Итак, мы видим, что

{56:13) v((l, ..., ))= . max 2 (xlt . .., т ).

Следовательно, (56:10) выражает, что ни один дележ не может дать всем реальным игрокам больше, чем они могут получить в самом благоприятном случае, т. е. предполагая полную кооперацию и наилучшую возможную стратегию *).

Замечание. Если игра в своей первоначальной форме, т. е. до того, как осуществлено нормирование из пп. 12.1.1 и 11.2.3, содержит случайные ходы, то в словах самый благоприятный случай речь идет не о них. Именно, предполагаются только кооперация и оптимальный выбор стратегий, в то время как случайные ходы должны учитываться только при нахождении математического ожидания выигрышей. В действительности как раз этим путем мы переходили в п. 11.2.3 от функций

$л(т<ь ть хп)

(где т0 представляет влияние всех случайных ходов) к функциям o7Ck (т1? . . ., тп), с которыми мы сейчас имеем дело.

Суммируя сказанное, мы получаем:

(56:В) Дележи в форме (56:7) подчиняются следующим ограничениям:

(56:В:а) Никакому реальному игроку не следует предлагать меньше, чем он может себе обеспечить, даже играя против остальных (см. (56:9)).

{56:В:Ь) Все реальные игроки вместе не должны получить больше той суммы, которую можно ожидать в самом благоприятном случае, т. е. при полной кооперации и лучшей стратегии (см. (56:10) и (56:13)).

Эти формулировки делают смысл наших ограничений (56:9) и (56:10) (т. е. (56:В:а), (56:В:Ь)) совершенно ясным. Нарушение (56:9) (т. е. (56:В:а)) означает, что один из реальных игроков получает предложение более неблагоприятное, чем то, на что он может рассчитывать в худшем случае. Нарушение (56:10) (т. е. (56:В:а)) означает, что объединение всех (реальных) игроков получает предложение более выгодное, чем то, что они могут надеяться когда-либо получить. Представляется естественным рассматривать (56:10) именно как те условия, при которых игроки, действующие разумно, откажутся рассматривать какую-либо схему распределения (дележ) ввиду ее явной бессмысленности.

56.9.2. Прежде чем продолжать, мы снова должны просмотреть уже сделанное и сравнить построенную только что теорию с прежней в тех случаях, когда они обе применимы.

В частности, предположим, что мы применяем преобразования предыдущего пункта к игре Г п лиц, которая уже является игрой с нулевой суммой. Построим для этой игры сначала игру п + 1 лица с нулевой суммой, как это описано в п. 56.2.2, а затем поступим, как в п. 56.8.2.

Важно не ошибиться в смысле этих операций. Очевидно, что операции из пп. 56.2.2 и 56.8.2 не нужны, если сама игра Г с нулевой суммой, так как мы располагаем теорией, которая этот случай предусматривает. Но если на этой основе должна быть построена более общая теория,

х) Заметим, что понятие наилучшей стратегии для всего объединения реальных игроков определено очевидным образом: если они полностью объединены, то мы имеем чистую задачу максимизации.

верная для всех игр, то мы должны потребовать, чтобы она согласовалась со старой (более частной) теорией там, где последняя применима. Это значит, что в пределах применимости старой теории, где новая теория оказывается излишней, она должна согласовываться со старой теорией *).

56.9.3. То, что Г является игрой п лиц с нулевой суммой, означает,

2 0F*(Ti, ...,ти)-О,

т. е. e%n+i(ti, . ..,тп) = 0. Таким образом, \ (S) не изменится, если (тг+1)-й фиктивный игрок добавлен к множеству S (или исключен из него). Иными словами,

(56:14) y(S) = v(S[}(n + l)) для S <= (1, .. ., тг).

Частные случаи, когда S- 0, (1, . .., тг) дают нам (56:15) v ((7i + l)) = О,

(56:16) v((l, .... 7i+l))=0.

Соотношения (56:14) и (56:15) показывают, что игра Г разложима с разлагающими множествами (1, . . ., п) и (тг + 1). Ее составляющая с (1, . . ., п) есть первоначальная игра Г, а фиктивный игрок является болваном 2). (О разложении см. конец п. 42.5.2 и п. 43.1. О болванах см. замечание на стр. 353 и наконец п. 43.4.2.)

Теперь мы можем высказать следующие соображения.

56.9.4. Первое. Так как Г получается из Г добавлением болвана , решения Г и Г. (в старой теории) должны соответствовать друг другу, и различие между ними должно заключаться лишь в том, что в последнем присутствует болван (фиктивный, (тг + 1)-й игрок), которому приписывается выигрыш v ((тг + 1)) = 0 (см. п. 46.9.1, или (46:М) в п. 46.10.4).

Предлагаемая нами новая теория позволит получить решение Г из решений (в старой теории) Г. Поэтому из приведенного выше рассуждения следует, что все новые решения, полученные для Г, будут находиться среди старых. Кроме того, мы видим, что в этом случае мы можем (а в действительности даже должны) взять всю систему Q из (56:А:а) в п. 56.7.2. Следует отметить, однако, что в этом случае все решения Q автоматически приписывают фиктивному игроку п + 1 сумму v ((тг + 1)). Таким образом, здесь Q = Qc с с = v ((тг + 1)), т. е. Q = Q (см. (56:А:Ь) и (56:A:d)). Следовательно, любое множество, которое мы можем определить между Q и Q (в частности, каждое из множеств й и Q из (56:А:с) и (56:A:d)), совпадает с Q и одинаково подходит для наших целей.

Другими словами, выбор между Q и который мы должны сделать, в данном случае не имеет значения. Обе возможности согласуются здесь

г) Это - хорошо известный методологический принцип математического обобщения.

2) Читатель должен помнить, что в общем случае в Г фиктивный игрок не является болваном . Это, возможно, звучит парадоксально, но это было показано в п. 56.3 на частном примере общей игры двух лиц Г. В действительности это именно потому, что правила игры Г не позволяют ему в общемслучае приписать роль болвана , и мы должны были ограничить решения V игры Г теми, где он эту роль играет. В этом и состоит смысл пп. 56.3.2-56.6.2.

Мы определим в п. 57.5.3 те свойства Г, которые необходимы и достаточны для того, чтобы фиктивный игрок был болваном .

со старой теорией; фактически здесь вовсе не было необходимости отказываться от старой теории х).

56.9.5. Второе. Дележи для игры п лиц с нулевой суммой в старой теории были определены следующим образом:

(56:С:а) а = {аь . . ., ап};

(56:C:b) a*v((i)) для i=l, ...,тг;

(56:С:с) Цаг = 0.

Наше новое определение (56:7) из п. 56.8.1 отличается от этого. Здесь мы имеем

(56:С:а*) а = {{аи . . ., ал}};

а на основании (56:9), (56:10) и (56:16), (56:C:b*) afv((i)) Для i = l,

(56:С:с*) S 0.

Мы уже знаем из предыдущего замечания, что не может быть никакого существенного различия между старой и новой теориями 2). Тем не менее полезно увидеть непосредственно (с точки зрения старой теории), что между (56:С:а), (56:С:Ь) и (56:С:а*), (56:С:Ь*) нет никакой разницы.

Единственное различие между этими определениями содержится в (56:С:с) и (56:С:с*). Вспоминая определение из п. 44.7.2, мы видим, что это различие можно выразить так: первое условие равносильно рассмотрению решения для Е (0), второе - для F (0). Далее, мы уже заметили в п. 46.8.1, что 0 лежит в нормальной зоне игры Г и, по (45:0:Ь) в п. 45.6.1, Е (0) и F (0) имеют одни и те же решения. Таким образом, мы получили полное соответствие.

Мы сделали эти. два замечания, используя теорию композиции и разложения игр из главы IX для анализа влияния введенной новой процедуры для игры Г с нулевой суммой. Эта процедура состоит в основном из перехода от Г к Г, который, как мы видели, соответствует включению в игру Г болвана . Это - существенно более частный случай композиции, рассмотренный в главе IX. Эти частные результаты могли быть получены с меньшими усилиями, чем в результате применения указанных гораздо более общих теорем. Мы не будем больше углубляться в этот предмет, так как общие результаты главы IX справедливы в любом случае, а проведенное выше рассуждение проясняет наши построения в их первоначальных условиях.

56.10. Анализ понятия доминирования

56.10.1. Вернемся теперь к общей игре п лиц, ее расширению до игры с нулевой суммой Гик новому определению дележей, которое было введено в п. 56.8.

х) Необходимость ограничения Q была получена в пп. 56.5, 56.6 из рассмотрения игры Г с ненулевой суммой.

2) Или, более того, между старой и любой новой теорией, построенной в рассмотренном выше духе (мы пока еще не сделали выбора между Q и Q ).