Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 [ 154 ] 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

Образуем множество V всех а, для которых

асо1).

Они дают в точности все решения V в случае (I). Первые из значений числа п - 2 - - даны в табл. 28.

Таблица 28

п 2 1 л

п- 1

1=0,5

4=1,67

Н = 2,75

55.3.3. Интерпретация этого результата не вызывает затруднений.

Такая норма поведения (решение) основывается на исключении главного игрока из} игры. Это делает распределение между остальными игроками совершенно неопределенным, т. е. любой дележ, который дает глав; ному игроку назначенный выигрыш со, принадлежит решению. Верх-нюю границу назначенного выигрыша со, именно п - 2 -- -j , также

можно было бы обосновать в соответствии с п. 33.1.2, но мы этот вопрос рассматривать не будем.

55.4. Случай (II). Нахождение V

55.4.1. Переходим теперь к значительно более трудному случаю (II). (См. последнюю часть замечания на стр. 483 - 484.) Мы имеем

- 1 5gco< со.

Это дает следующее разложение V на три попарно не пересекающихся множества:

->

V, множество всех oc£V с ад = со,

V, множество всех a£V с аЛ = а>,

-> -

V*, множество всех a£V с (0<Сссп<а>-

По самой природе чисел со и со (см. начало п. 55.2.3) множества V и V не могут быть пустыми; однако по поводу V* такого утверждения сделать уже нельзя 2).

55.4.2. Начнем с исследования V.

-► -> -

(55:Н) Если а принадлежит V, а Р принадлежит VU V *, то at р

для всех i = l, . . ., п - 1. Доказательство. В противном случае Pf > аг для некоторого i = l, . . ., п - 1. Тогда будет ап = со, рЛ > со, так что рд > ап\

х) Продолжая параллель с особым случаем п = 3 из п. 33.1, указанную в замечании на стр. 483-484, заметим, что это соответствует имеющемуся там с. Для п = 3 1

величина п - 2 - --- превращается как раз в 1/2.

2) у* действительно пусто в случае, который рассматривается перед (55:V).



г) То, что эти величины могут быть получены, т. е. что эти минимумы существуют

и достигаются, может быть установлено так же, как в замечании на стр. 397-398. См.,

в частности, там же (*). То, что устанавливается там для V, справедливо также для

->

V, равного пересечению V с замкнутым множеством тех а, у которых = со.

-►

2) Заметим, что этого нельзя утверждать по поводу р £ V, так как р$ может превысить минимальную величину а. См., однако, (55:L).

3) См. при этом (55:12) далее.

4) Заметим, что по своему определению все щ -1 (i = 1, . . ., п - 1) и со -1; следовательно, все наши yi -1 (i = 1, . . ., п - 1, п).

следовательно, р е- а по (55:1), что невозможно, так как аир принадлежат V. Положим

а$ = ттаг для i= 1, п - 11).

Тогда (55:Н) сразу дает:

<55:1) Если Р принадлежит V U V*, то сц fit для всех

* = 1, га-12). Докажем далее, что

71-1

<55:J) 2 af + (o03).

г=1 ~ -

Доказательство. Допустим, что 2 аг + 60 < 0* Тогда можно

г=1~ -п

выбрать 7 > at для i = l, га - 1, = 00 с 2?г = 0> образую-

- г=1

щие дележ у = {уи . . уп} 4)-

- -> -

V непусто, выберем Р £ V. Тогда по (55:1) рг af < для всех

-> -> ->

г = 1, .... га - 1; следовательно, по (55:2) у е-- р. Так как р принадле-жит V, у не принадлежит V.

-> -> ->

Следовательно, существует такое a £ V, для которого as- у. Если

<х принадлежит V, то ал = са = уп; следовательно, ae-у противоречит

->

{55:В). Поэтому дележ а должен принадлежать V J V*. Тогда по (55:1) щ аг << yt для всех i = l, га - 1. Но как (55:1), так и (55:2)

-> ->

из (55:А) - ввиду а е- у - дают, что аг > уг хотя бы для одного i = = 1, . . ., га - 1. Итак, мы имеем противоречие.

Теперь характеризация V может быть завершена:

(55:К) V имеет ровно один элемент:

а° = {аи ..., а, со}.

->

Доказательство. Пусть a = {a1? ..., ал 4, ал} - некоторый элемент из V. Тогда мы имеем

iat для i = 1, га -1,

(55:10)



по самому определению этих чисел. Далее, 2 о = 0, а по (55:J) должно

г=1 п-1

быть 2 +оэО. Следовательно, из всех неравенств в (55:10) знак >

исключается. Таким образом,

at для i = l, ..., тг -1,

(55:11)

( a* = af \ an = co,

т. е.

{а{, ..., аЛ !, ап} = {аь ..., an 4, со}.

Значит, V не может иметь элементов, отличных от {а1? ..., ап.и со}. Так как V непусто, это - его единственный элемент.

55.4.3. Заметим, что, так как вектор a0 = {a!, . ..,an-b со} принадлежит V, он с необходимостью оказывается дележом. Следовательно, мы можем усилить (55:J) до утверждения

(55:12) S аг + (о = 0.

i=l ~ -

Можно также усилить и (55:1):

->

(55:L) Если р принадлежит V, то at $t для всех i = 1, . . ., тг - 1.

Доказательство. Для р £ V (j V* это было установлено в (55:1), для р £ V (55:К) дает даже Pj = аг-.

Завершим эту часть анализа доказательством следующего факта: (55:М) о)= -1.

Доказательство. Допустим, что о>> - 1, т. е. что со = -1 + 8, е>0. Положим

р = {рь ..., pn i, рд}, где pf = at + для * = 1, п - 1 и ря = со - е = -1. Век-

тор Р является дележом (см. (55:12) выше). Из рп < со, или также из

->

(55:L), следует, что р не принадлежит V.

-> -> ->

Следовательно, в Y существует дележ а, для которого а е- р. По (55:L)% at а! << Pj для всех i = 1, . . ., тг - 1. Но и из (55:1), и из (55:2)

> -> ->

в (55:А) следует, так как а е- р, что at > р хотя бы для одного i = = 1, . . ., п - 1. Таким образом, мы получаем противоречие. Заметим, что теперь (55:12) превращается в

(55 :N) 2 = 1.

г=1 -

Основными результатами этого анализа являются (55:К), (55:L) и (55:М). Их можно резюмировать следующим образом *).



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 [ 154 ] 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227