. (См. также сноску 1 на стр. 483.) В п. 33.1 указанная сегрегация была действительно применима к любому из трех игроков, а теперь мы произвольно ограничили ее игроком п !

Тем не менее до сих пор нет способа применять ее также к другим игрокам, если мы желаем, чтобы наше рассуждение годилось для всех тг 3 (а не только для тг = 3): для тг 4 главный игрок и его роль оказываются однозначно выделенными.

Такая ситуация может быть принята временно только в следуюшем смысле: нужно иметь в виду, что случай (II) в конце концов будет расчленен.

Таким образом, для п - 3 сравнение с классификацией из п. 32.2.3, которая анализируется в п. 33.1, показывает следующее. Наш случай (I) является одной из возможностей в (32:А): дискриминацией по отношению к игроку 3. Наш случай (II), с другой стороны, охватывает две остальные возможности в (32:А): дискриминацию игроков 1, 2 вместе с недискриминирующим решением (32:В). Таким образом, (II) в действительности объединяет три возможности при п = 3. Эта схема будет действительно распространена на все тг. См. (е) в четвертом замечании из п. 55.12.5.

55.3.2. Рассмотрим теперь V в случае (I).

->

(55:С) V представляет собой множество всех а, удовлетворяющих (55:4).

Доказательство. Мы уже знаем, что все а £ V удовлетворяют (55:4). Если, наоборот, некоторое р удовлетворяет (55:4), то для каждого а £ V мы имеем ап = $п; следовательно, (55:В) не допускает

а е- р. Значит, р принадлежит V.

Таким образом, V определяется достаточно легко, но теперь нужно ответить на обратный вопрос. Если задано некоторое со t -lr то является ли решением множество V, определяемое из (55:4) (т. е. из (55:С))? Иными словами, удовлетворяет ли это V условиям (30:5:а) и (30:5:Ь) из п. 30.1.1?

Итак, (55:В) и (55:4) не допускают а е- р для а, р £ V; следовательно, (30:5:а) удовлетворяется автоматически. Поэтому нам остается только исследовать (30:5:Ь) из п. 30.1.1. Это значит, что мы должны обеспечить следующее свойство: .

(55:5) Если р Ф со, то а е- р для некоторого а, для которого

ап = со.

Говоря более ясно, нужно определить, какие ограничения свойство (55:5) накладывает на со.

Условие Рдсо из (55:5) можно расчленить: (55:6) Ртг>со,

(55:7) Р <ю.

Прежде всего покажем, что (55:D) В случае (55:6) условие (55:5) выполняется автоматически.

Доказательство. Пусть р у> со, т. е. ря = со + 8, где е > 0. Положим

а = {а4, . .., ап},

где а* = р + для i = 1, . . ., п - 1 и ап = р - е = со. а есть дележ нужного вида, причем а е- Р ввиду (55:2).



§ 55] ПРОСТАЯ ИГРА [1? . . ., 1, п - 2\h 485

Таким образом, остается только случай (55:7). Здесь мы имеем: (55:Е) Для со = -1 условие (55:7) невозможно.

Доказательство. Из Рд 2=: -1 вытекает, что не может быть Р <ю=-1.

Возможность со > -1 несколько глубже *).

(55:F) Пусть со > -1, и выполняется (55:7). Тогда условие (55:5)

- 0 1 равносильно условию со < п - 2--т .

Доказательство. Пусть рп < со. Для любого а с ап = со

условие (55:3) из п. 55.2.1 не допускается, т. е. доминирование а е- р должно осуществляться при помощи (55:1) (но не (55:2) !) в (55:а). Так как % > Рд> эт0 условие просто равнозначно условию

(55:8) аг->рг для некоторого £=1, ..., га - 1.

Значит, (55:5) требует существования дележа а с ап = со и (55:8). Рассмотрим сначала (55:8) для фиксированного £ = 1, га - 1.

Тогда это условие и ап = со могут удовлетворяться при дележе а тогда и только тогда, когда числа рг- и со, сложенные era - 2 слагаемыми, равными -1, дадут число < 0. Иными словами, должно быть pf + со - - (га - 2) < 0, Pj < га - 2- со. Следовательно, (55:8) невыполнимо для всех £ = 1, . . ., га - 1 тогда и только тогда, когда

(55:9) Pj 2 га - 2 - со для всех i = 1, . .., га - 1.

(55:5) означает, что этого не может быть ни для какого Р с Р < со. Тем самым ни для какого дележа р не может выполняться одновременно (55:9) и -1 §п < со 2). Значит, га - 1 слагаемых га - 2 - со и одно слагаемое -1 должны дать в сумме > 0. Таким образом, (га - 1) X

X (я - 2 - со) - 1 > 0, га - 2 - со > , откуда следует со <

<< га - 2 - , а это и требовалось.

Объединяя (55:Е) и (55:F) и вспоминая (55:D), а также утверждения, касающиеся (55:5), (55:6) и (55:7), можно утверждать следующее:

(55:G) Пусть со -любое число, для которого

- 1<со<га - 2--.

1) (о = -1 означает, что главный игрок не только сегрегирован, но также дискриминирован (решением V) наихудшим возможным образом. (См. п. 33.1.)

Таким образом, со = -1 дает решение сразу, в то время как со > -1 требует более детального анализа (55:F). Это и не удивительно: крайняя форма дискриминации является более элементарным предположением и требует менее тонких рассуждений, чем промежуточная форма.

2) Мы предполагаем, что из (55:9) следует р -1 для £ = 1, п-1. Это значит, что п - 2 - со -1 и со п - 1. В самом деле, со > п - 1 невозможно, так как иначе (55:4) было бы невыполнимо для дележей: со и п - 1 слагаемых, равных -1, дали бы в сумме положительное число.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 [ 153 ] 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227