Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 [ 163 ] 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

п лиц с нулевой суммой. Для общих игр п лиц. т. е. для связи между теориями Г и Г, эквивалентными им пунктами будут 56.2-56.12).

Результат нашего анализа будет состоять в том, что не вся теория игры Г, как игры с нулевой суммой п + 1 лица, в смысле п. 30.1.1, может быть применена к Г. Это верно только для ее части, которую мы выделим. Другими словами, мы покажем, что не вся система решений Г, а лишь некоторая ее подсистема даст то, что мы будем интерпретировать как решение Г.

56.3.2. Фиктивный игрок вводится как математический прием для того, чтобы получаемую игроками сумму сделать равной нулю. Поэтому существенно, что он не может иметь никакого влияния на ход игры. Этот принцип должным образом соблюден в определении Г, данном в п. 56.2.2. Мы должны, однако, задать себе вопрос, полностью ли исключен фиктивный игрок из всех действий, связанных с игрой.

Этот вопрос вовсе не излишен. Коль скоро в игре Г участвует не менее трех игроков 1), игра управляется коалициями, как мы это видели на ранней стадии нашего анализа. Участие фиктивного игрока в какой-либо коалиции, которое, возможно, приведет к выплате компенсаций игроками друг другу, полностью противоречило бы тому духу, в котором он был введен. А именно: фиктивный игрок вовсе не игрок, а лишь формальный прием для формальной цели. Пока он в прямой или косвенной форме не принимает никакого участия в игре, это допустимо. Но как только он начинает вмешиваться, его введение в игру, т. е. переход от Г к Г перестает быть законным. Это значит, что игру Г в этом случае нельзя рассматривать как игру, эквивалентную Г, или как ее истолкование, так как реальные участники Г, т. е. 1, . . ., тг, могут остерегаться опасностей или могут получить выгоду от возможностей, которых, очевидно, в Г не существует.

56.3.3. Можно подумать, что эти возражения опровергаются самим способом, каким мы вводим фиктивного игрока. В самом деле, величины

которые реальные игроки получают в конце игры, не зависят ни от какой переменной, которую бы фиктивный игрок контролировал2), т. е. он не имеет ходов в игре. Как же он может оказаться желаемым партнером в коалиции?

Сначала может показаться, что это соображение имеет некоторую ценность. Описанные условия, казалось бы, делают любую коалицию одинаково обоснованной как без фиктивного игрока, так и с ним. Является ли он чем-нибудь иным, кроме болвана ? Если бы это было так, то теория Г могла бы быть без каких бы то ни было дальнейших оговорок применена к Г. Однако это не так.

Верно, что фиктивный игрок, не имея ходов для того, чтобы влиять на течение игры, не является желаемым партнером ни для какой коалиции. Это значит, что никакой игрок и никакая группа игроков не станут

*) То есть когда п + 1 3, что означает п 2. Итак, только общая игра одного лица свободна от приведенных ниже возражений. Это находится в соответствии с фактом, который мы неоднократно подчеркивали, что общая игра п лиц является чистой задачей максимизации, лишь когда п = 1.



платить (положительную) компенсацию за его сотрудничество. Однако сам этот игрок может быть заинтересован во вступлении в коалицию. Сумма eTi+i (ti, . . ., тп), которую он получает в конце игры, зависит от ходов других игроков - от ть . . ., хп - и ему может быть имеет смысл заплатить некоторым игрокам (положительную) компенсацию за то, чтобы они не вступали в коалицию с другими. Важно понять это правильно: пока играется игра Г, т. е. пока фиктивный игрок является действительно фикцией, ничего подобного случиться не может; но если в действительности играется Г, т. е. если фиктивный игрок ведет себя так, как вел бы себя на его месте игрок реальный, то следует ожидать, что он предложит компенсации другим игрокам.

56.3.4. Как только фиктивный игрок начинает предлагать за сотрудничество с ним компенсации, которые, как мы видели выше, есть плата за отказ от вступления в кооперацию с другими игроками, он получает влияние, которое надо учитывать. Он предлагает объединиться в коалицию и заплатить некоторую цену за право вступить в нее, и его желание платить столь же существенно, как и прямое влияние на игру благодаря способности делать значимые ходы.

Итак, фиктивный игрок вступает в игру, несмотря на неспособность влиять на ее течение непосредственно с помощью своих ходов. Фактически это происходит именно благодаря его бессилию, которое определяет его политику предложения другим компенсаций и таким образом пускает в действие описанный выше механизм.

Для лучшего понимания ситуации, может быть, было бы полезно привести конкретный пример.

56.4. Ограничения в использовании Г

56.4.1. Рассмотрим общую игру двух лиц, в которой каждый игрок, оставшийся один, может обеспечить себе лишь сумму -1, в то время как оба вместе обеспечивают себе сумму 1. Легко ввести реализующие эту ситуацию правила игры х). В частности, этого можно добиться с помощью следующего простого комбинаторного устройства 2).

Каждый игрок выбирает одно из чисел 1, 2. При этом, делая свой выбор, игрок не знает о выборе другого.

После этого расплата производится так: если оба игрока выбрали 1, то оба получают по 1/2, в остальных случаях каждый получает -1 3).

Легко проверить, что эта игра обладает нужными свойствами.

Рассмотрим теперь фиктивного игрока 3 и построим игру, с характеристической функцией v (S), S (1, 2, 3), как это описано в п. 56.2.2. В соответствии со сказанным выше,

v((l))-=v((2)) = -l, v((l,2)) = l.

г) Как будет видно из пп. 60.2, 61.2, 61.3, двусторонняя монополия соответствует именно этому случаю.

2) Эта конструкция напоминает конструкцию, использованную в определении простых мажоритарных игр трех лиц в п. 21.1.

3) В обозначениях п. 11.2.3: р4 = р2 = 2 и

Ж, (т та) = Жг (т., т2) =.Т 6СЛИ т> = т2 = 1,

\ - 1 в остальных случаях.



Очевидно, v(0)=O, и согласно общим свойствам характеристических функций (игры с нулевой суммой)

Итак, (56:3)

v ((3)) = - v ((1, 2)) = -1, v ((2, 3)) = - v ((1)) = 1, v ((1, 3)) = - v ((2)) = 1, v ((1, 2, 3)) = - v (0) = 0.

, если S имеет <

г о 1

2 13

элементов.

Формула (56:3) есть в точности формула (29:1) из п. 29.12, т. е. Г является существенной игрой трех лиц с нулевой суммой в редуцированной форме с у = 1. Таким образом, она совпадает с простой мажоритарной игрой трех лиц, которая рассматривалась в § 21 х).

Из эвристических рассуждений §§ 21-23 мы вывели, что эта игра есть не что иное, как соперничество игроков при объединении в коалиции. Действительно, это становится очевидным, если рассматривать природу простой мажоритарной игры трех лиц (см. п. 21.2.1). Следовательно, фиктивный игрок будет заведомо проявлять тенденцию к вступлению в коалиции. В действительности игра Г, если она задана характеристической функцией, вполне симметрична относительно ее трех игроков. Значит, два реальных игрока 1, 2 играют в точности ту же самую роль, что и фиктивный игрок 3, и поэтому не существует причин, по которым их возможности вступать в коалиции отличались бы от его возможностей2).

56.4.2. Мы можем также обратиться к доводам из последней части п. 56.3 и применить их к этой игре: если фиктивный игрок 3 в Г ведет себя как реальный, то у него имеется достаточно причин, чтобы пытаться помешать образованию коалиции игроков 1, 2, так как в этом случае он теряет 1, если же эта коалиция не образуется3), он выигрывает 2. Следовательно, он будет предлагать игроку 1 или 2 компенсацию за разрушение их коалиции, т. е. за выбор значения т4 или соответственно т2, равного 2, а не 1. Эта компенсация может быть определена, как это делается в §§ 22, 23, и оказывается равной 3/2 4). Читатель может сам убедиться в этом, а также и в том факте, что эта процедура приводит к уже известным результатам, касающимся простых мажоритарных игр трех лиц.

*) Конечно, все эти игры совпадают, если рассматривать их характеристические функции, но ведь и вся теория из п. 30.1.1 основана только на характеристических функциях.

2) Во избежание недоразумений подчеркнем еще раз, что правила Г, полностью выраженные в не симметричны относительно игроков 1, 2, 3. g%*£ зависят от т4, т2 и не зависят от т3. Только характеристическая функция v (£), S с (1, 2, 3) симметрична относительно 1, 2, 3. Но мы знаем, что только v (S) и имеет значение (см. сноску 1).

3) По сноске 3 на стр. 514 и по (56:2):

з(т1, т2)=~вйГ1(т1, T2)-Qff2(Tif т2)=( Г1 ДЛЯ Tl = t2==1

7 xi*/ [2 в остальных случаях.

4) Это - такая компенсация, которая увеличивает выигрыш игрока 1 или 2 (объединяющегося с фиктивным игроком 3) от проигрыша, равного -1, до выигрыша, равного1* который он получает в коалиции 1, 2. Это также снижает выигрыш фиктивного игрока с 2 до 1/2. Это число 1/2 он в действительности и должен получить.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 [ 163 ] 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227