Конечно, все решения Г, вообще говоря, не могут быть использованы для определения удовлетворительного понятия решения Г. Это выяснилось из рассмотрения частного примера в пп. 56.5-56.6. Изучим теперь вопрос систематически, т. е. применим к игре формальное определение решения, сформулированное в п. 30.1.1, и попытаемся выяснить в общем случае, какие из его свойств нас не удовлетворяют и требуют видоизменения.

При этом мы будем пользоваться понятием дележа (в Г) в новом определении (56:7) из п. 56.8.1. Важным свойством этого определения является то, что оно с самого начала подчеркивает значение реальных игроков в Г, т. е. обращает наше внимание скорее на Г, чем на Г. Но это, конечно, не изменяет того факта, что мы применяем формальную теорию п. 30.1.1 к игре 72 + 1 лица с нулевой суммой Г, а не к общей игре Г (что было бы невозможно).

Понятия в п. 30.1.1 опираются на понятия доминирования. Следовательно, мы начнем с объяснения смысла понятия доминирования, как оно было там определено, для дележей игры Г в форме (56:7) из п. 56.8.1.

-> -у

Рассмотрим два дележа: а = {{а1? . . ., ап}}, (3 = {{(З . . ., 3Д}}. Доминирование

-у -у

as- 3

означает, что существует непустое множество п + 1),

эффективное для а, т. е.

(56:17) 2 av(S),

и такое, что

(56:18) aj>3j для всех i£S.

Мы хотим выразить это в терминах аг, (3 только для i = 1, . . ., п. Необходимо различать две возможности.

56.10.2. Первая. S не содержит п + 1. Тогда

(56:19) S gr (1, . . ., тг), S непусто.

Условия (56:17) и (56:18) сохраняются в прежней форме, так как они содержат лишь с, §г с i = l, . . ., п. Кроме того, £ (1, . . ., п) для v(5) из (56:17).

Вторая. S содержит п + 1. Положим Т = S - (тг + 1). Тогда

(56:20) Т (1,3. . ., 72), Т может быть пустым.

Условия (56:17) и (56:18) должны быть изменены, так как в них теперь входит ctn+i,

Естественно составить множество -S из (1, . . ., тг, п + 1), равное (1, . . ., тг, тг + 1) - S, и множество - Т из (1, . . ., тг), равное (1, . . ., тг) - Г. Ясно, что эти множества совпадают, но тем не менее полезно иметь для них два обозначения. Обозначим первое через L S, а второе через -Г.

Так как 2 а* = 0 то

Следовательно, (56:17) превращается в (56:21) 2 atv(-T).

Сюда входят лишь af с г = 1, . ..,га. Кроме того, - Г (1, . ..,/г).

Далее, неравенства (56:18) переписываем как

(56:22) a*>fc для г из Т

и a+1 > p+j. Последнее неравенство означает, что

(56:23) 2 а,<2

г=1 г=1

В (56:22) и (56:23) также входят лишь at, pf с i = 1, . . ., га. Суммируя сказанное, мы получим следующее:

-> ->

(56:D) а е- р означает, что существуют либо

(56:D:a) S, удовлетворяющее (56:19) и (56:17), (56:18), либо

(56:D:b) Г, удовлетворяющее (56:20) и (56:21), (56:22), (56:23).

Заметим, что во все эти условия входят только множества S, Т, -Т !== (1, . . ., га) и компоненты с, Р* при i = 1, . . ., га, т. е. эти условия относятся только к первоначальной игре Гик реальным игрокам 1, . . ., га.

56.10.3. Критерий доминирования (56:D) был получен буквальным применением первоначального определения из п. 30.1.1 к игре Г и последующей его переформулировки в терминах игры Г. После того как эта строгая операция выполнена, попытаемся рассмотреть полученный результат с точки зрения его интерпретации, т. е. посмотрим, приводят ли в данном случае условия (56:D) к разумному определению доминирования.

В соответствии с (56:D) доминирование имеет место в двух случаях: (56:D:a) и (56:D:b).

(56:D:a) есть всего лишь переформулировка первоначального определения из п. 30.1.1 х). Оно выражает, что существует группа (реальных) игроков (множество S из (56:19)), каждый из которых предпочитает свое

положение в а положению в р (т. е. (56:18)) и которым известно, что они могут данной группой (в объединении) обеспечить себе это предпочитаемое положение (т. е. (56:17)).

(56:D:b), с другой стороны, в терминах Г, и рассматриваемое только для реальных игроков, означает нечто совсем новое. Оно тоже требует, чтобы существовала группа (реальных) игроков (множество Т из (56:20)),

каждый из которых предпочитает дележ а дележу р (т. е. (56:22)). Способности этой группы обеспечить себе предпочитаемый дележ (т. е. (56:17)) не требуется. Вместо этого имеется условие, что реальные игроки, не вошедшие в эту группу, не должны быть в состоянии блокировать дележ а в той мере, в какой он их затрагивает (это - (56:21)).

г) Примененного, однако, к общей игре Г, для которой эта теория не предназначалась!

бы они могли самостоятельно обеспечить себе больше, чем они вместе получают в а т. е. если бы было

2 са<у(-Т).

i£-T

(Заметим, что мы исключили здесь равенство, так как иначе дележ а не блокировался бы.) Отрицанием этого будет

(56:21) 2 oav(-T).

i£-T

Это можно сравнить с выражением возможности первоначальной группы Т обеспечить свое предпочтение, т. е.

(56:17) S

Следует отметить, что ни одно из (56:17), (56:21) не влечет другого: вполне возможно,

что группа Т может обеспечить а, если это в интересах членов Г, и что в это же самое

время группа -Т может не допустить а, если это в ее интересах. С другой стороны, возможно также, что не выполнено ни то, ни другое.

Однако, если Г - игра с нулевой суммой и если мы требуем (как в старой теории)

равенства - О? то соотношения (56:17) и (56:21) эквивалентны. В самом деле.

в этом случае

v(r) + v(-r) = v((l, я)) =0

2 а*=-2а*, у(-Г)=-у(Г),

г£-Т г£Т

откуда и следует эквивалентность.

Наконец, имеется специфическое условие, в соответствии с которым всем (реальным) игрокам, т. е. обществу в целом, должно быть не хуже

при предпочитаемом режиме а, чем при отвергнутом режиме Р (см. (56:23)).

56.10.4. Странная возможность (56:D:b) была, очевидно, получена из-за трактовки фиктивного игрока как некоей реальности. Если же мы воздержимся от каких-либо попыток выражаться в терминах реальности (т. е. реальных игроков), то будет очень трудно интерпретировать (56:D:b). Лучшее, что можно, по-видимому, об этом сказать, - это то, что допускается эффективная возможность влияния некоторого определенного множества, которое повредит обществу в целом (т. е. объединению всех реальных игроков). В частности, в этом случае доминирование будет иметь место, когда все игроки некоторой группы (реальных игроков)

-> -У

предпочитают свое индивидуальное положение в а положению в р, если при этом оставшиеся (реальные) игроки не в состоянии изменить существующее положение и если это вредит обществу в целом.

При сравнении доминирования (56:D:b) с обычным доминированием (56:D:a) становятся ясными следующие различия: во-первых, в (56: D:a) существенна возможность осуществления предпочтения некоторыми игроками, в то время, как в (56:D:b) существенна возможность остальных игроков блокировать это. Во-вторых, в (56:D:a) активная группа должна быть непустым множеством, в то время как в (56:D:b) она может быть и пустой (см. (56:19) и (56:20)). В-третьих, с (56:D:b) связаны антисоциальные соображения, чего нет в (56:D:a).