55.10. Описание случая (II )

55.10.1. Результаты, полученные в пп. 55.8-55.9, содержат полное описание решения V. В самом деле, как мы видели в начале п. 55.8.2, V= V U V, причем слагаемое V может быть опущено (так как оно V) тогда и только тогда, когда выполняется условие из (55:U). V описано в (55:S); V описано в (55: J). Эти характеризации содержат параметры:

подчиненные ограничениям, установленным в (55:N); (55:13), (55:15) из п. 55.5.1; (55:R); (55:23), (55:24) из п. 55.9.2; (55:К).

Так как все это рассеяно по семи пунктам, удобно поместить все результаты в одном месте.

(55:1/)

(55:L:a) *S#cz(l, . . ., тг -1) и непусто. Если р - число элементов в S то ipn - 2.

(55:1/:с) Для всех i £ должно быть = а*; для всех г £ (1, . . .

. . ., П - 1) - 5# ДОЛЖНО быТЬ 0tj >> (X*.

(55:L:d) Положим со = тг - 2 - а, ы* = п - р - 1 - ра#, так что

ю - со* = (р - 1) К + 1). (55:1/:е) а* (у) определено для г 6 (1, . . ., п - 1) -

а*(г = 1, ...,тг -1), а*, S со, со*, at (у) (i из (1, . ..,тг - 1) - S - 1г/а>*)

(55:L:b)

- 1 У со*.

Эти функции удовлетворяют условиям (55:К:а) - (55:К:е). V состоит из следующих элементов:

(а) а (у), где у изменяется в интервале - 1 :g у rg со* и

<* ( ) = {<*!( )> > <М )Ь

причем

Г а*=-а*, если *б£*,

, ч у, еСЛИ 1 = 72,

а% (у) определяется согласно (55:1/:е), если г£(1, . . ., п-1)- S.

(b) аг, где i пробегает элементы из и аг = {а*, . .., an i, ап}, причем

Заметим, что если р=1 -одноэлементное множество) илиа* = -1, - ->. ->

то со = со* и аг из (Ь) совпадают с а (у) из (а) для г/ = со*. Если это не так,

-у ->

т. е. если 2 и а# > - 1, то со > со* и а* из (Ь) отличны от а (у) из (а).

Читатель может проверить без большого труда, что все эти утверждения есть не что иное, как переформулированные результаты, упомянутые выше.

55.10.2. За (55:1/) должны следовать такие же рассмотрения, как и за (55:V). Мы должны исследовать, все ли V, полученные из- (55:1/), являются решениями, и притом то, что мы имеем дело именно со случаем (II ). Те из них, которые удовлетворяют обоим этим требованиям, образуют полную систему всех решений в случае (И ), Мы докажем, что все V из (55:1/) этим требованиям удовлетворяют.

(55:М) V из (55:1/) описывают в точности все решения в случае {II ).

Доказательство. Нужно только показать, что каждое V из (55:1/) является решением в случае (II ); то, что эти V суть в точности все такие решения, будет следовать тогда из (55:1/).

То, что мы имеем дело со случаем (И ), устанавливается легко. Для этого V, очевидно, со = - 1, и со, а1? . . ., an t, (в смысле их определений в пп. 55.2 - 55.5) являются как раз величинами, обозначенными этими же символами в (55:/)х); следовательно,

£*<=(!, ...,т*-1)

по (55:L:a).

Остается доказать, что V является решением. В данном случае для этого нужно доказать, что V удовлетворяет условиям (30:5:а), (30:5:Ь) из п. 30.1.1.

Рассматриваем (30:5:а). Предположим, что для а, 3 V имеет место -у ->

а е- р.. Мы должны различать, к какому из случаев (а), (Ь) из (55:1/)

-> ->

относятся аир. Всего имеется четыре возможных комбинации. -> -> ->->->->

аир относятся оба к (а). Это значит, что а = а(ух) и р = а(г/2),

так что a (yt) е- а (у2). Тогда (55:1) исключается для i £ а (55:2) исключается, так как аух) = с(г/2) = аг = a* Для & € £* Итак, это доминирование может осуществляться только при помощи (55:1) с i £ 6 (1, . . ., п - 1) - По (55:1/:е) это означает ап(ух) > ап(у2), yt > уг, и a,i(yt) > a*(#2) для некоторого i £ (1, . . ., п - 1) - S что противоречит (55:К:Ь).

а относится к (а), а р - к (Ь). В этом случае a = а (у) и р = а1

-у -у .

(где i g S#), так что а(у) е- аг. Тогда (55:1) исключается, так как ап (у) = = У oj* со = а, а (55:2) исключается, так как аг (у) = а\ = at = = a*. В итоге мы получаем противоречие.

-у -у -у -у.

а относится к (Ь), а р - к (а). Это значит, что a = al (где i £ SJ,

-У -у -у. -у

Р = а (у), так что а1 е- а (у). Тогда ai = at (у) = at - а*, и для / Ф i, ]фп должно быть а\ = - 1 at (у), т. е. должно быть а\ а7- (у) для

г) w получается из (b), а4, . . ., ал 4 - из (а) с у - -1, а затем a*, из (55:L:c).

всех / = 1, . . п - 1. Это исключает как (55:1), так и (55:2), и получается противоречие.

-> -> -> -у. -> ->ь

аир относятся к (Ь). Здесь а = аг и р = а (причем i, к £ £*),

так что аг е- afe. Тогда ап = а = со, что противоречит (55:В).

Рассматриваем (30:5:Ь). Предположим, что р не доминируется эле-

ментами из V. Мы хотим показать, что тогда Р принадлежит V, что и докажет (30:5:Ь).

Предположим сначала, что рл 2=: со. Если рг < аг- = а* для всех

-> ->

г = 1, п - 1, то а (-1) е- р, а это противоречит нашему пред-

положению. Следовательно, для некоторого i = 1, . . ., п ~ 1 должно быть Pj а. Тогда, так же как и при доказательстве (55:R), обязательно i 6 и имеет место равенство Р = a\ Поэтому р принадлежит V в этом случае.

Предположим теперь, что р < со. Если pf < а = а* для некото-

рого г g то, очевидно, аг е- р, что противоречит нашему предположению. Поэтому для всех i g имеет место р at = a*.

n n-1

Тогда 2 Pj = 0 дает нам $п =- 2 Pf л - Р~ 1- £а* = со*,

г=1 г=1

т. е. --1 Рд со*. Положим у = §п.

Допустим, что Pj at (у) для всех i £ (1, . . ., п - 1) - 5*. Тогда, очевидно, Pj aj (г/) и для всех i == 1, . . ., тг.в (Для г 6 и i = п

мы имеем даже знак =, о чем говорилось выше.) Следовательно, из 2 Рг -

= 2 ai Ы - 0 мы получаем, что во всех этих отношениях будет иметь

место знак =. Таким образом, р == а (у). Значит, Р принадлежит V также и в этом подслучае.

Остается возможность pf < а* (у) для соответствующего г 6 (1 . . ., п - 1) - S. Достаточно малое увеличение у (от у = $п до некоторого у > рд) не нарушит этого отношения Р* < аг (г/) х). Для этого

нового у мы имеем г/ > рд, а (г/) > рг-, и поэтому а (г/) е- р, что противоречит нашему предположению.

Итак, все возможности рассмотрены.

55.11. Другая формулировка полного результата

55.11.1. Те три случая (I), (П)> (IF), на которые мы подразделили нашу задачу, были полностью описаны соответственно в утверждениях (55: G), (55:W), (55:М). Посмотрим теперь, в какой степени эти три класса решений связаны между собой.

Среди неопределенных параметров, содержащихся в утверждении (55:1/), т. е. в (55:М), описывающем случай (П ), имеется множество Согласно (55:1/:а), оно может быть произвольным множеством s(l, . . . ., п - 1), за исключением (1, . . ., п - 1) и0. Встает вопрос, нельзя ли найти какую-то интерпретацию также для этих исключенных случаев S* = (1, . . ., п -1) и = 0.

*) Функция at (у) непрерывна! См. замечание 1 на стр. 500.