Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 [ 160 ] 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

Для 5* = (1, . . ., п - 1) ответ прост. Если использовать это 5*

(не обращая здесь внимания на (55:1/:а)), то мы получаем (используя

все остальные пункты из (55:1/)): р = п - 1 по (55:L:a), ai=.. .= ап =

1 - ~~ 1 ~

= а* = -j по (55:L:b) и (55:L:c), а со = п - 2 - - , со* = -1

по (55:L:d). Нет надобности вводить функции аг (у) из (55:L:e), так как множество (1, . . ., п - 1) - пусто. Относительно интервала - 1 fg g у g со* (в (а) из (55:1/:е)) следует заметить, что он стягивается в точку у = - 1 (так как со* = - 1). Тогда сравнение с (55:V) показывает, что при этих условиях (55:1/) совпадает с (55:V). Таким образом, мы имеем:

(55:N) Если допустить в (55:1/:а) также 5# = (1, . . ., п - 1} (следовательно, р = п - 1), то (55:1/) будет перечислять все решения в случаях (1Г) и (II ); случай (1Г) будет соответствовать = (1, . . ., п - 1), а случай (II ) будет соответствовать ( 1, . . ., п - 1).

55.11.2. После получения этого результата может появиться желание сопоставить оставшееся исключение = 0 с оставшимся случаем (I). Однако рассмотрение (55:1/) с = 0 и сравнение с (55:G) показывают, что это невозможно, по крайней мере столь непосредственным образом.

Действительно, используя (55:1/) с = 0 (следовательно, с р = 0), мы получаем пустое (Ь), так что V совпадает с (а), и V оказывается множеством всех

аЫ={ 1(у), > У),

- 1 :fg у :g со*, с соответствующими функциями а4 (у), . . ., ап (у). Игнорируя остальные возможные несоответствия мы замечаем, что

в этом распределении компонента ап вектора а из V определяет его компоненты с&1, . . ., сСгс-ь в то же время в (55: G) компонента ап постоянна, а

OCi, . . . , ОСп 1

произвольны 2)!

Подведем итоги.

(55:0) Все решения V перечисляются в (55:G) - случай (I) - и в (55:N) - случаи (II) и (II ). (55:N) совпадает с (55:1/) при расширении (55:1/:а) с включением всех (1, . . ., п - 1} и ф 0. Исключение случая = 0 необходимо; эта возможность привела бы к V, не являющемуся решением из (55:G), а на самом деле не являющемуся решением вообще.

*) Вследствие того, что р = 0, (55:23) дает теперь со - со* = - (а# + 1); следовательно, должно быть со* > со, так что max = max у = со*, хотя он должен

a£V -ISygco* .

быть равен со !

Для S* Ф0 (55:L:b), (55:L:c) давали min aa*; для* они дают

i= 1, . . ., п-1

min OLi>a%, хотя это выражение было определением а*!

2=1, . . . , 71- 1 ~

2) V из (55:1/) при = 0 не является, таким образом, множеством из нашего списка решений; следовательно, оно вообще не является решением. Это было бы легко проверить и непосредственно.



55.11.3. Закончим следующими замечаниями. (55:Р)

(55:Р:а) В случае (1Г), т. е. при = (1, . . ., п - 1), р = п - 1г

мы имеем со* = - 1, т. е. интервал - 1 5g у 5g со* из (55:L:e)

стягивается в точку. Кроме того, а* = п лк

(55:Р:Ь) В случае (IIя), т. е. при с= (1, . . тг - 1), р < тг - 1,

мы имеем со* > - 1, т. е. интервал - 1 г/ rg со* из (55:L:e)

не стягивается в точку. Кроме того, < д -1

Доказательство. (55:Р:а). Мы уже доказали эти утверждения непосредственно перед (55:N).

(55:P:b). Мы видели при доказательстве (55:В), что <С п р ;

следовательно, со* -f- 1 = тг - р - ра% > 0, со* > - 1. Наконец,

а*<--j- было установлено в (55:В).

55.12. Интерпретация полученного результата

55.12.1. Теперь мы можем приступить к интерпретации этого результата. По двум причинам едва ли возможно сделать это исчерпывающим образом. Во-первых, окончательный результат, содержащийся в (55:0), т. е. в (55:G), (55:К), (55:1/), довольно сложен; поэтому точное утверждение должно обязательно быть математическим, а не словесным. В любой словесной формулировке пропала бы адекватность некоторых из многочисленных оттенков, выраженных в математическом результате. Во-вторых, нам еще не хватает опыта и перспективы, необходимых для действительно исчерпывающей интерпретации ситуаций, подобных той, которая сложилась. Рассматриваемая здесь игра является характерной игрой п лиц во многих важных отношениях, как устанавливается в пп. 54.1.2 и 54.3. Однако наш успех в нахождении всех ее решений оказывается все же изолированным явлением (несмотря на п. 54.2.1). Потребуется гораздо больше рассуждений, подобных приведенным здесь, прежде чем браться за действительно исчерпывающую интерпретацию типичных игр п лиц.

Тем не менее полезно предпринять некоторую попытку интерпретации, без какой-либо претензии на полноту. На нескольких приведенных выше примерах мы видели, что такая интерпретация оказывается ценным руководством для дальнейшего прогресса в нашей теории. Кроме того, она проливает определенный свет на важность нашего довольно сложного математического результата.

Так как мы не стремимся к полноте, эту интерпретацию удобно провести в форме нескольких замечаний.

55.12.2. Первое. Решение в случае (I), описанное в (55:G), является бесконечным множеством дележей. То же справедливо и для решений в случае (И ), описанных в (55:1/) (см. (55:N)), так как упомянутая там переменная у изменяется во всем интервале, не стягивающемся в точку. (См. (55:Р:Ь).) С другой стороны, как уже отмечалось в конце п. 55.7 *), решение в случае (1Г) является конечным множеством дележей. Это реше-

г) Читатель может применить для той же цели (55:Р:а), (55:Р:Ь).



ние имеет также привлекательное свойство полной симметрии игры, т. е. инвариантности при всех перестановках игроков 1, . . ., п - 1.

Таким образом, в некоторых отношениях это решение нашей игры является наиболее простым. Эвристические рассмотрения ее для частных случаев п = 3, 4 (соответственно в § 22 и п. 35.1) приводят к этому решению, и их легко распространить на произвольное п.

Замечание. Рассуждение (эвристическое) проходило бы следующим образом. Главный игрок, чтобы выиграть, нуждается в союзнике, и вместе с любым таким союзником он получает п - 2. Поэтому, если он желает получить выигрыш со (это соответствует со в нашем точном выводе), он может уступить каждому союзнику п - - 2 - со. Если его п - 1 потенциальных союзников могут получить вместе больше этого, т. е. если

(л-1) (п-2- со)<1,

то он не имеет шансов найти союзника,-и это единственный предел для его требований.

Итак, для со имеется только ограничение (п- 1) (п - 2 - со) 1, т. е.

со п - 2--т . Значит; со = тг - 2--7 .

п - 1 п- 1

Таким образом, главный игрок получает п - 2 - --- , если ему удается образовать коалицию, и, конечно, -1, если не удается. Для остальных игроков соответст-

вующие выигрыши равны --- и -1.

Читатель может теперь проверить, что это как раз будет решение, получающееся в (55:V), т. е. случай (1Г).

Однако требуется весь аппарат нашей формальной теории, чтобы найти другие решения.

Читателю теперь достаточно ясно, что эти остальные решения никоим образом нельзя игнорировать. Кроме того, существование и единственность конечного решения является счастливым обстоятельством в данной игре, но ни в какой мере не общим *).

55.12.3. Второе. Указанное выше решение соответствует наибольшему возможному S#: (1, . . ., п - 1). Другая крайняя возможность - это решение, которое мы ассоциируем с S% = 0 (см. предшествующее (55:0)). Оно является решением в случае (I), описанным в (55:G). Подобно тому решению, о котором говорилось в предыдущем замечании, оно сохраняет свойство полной симметрии игры. В действительности только эти два случая, именно случаи (I) и (1Г), имеют такую симметрию 2).

С другой стороны, это решение бесконечно. Как мы видели в п. 55.3, оно выражает тот организационный принцип, что главный игрок сегрегируется в игре в смысле п. 33.1. Рассмотрение (55:G) обнаруживает, что эта норма поведения, т. е. решение, не выдвигает абсолютно никакого правила разделения между остальными игроками. Это значит, что все дележи, где главный игрок получает предписанный выигрыш, принадлежат этому решению. С точки зрения здравого смысла это вполне разумно. Так как главный игрок исключается, остальное игроки могут только единодушно объединяться между собой. Какие-либо количественные рас-

г) Что касается неопределенности относительно существования, см. конец второго замечания в п. 53.2.2. Случай, где нет единственности, анализируется в п. 38.3.1.

2) Любое другое решение относится к случаю (IV), так что для него S% Ф 0, (1, . . ., п - 1). Следовательно, надлежащая перестановка игроков 1, . . ., п - 1 переведет элемент из в элемент вне , изменив тем самым множество S*, а вместе с ним и рассматриваемое решение.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 [ 160 ] 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227