не может идти речь и в данной ситуации х). Исключение этой возможности означало бы, что устойчивая норма поведения (при наличии полной информации) с необходимостью приводила бы к получению максимальной коллективной выгоды. Читатель, знакомый с существующей социологической литературой, должен знать, что дискуссии по этому вопросу далеки от завершения.

Мы, однако, при решении этого вопроса в рамках нашей теории покажем, что с должно принимать минимально возможное значение 2).

56.7.2. Однако некоторое время мы можем рассматривать обе возможности параллельно.

С этой целью вернемся к общей игре п лиц Г и соответствующей игре с нулевой суммой Г. Теперь мы можем дать точные определения.

{56:А:а) Обозначим множество всех решений V игры Г через Q.

(56:А:Ь) Пусть дано число с. Обозначим через Qc систему тех решений V игры Г, в которых для каждого дележа а = {аи . . ., ocn, an+i} £ V должно быть an+i=c3). (56:А:с) Обозначим объединение всех Qc через Q.

(56:A:d) Обозначим то Qc, для которого с = v ((/г + 1)) = = - v((l, . . ., *)), через Q 4).

В связи с (56:А:с) заметим следующее.

Для некоторых с множество Qc пусто. Эти с, очевидно, могут быть при построении Q опущены. Итак, из того, что an+1 v ((п + 1)) = = - v ((1, . . ., 7г)), следует, что - v ((1, . . ., п))\ в остальных

случаях множество Qc пусто. Далее, из

/1+1=- 2 А - 2 *((*))

fe=l k=l

следует cfg- 2 v(()) в остальных случаях Йс пусто. Следовательно, с подчинено ограничению

(56:4) -v((l, ...,*)) g с g - S v ((*)).

На самом деле, оно, как правило, заключено в еще более узких границах 5).

Множество Q из (56:A:d) соответствует минимальному с из (56:4).

2) Однако, если это случится, то это можно рассматривать как неэффективную, хотя и устойчивую, форму социальной организации.

2) То есть упомянутого самоограничения не происходит и всегда получается максимальная социальная выгода. Этот результат не является таким общим, как это может показаться, так как мы предполагаем численную неограниченно трансферабельную полезность, равно как и полную информацию.

3) То есть фиктивный игрок получает одну и ту же сумму с во всех дележах решения.

4) То есть фиктивный игрок получает во всех дележах решения ту сумму, которую он себе может обеспечить, даже в оппозиции ко всем остальным. Это означает, как мы уже знаем, что реальные игроки получают вместе максимальный общий выигрыш.

5) Так, для существенной игры трех лиц с нулевой суммой (56:4) дает -1 < с 2, тогда как мы знаем из п. 32.2.2, что точная область изменения (с непустыми Qc) есть -1 с < !/2.

56.8. Новое построение

56.8.1. Наши рассуждения в пп. 56.3.2-56.4.3 показали, что не все решения из Q одинаково важны для Г. В п. 56.6.1 область этих решений была сужена, однако осталось невыясненным, будет системой всех имеющих значение решений Q или Q .

Итак, системы Q и Q соответствуют двум возможностям, о которых уже говорилось. Займемся теперь выяснением различий между Q и й .

Рассмотрим дележи

(56:5) а = {аи . .., an, an+i}

игры Г. Среди компонент аь . . ., ап, an+i первые а4, . . ., ап - это реальные суммы, которые реальные игроки, 1, . . ., га соответственно

должны получить при дележе а. С другой стороны, последняя его компонента ап+1 выражает некоторую фиктивную величину - сумму, приписываемую фиктивному игроку га + 1. Далее, компонента an+i не только фиктивна в интерпретации Г, но не является также математически необходимой; т. е. если аь . . ., ап известны, то она определяется. Действительно, так как сумма всех компонент дележа а должна быть равна нулю, то

(56:6) an+i= - 2 ock.

Следовательно, удобнее задавать а только его компонентами аь ... . . ., ап, помня при этом, что компонента an+i может быть получена (если это нужно) из равенства (56:6). Таким образом, мы будем писать

(56:7) а = {{а1? .. ., ап}}*

Заметим, что этим обозначением мы не хотим заменить первоначальное, т. е. мы хотим быть свободными в выборе любого из (56:5) и (56:7). Для того чтобы предотвратить путаницу, которая может возникнуть из-за этого двойного определения, мы используем двойные скобки {{ }} в (56:7) вместо простых { } в (56:5).

Замечание. Конечно, мы могли бы все это продолжить, т. е. сделать то же самое и для первоначальной игры п лиц с нулевой суммой. Там дележ

а ={а4, ..., ап}

также определен своими компонентами a*, i Ф io (для любого фиксированного z o), так как

гф1о

В соответствии с этим мы уже заметили в (31.1) (из п. 31.2.1), что множество дележей существенной) игры п лиц с нулевой суммой имеет размерность (п - 1), а не п.

Однако мы не приобрели никаких преимуществ, избавившись от аго, и у нас не было способа решить, которое аг-0 следует исключить, если вообще его исключать. В графическом представлении существенной игры трех лиц с нулевой суммой мы сделали попытку сохранить все at (см. п. 32.1.2).

Здесь ситуация совсем другая, если учитывать особую роль a-fi. Исключение ад+1 будет существенным для нашего дальнейшего исследования.

56.8.2. Дележ а в его форме (56:5) подчиняется ограничению обращения суммы в нуль, а также условиям

(56:8) afv((0) Для i = 1, ..., га, п +1.

Мы должны переписать (56:8) для (56:7), учитывая (56:6).

Для i= 1, . . ., п (56:8) не изменяется при переходе от (56:5) к (56:7) т но для i = n-\~\ мы должны использовать (56:6). Отсюда получаем

2 af-v((7i+l))=v((l, ...,тг)).

Таким образом, (56:8) превращается в (56:9) av((i)) для 1=1,-...,/г,

(56:10) 2a -v((l, ...,тг)).

56.9. Возвращение к случаю, когда Г является игрой с нулевой суммой

56.9.1. Остановимся на истолковании этих ограничений.

Ограничения (56:9) не новы. Они снова выражают то, что мы уже имели для игр с нулевой суммой, а именно, что никто не должен получить меньше, чем он может себе обеспечить, выступая против всех остальных игроков. Однако ограничение (56:10) появилось впервые. Его смысл станет ясным, если мы рассмотрим v ((1, . . ., тг)) более внимательно.

v ((1, . . ., п)) есть значение игры для составного игрока, образованного из всех реальных игроков 1, . . ., тг,1 против фиктивного игрока п + 1. Сумма, которую этот составной игрок получит в конце игры, есть, конечно,

2 Сч, т )-

Он управляет переменными т1? . . ., тп, т. е. всеми переменными, которые входят в это выражение. Так, в игре двух лиц с нулевой суммой реальные игроки управляют всеми ходами, в то время как фиктивный игрок не имеет никакого влияния на течение игры.

Сопоставляя это со схемой игры двух лиц с нулевой суммой, описан-

ной в п. 14.1.1, мы получим, что наша 2 к соответствует &С для этого

случая, а наши переменные ть . . ., хп соответствуют одной переменной г и вместе с тем никакая переменная не может быть при этом поставлена в соответствие т2 из п. 14.1.1.

Интуитивно ясно, что значение такой игры (для первого игрока) получается при максимизации выигрыша по всем его переменным (так как все они им управляются). Оно равно

(56:11) max 2 ..,т ),

ti.....хп к=1

что соответствует в схеме из п. 14.1.1 выражению

(56:12) max<2f (т1? т2) (т2 фактически отсутствует).

Конечно, систематическая теория из §§ 14, 17 дает тот же самый результат: vl7 v2 в п. 14.4.1 равны как друг другу, так и выражению (56:12), ибо операция min является пустой . Таким образом, игра впол-

не определена и имеет значение (15:12) в смысле пп. 14.4.2 и 14.5. Следовательно, общая теория из § 17 необходимо приводит к тому же значению.