Глава XI

ОБЩИЕ ИГРЫ С НЕНУЛЕВОЙ СУММОЙ

§ 56. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕОРИИ 56.1. Постановка задачи

56.1.1. Наше исследование достигло той стадии, на которой можно> отказаться от наложенного на игры ограничения нулевой суммы . Мы уже* однажды ослабили эти условия, рассматривая игры с отличной от нуля, постоянной суммой. Но в действительности это не было существенным расширением игр с нулевой суммой, так как эти два класса игр связаны изоморфизмом стратегической эквивалентное (см. пп. 42.1 и 42.2). Теперь мы предполагаем пойти до конца и отказаться от каких бы то ни было ограничений, наложенных на сумму.

Отметим сначала, что рассмотрение игр только с нулевой суммой значительно ослабляет связь между играми и экономическими проблемами.

Замечание. Следовало бы отметить, что игры с нулевой суммой охватывают не только тип игр, разыгрываемых для развлечения (см. п. 5.2.1), но и многие из игр , имеющих определенную социальную природу. Читатель, который поднялся до понимания этого вопроса и помнит наши многочисленные интерпретации, полностью отдает себе отчет в справедливости этого утверждения.

Таким образом, различие между играми с нулевой суммой и с ненулевой суммой отражает, в некотором смысле, различие между чисто социальными и социально-экономическими вопросами. (Следующее предложение в тексте выражает эту же мысль.)

В частности, это ограничение придает особое значение задаче справедливого распределения в ущерб задаче о производительности (см. п. 4.2.1, особенно сноску 5 на стр. 59, а также п. 5.2.1). Это становится совсем очевидным в случае игры одного лица: поведение в этой ситуации - это только способ производства без каких-либо дележей (или распределений) между игроками. И действительно, игра одного лица не содержит/ никаких проблем в варианте с нулевой суммой, а в варианте с ненулевой суммой она является обыкновенной задачей максимизации.

Таким образом, следует ожидать, что осуществляемая нами программа распространения теории на случай всех игр с ненулевой суммой приведет нас в более тесный контакт со сходными вопросами экономического характера. В последующем обсуждении читатель скоро заметит изменение в общем направлении иллюстративных примеров и интерпретаций: мы будем иметь дело с вопросами двусторонней монополии, олигополии, рынков и т. д.

56.1.2. То, что мы будем рассматривать не только игры с нулевой суммой, означает, как это было указано в п. 42.1, что на функции fflh (Ti, . . ., тп), которые характеризуют игры в смысле п. 11.2.3, теперь не наложено никаких ограничений. Это значит, что требование

(56:1) 2 &кЫ, ...,т ) = 0

fe-1

из пп. 11.4 и 25.1.3 опускается и ничем не заменяется. Мы будем предполагать это и далее.

Это изменение требует полного пересмотра нашей теории со всеми соответствующими понятиями, на которые она опиралась. Характеристические функции, доминирование, решение - все эти понятия уже перестали быть определенными, поскольку (56:1) отменено. Подчеркиваем тот факт, что возникающая здесь проблема является концептуальной, а не просто технической, какими были все проблемы, с которыми мы имели дело в главах VI-X и которые лежали в основе теории игр с нулевой суммой

56.1.3. Перспектива начать все сначала была бы слишком обескураживающей: мы уже затратили значительные усилия на эти понятия и на теорию, основанную на них. Кроме того, мы встречаемся с некоторой концептуальной проблемой, и нам кажется, что качественные принципы, на которые опиралась наша теория, годны лишь для случая игр с нулевой суммой. Поэтому окончательное обобщение - переход от случая нулевой суммы к случаю ненулевой суммы, - казалось бы, должно свести на нет все наши прежние усилия. Поэтому мы должны найти способ обойти эти затруднения.

Здесь можно вспомнить подобную ситуацию, возникшую в п. 42.2. Там наш переход от случая нулевой суммы к случаю постоянной суммы, хотя и в несколько более узком смысле, имел подобные же последствия. Они были устранены использованием изоморфизма стратегической эквивалентности, как это было сделано в пп. 42.3 и 42.4.

Однако плодотворность этого приема исчерпывалась лишь упомянутым случаем: стратегическая эквивалентность расширяет семейство всех игр с нулевой суммой в точности до семейства всех игр с постоянной суммой, но не более. (Это становится ясным из рассмотрения пп. 42.2.2, 42.2.3 или 42.3.1.)

Таким образом, мы должны найти другой способ связать теорию игр с ненулевой суммой с уже созданной теорией игр с нулевой суммой.

56.2. Фиктивный игрок. Расширение до игры с нулевой суммой Г

56.2.1. Прежде чем идти дальше, мы уточним терминологию. Будем рассматривать игры, для которых, как это установлено в п. 56.1.2, условие (56:1) опущено и ничем не заменено. Мы говорим о них, как об играх с ненулевой суммой, но важно ясно представлять, что это выражение понимается в нейтральном смысле, т. е. что мы не хотим исключить те игры, для которых окажется, что (56:1) выполнено. Следовательно, предпочтительнее использовать менее негативное название для таких игр. Итак, мы будем называть игры без ограничений на е/Г& (ть . . ., тя} общими- играми 2).

Мы только что высказали пожелание как-то связать теорию общих игр с теорией игр с нулевой суммой. В действительности можно будет добиться и большего: любую данную общую игру можно будет интерпретировать как некоторую игру с нулевой суммой.

Это может показаться парадоксальным, так как общие игры образуют более широкое семейство, чем игры с нулевой суммой. Однако мы будем интерпретировать общую игру п лиц как некоторую игру п + 1 лиц с нулевой суммой. Таким образом, ограничение, возникшее при переходе

г) Среди этих технических проблем была одна, которую мы предпочли исследовать с помощью метода, содержащего некоторое концептуальное обобщение. Это - случай игр с постоянной суммой, на который мы будем ссылаться далее в тексте. 2 ) Это согласуется с п. 12.1.2.

от общих игр к играм с нулевой суммой, будет компенсироваться, - и это действительно возможно за счет увеличения числа участников

56.2.2. Прием, с помощью которого данная общая игра п лиц превращается в игру с нулевой суммой п + 1 лиц, является простым и естественным.

Он состоит из введения фиктивного (п + 1)-го игрока, относительно которого предполагается, что он теряет ту сумму, которую выигрывают остальные п реальных игроков, и наоборот. Этот игрок не должен, конечно, иметь никакого прямого влияния на ход игры.

Выразим это математически: рассмотрим общую игру п лиц Г с игроками 1, . . ., пи функциями $£k (ть . . ., хп) (к = 1, . . ., п) в смысле п. 11.2.3. Мы введем (п + 1)-го фиктивного игрока, полагая

(56:2) Жш (т4, ..., хп) S Wk (т ..., тп).

Переменные ть . . ., хп контролируются реальными игроками 1, . . ., п. В этом выражается их влияние на ход игры. Так как имеется в виду, что фиктивный игрок не влияет на ход игры, переменная хп+и которую он контролирует, не введена.

Замечание. Формализм п. 11.2.3 предполагает существование xk для любого к (для того чтобы применить это к данному случаю, мы должны заменить п на (п + 1)). Следовательно, можно было бы настаивать на введении переменной тп+1и для фиктивного (п + 1)-го игрока.

Это требование легко удовлетворить. Достаточно ввести переменную xn+i с единственным возможным значением (т. е. положить §п+\ = 1, как уже отмечалось). Фактически можно даже использовать любую область для xn+i (т. е. любые Рп+1), так как Ж\ (т4, . . ., тя, тл+1) не зависят от xn+i, т. е. на самом деле они являются функциями <Жь (ti, . . ., хп), как это и отмечено в тексте.

Таким образом, мы получаем игру п + 1 лиц с нулевой суммой, расширение Г до игры с нулевой суммой, которое будет обозначаться через Г.

56.3. Вопросы, касающиеся свойств Г

56.3.1. В утверждении, что мы интерпретировали любую общую игру п лиц в виде игры п + 1 лица с нулевой суммой, с самого начала содержится предположение, что вся теория Г остается справедливой и для Г. Это утверждение, конечно, требует внимательного рассмотрения.

Сейчас мы проделаем это исследование. Надо иметь в виду, что оно не может быть чисто математическим анализом, подобным проведенному в предшествующих главах, которые опирались на определенную теорию. Нам следует еще раз проанализировать самые основы рассматриваемой теории. Следовательно, сам анализ должен в основном иметь вид правдоподобных рассуждений, даже если они будут появляться в сочетании с дополнительными математическими соображениями. Эта ситуация в точности та же самая, что и в тех прежних примерах, где мы принимали решения относительно теорий игр с нулевой суммой двух, трех и п лиц (см. пп. 14.1-14.5, 17.1-17.9 для игр двух лиц с нулевой суммой; глава V - игры трех лиц с нулевой суммой; § 29, пп. 30.1, 30.2 - игры

г) Этот факт может служить дальнейшей иллюстрацией вновь установленного положения, что любое увеличение числа участников необходимо вызывает обобщение и усложнение структурных возможностей игры.