Наихудший возможный исход для главного игрока - это полное поражение (значение -1). Существует одно и только одно распределение - т. е. дележ - (в V), которое это осуществляет, а для всех остальных игроков это оказывается наилучшим возможным исходом (в V).

Это распределение (в V) является состоянием полной кооперации против главного игрока х).

Читатель может заметить, что, хотя эта словесная формулировка вовсе не является сложной, ее можно было получить только математическим, а не словесным путем.

55.5. Случай (II). Нахождение V

55.5.1. Теперь можно исследовать V. (55:0) Рассмотрим дележ р = {pi, . . ., рЛ} с р* at для некото-

рого & = 1, га - 1, и рЛ=со. Тогда р принадлежит V.

Доказательство. Допустим, что Р не принадлежит V. Тогда в V существует дележ а, для которого а е- р. Следовательно, должно выполняться (55:1) или (55:2) из (55:А). Так как дележ а принадлежит V, должно быть ап rgco rg рЛ, и это исключает возможность (55:1). По (55:L) rg аг для всех & = 1, . . ., га - 1; поэтому a g аг fg pf

хотя бы для одного £= 1, . . ., га - 1, и это исключает (55:2). В обоих случаях получается противоречие.

(55:Р) ocjra -2 -со для £ = 1, га -1.

Доказательство. Допустим, что а<га -2 -со для какого-либо

£=1, га-1, т. е. что - (га -2)-fa + со < 0. Тогда можно выб-

рать PjS - 1 (7 = 1, га - 1, }Ф1, т. е. для га -2 значений /),

п

Рг=а*, Ртг>со с Р0 образующие дележ p = {pi, .. ., рп}. Этот де-

леж р удовлетворяет требованиям (55:0), следовательно, он принадлежит V. Но тогда p5gco п0 определению этой величины -противоречие с

Ртг> СО-

Теперь положим (55:13) min а*2).

г=1,. . ., п- 1 -

Тогда (55:Р) дает нам (55:14) сцга-2-w3).

Обозначим множество всех £ ( = 1, ...,га-1), для которых (55:15) аг = а#,

через S#. По своей природе это множество должно обладать следующими двумя свойствами:

(55:Q) S# (1, ..., га- 1), 5* непусто.

*) Это выражение использовалось также - в связанном с этим, но несколько отличном смысле - в последней части п. 55.2.

2) На этот раз минимум берется по конечной области!

3) См. при этом (55:R) ниже.

55.5.2. Далее, (55:R) G&.JJ ~yi - 2 - оз.

{55:S) V состоит из элементов оь\ аг = {а11, ..., ctn-i, о4}, где i про-

бегает по всему и

Г аг = а#, если j = i,

г -

ад - < со, если ; = тг,

- 1 в остальных случаях.

Доказательство утверждений (55:R) и (55:S). Начнем с рассмотрения элемента P6V.

-> ->

Если Pj<aj для всех г = 1, тг -1, то (55:2) дает а°Е-р, так -> -> ->-

как а0 = {а!, ..., ад 19 о}. Поскольку а0 принадлежит V по (55:К), а0

и р° оба должны принадлежать V, что невозможно. Итак, {55:16) o&j а* для некоторого г = 1, тг -1.

Мы имеем

{55:17) Ру= - 1 для всех / = 1, тг -1, /==г,

->

и так как р принадлежит V,

<55:18) Рп = .

Но 2 = 0, и по (55:14) должно быть - (тг - 2) + а# + со 0; поэтому

знак > исключается из всех неравенств (55:16), (55:17). Следовательно, 0 = 0, т. е. i принадлежит S#. Таким образом,

Г at - а#, если / = i,

Рг - j со, если j = тг,

1 -1 в остальных случаях,

->

т. е. дележ р равен определенному выше дележу а1. Итак, мы получаем

{55:19) Каждое P6V обязательно совпадает с некоторым оьг, где г принадлежит

-. ->.

Далее, V непусто, поэтому в V найдется некоторое al(i£S%). Следо-

вательно, это а1 является дележом, и потому У]а) = 0, т. е. -(тг - 2) +

5=1

+ а* + со = 0. Это равносильно (55 :R).

Рассмотрим, наконец, произвольное i£Sm. Так как (55:R) справедливо, мы имеем

(я 2Н.а. + © = 0.

п ->. .

Значит, 2 а) - 0 т. е. а* есть дележ. Но а\ = at = а* и ап = со; ;=1 ~

следовательно, (55:0) гарантирует, что а1 принадлежит V. А так как 4хп = со, аг принадлежит даже V. В результате мы получаем:

(55:20) Каждое аг при i £ является дележом и принадлежит V.

(55:19) и (55:20) вместе дают (55:S). Утверждение (55:R) было доказано выше. Это завершает доказательство.

55.5.3. Основными результатами проведенного анализа являются утверждения (55:R), (55:S) вместе с введением множества S. Здесь снова можно дать словесную формулировку х).

Наилучший возможный исход для главного игрока дает ему некоторую величину со. Чтобы этого достигнуть, ему нужен ровно один союзник, которого можно выбирать произвольно из некоторого множества S% игроков. Это множество состоит из тех игроков среди 1, . . ., п - 1, которым наименее везет в состоянии полной кооперации против главного игрока, о котором говорилось в конце п. 55.4.

Таким образом, распределения, которые образуют игроки 1, . . . . . ., п - 1 между собой, объединяясь для полного поражения главного игрока, определяют его поведение и в тех случаях, когда он достигает полного успеха. Это взаимодействие между коренным образом различными ситуациями заслуживает внимания 2). Интересно также, что естественными союзниками главного игрока, когда он стремится к полному успеху, являются наименее удачливые члены возможной полной оппозиции против него.

Замечание. Политические ситуации, иллюстрирующие этот принцип, хорошо известны, и в связи с ними часто утверждается его справедливость вообще. Однако трудно отрицать, что доводы, которые могут быть приведены чисто словесно в пользу этого принципа, не лучше тех, которые могли бы быть сделаны для ряда других конфликтных принципов.

Суть дела в том, что для той конкретной игры, т. е. структуры конфликта, которую мы сейчас рассматриваем, справедлив именно этот, а не какой-либо иной принцип. Для установления этого необходимо более или менее сложное математическое доказательство. Все чисто словесные правдоподобные доводы были бы неубедительны и сомнительны.

Заключительное замечание в п. 55.4 относительно расхождения между формулировкой и доказательством здесь снова приложимо.

55.6. Случай (II). Л и

55.6. Мы определили в пп. 55.4 и 55.5 два подмножества V, V множества V 3). Теперь пора обратиться к оставшемуся подмножеству V*.

2) Все это относится, конечно, только к случаю (II).

2) В п. 4.3.3 мы настойчиво говорили о влиянии, оказываемом фактическим существованием какого-либо дележа, т. е. его принадлежностью к некоторой норме поведения (решению), на все остальные дележи той же нормы. Почти все решения игр п 3 лиц, которые мы нашли, могут быть использованы для иллюстрации этого принципа. Специальная ссылка на это была сделана на более раннем этапе рассуждений, в п. 25.2.2. Настоящий случай, однако, особенно бросается в глаза.

3) Множество S* все еще неизвестно, хотя и выделено условием (55:Q). Числа 1, . . ., Од ! также неизвестны, но выделены условием (55:N). Они определяют число

а# (являющееся их минимумом). Числа шиш задаются условиями (55:М) и (55:R). Определением этих неизвестных величин мы займёмся позже. См. (55:0) (т. е. (55:1/), <55:N) и (55:Р)).

Тем не менее вид V и V найден, и остающиеся неопределенности имеют менее фундаментальный характер.