Пусть Jk - множество всех а с at = at = а* для всех i £ S#. Тогда (55:Т) \{}\*с=лГ

Доказательство. Рассмотрим какое-нибудь а £ V J V*.

Нужно показать, что at = а для всех i £ S#.

Согласно (55:L), для всех i = 1, . . ., п - 1 мы имеем а

Следовательно, нужно только исключить < а для i £

->. -

Для i g S# составим а1 из (55:S). Этот дележ принадлежит V, так

что агп = со; а принадлежит V(J V*, так что ап < со. Значит, ап>ап.

. ->. ->

Тогда < a означает, что aj = аг > а; следовательно, агЕ- а по

- ГГ ->

(55:1), а это невозможно, так как аг и а оба принадлежат V.

(55:U) У Jk тогда и только тогда, когда является одноэлементным множеством или а = - 1; в противном случае Уине пересекаются.

-> -

Доказательство. Рассмотрим какое-нибудь a (j V. Тогда -> -> -*.

а = ai (по (55:S)), i g 5*. Сравнение определений аг и А показывает,

что аг принадлежит Л тогда и только тогда, когда имеет единственный элемент i или а* = -1.

Словесное выражение (55:Т), (55:U) следующее. Каждый игрок наименее удачливой группы см. конец п. 55.5) достигает своего

оптимума г) в каждом распределении, в котором главный игрок не имеет полного успеха (т.е. в V(JV*). Когда главный игрок терпит полное поражение (т. е. в V), это даже справедливо для всех игроков 1, . . . . . ., п - 1 (см. конец п. 55.4). Когда главный игрок имеет полный успех, то это справедливо для одного и только одного игрока, которым может быть любой член наименее удачливой группы (£*, см. конец п. 55.5).

55.7. Случаи (1Г) и (1Г). Описание случая (1Г)

55.7.1, Рассмотрим случай S# = (1, . . ., п - 1), обозначаемый как

случай (1Г)- Тогда а* = а* для всех i = 1, . . ., п - 1, так что (55:N)

1 - 1

дает (п - 1) a* = 1, т.е. а* --, и (55:R) дает со = гс - 2 - -

Если а принадлежит Jk, то a = а = а* = Для * = 1 п - 1-

Г 1 1 1

Следовательно, ап - - 1, т. е. a = j , -j ~ j -Л0 (55:Т)

->

это также справедливо для всех a £ VUV*.

->- ->

Это а является, очевидно, единственным элементом а0 в V по (55:К);

следовательно, V* пусто. Поэтому V = V J V, и тогда (55:К) и (55:S) дают:

х) Своего индивидуального оптимума внутри данной нормы поведения (т. е. решения) V. Для игрока i (== 1, . . ., n - i) этот оптимум (максимум) есть согласно (55:L), хотя было первоначально определено как его пессимум (минимум) в подмножестве V из V.

-- , если ] = п,

- 1 в остальных случаях.

(55:V) определяет единственное возможное решение V в случае (1Г) Однако отсюда не следует обязательно, что это V есть решение, или что имеет место случай (1Г). Действительно, если бы не удалось удовлетворить какому-нибудь из этих двух требований, то мы бы только показали (хотя и довольно окольным путем), что не существует решения в случае (1Г) Мы покажем поэтому, что оба эти требования удовлетворяются *).

55.7.2.

(55:W) V из (55:V) есть единственное решение в случае (1Г).

Доказательство. Нужно только показать, что это V является решением в случае (II); единственность будет следовать тогда из сказанного выше, т. е. из (55:V).

То, что это - случай (1Г)> устанавливается легко. Очевидно, для нашего V

со= -1, (д - п - 2-

п-1

= 0 = 0== -j , £* = (1, .. ., п - 1).

Остается доказать, что V есть решение, т. е. проверить (30:5:с)

->

из п. 30.1.1. Для этой цели нужно определить дележи р, которые не доми-

нируются элементами из V.

-> ->

Для а° е- Р (55:1) исключается, так как а = - 1. Таким образом, это доминирование может осуществляться только при помощи (55:2);

следовательно, оно равносильно а? > р, т. е. Р* << для i = 1, . . .

. . ., п - 1.

Для ае-р, к = 1, п - 1, (55:1) невозможно при i Ф к,

а (55:2) исключается, так как а\ = - 1 для i Ф к. Следовательно, это доминирование может осуществляться только при помощи (55:1) с i = к;

поэтому оно равносильно a > Р; для / = к, п, т. е. р& < ---и 6n < п - 2 - .

х) Ср. это положение с (55: G), где имелся случай (I). Никакие вторичные рассмотрения такого рода там не были нужны, так как (55:G) было с самого начала необходимо и достаточно.

(55:V) V состоит из следующих элементов: (Ь) а*,

где i = 1, . . п - 1 и а1 = {aj, . . ., а ь а\) с

1 . .

если / =

Значит, (3 не доминируется элементами из V тогда и только тогда, когда справедливо следующее: р ~rf выполняется для некоторого 1 = 1, тг - 1, и это имеет место даже для всех этих i в случае

Таким образом, из рд < тг - 2 - -у следует р1? . . ., р--р

Кроме того, рп=: - 1. Поэтому 2 Pi = О дает знак = для всех этих

отношений т. е. Р = а0. С другой стороны, из р тг - 2---

/г - 1

следует Р* g=r для какого-то значения г (= 1, . . ., тг - 1) и PJ=r - 1

для остальных тг - 2 значений /. Поэтому 2 Pj = 0 снова дает знак = для

всех этих отношений г, т. е. Р = а .

-

Мы видим, что дележи р, не доминируемые элементами из V, оказы-

-у ~У ->

ваются равными а0 и а1, . . ., а71 1, т. е. оказываются как раз элементами и* V, что и требовалось.

55.7.3. Это решение важно, так как оно является конечным множеством, - как мы увидим, это единственное решение с таким свойством. Если образуется общая коалиция против главного игрока, то тг - 1 чле-

нов участвуют в ней на равных условиях, как описывает а0. Если глав-

ный игрок находит союзника, то он дает ему тот же выигрыш, что и а0,

-V -У

и удерживает остаток, как указывают а1, . . ., а71 1. Все это совершенно разумно и не содержит в себе дискриминации *). Тем не менее это решение не является единственно возможным: в п. 55.3 мы нашли и другое решение (см. (55:G)), еще больше появится их в последующих пунктах.

55.8. Случай (1Г). и V. Доминирование

55.8.1. Рассмотрим теперь случай Ф (1, . . ., п - 1), называемый случаем (IIя).

Пользуясь (55: Q), [можно описать его также следующим образом:

(55:Х) с= (1, ..., тг- 1), непусто.

Можно также сказать: случаи (1Г) и (IV) характеризуются соответственно отсутствием или наличием дискриминации внутри возможной общей коалиции против главного игрока.

Хотя мы приступаем к обсуждению случая (IV), сделаем следующее замечание.

Содержание пп. 55.4-55.7 было математическим, но получавшиеся промежуточные результаты допускали простую словесную формулировку. Другими словами, можно было сравнительно часто делать вставки в математические выводы, давая словесные иллюстрации достигаемым последовательно ступеням. Эта ситуация теперь изменилась, поскольку нужны долгие математические рассуждения, чтобы привести нас к следующему пункту (в п. 55.12), где снова уместна словесная интерпретация.

2) Частные случаи п = 3, 4 этого решения известны: для п = 3 это - дискриминирующее решение существенной игры трех лиц; для п - 4 оно обсуждалось в п.35.1.