Читатель скоро сможет заметить, что (56:D:b) носит несколько неестественный характер, но тем не менее не является совсем уже необычным. Можно было бы легко сказать и больше о тех образах и аллегориях, точной формализацией которых являются (56:D:b). У нас нет необходимости дольше задерживаться здесь на этом вопросе. Важно то, что имеется ряд причин рассматривать возможность (56:D:b) как общее выражение тех трудностей, частный случай которых анализировался в пп. 56.5-56.6. Ясно, что (56:D:b) не является столь же правдоподобным подходом к понятию доминирования в том смысле, как (56:D:a).

Мы поэтому попытаемся разрешить наши трудности простым отбрасыванием (56:D:b).

56.11. Строгие рассуждения

56.11.1. Мы только что решили переопределить доминирование отбрасыванием (56:D:b) и сохранением (56:D:a) в (56:D) из п. 56.10.2. Эту новую концепцию доминирования можно обосновать двумя способами, каждый йз которых заслуживает рассмотрения.

Первый. Как было отмечено в начале п. 56.10.3, утверждение (56:D:a) сводится к повторению соответствующего определения из п. 30.1.1. Единственное различие состоит в том, что там Г была игрой п лиц с нулевой суммой, в то время как сейчас это - общая игра п лиц.

Таким образом, данный способ означает, что мы распространили понятие доминирования из п. 30.1.1 на наш случай без изменения, несмотря на то, что игра уже не является игрой с нулевой суммой *).

Второй. Рассмотрим теперь (56:D:a) с точки зрения Г, а не Г. В первоначальных рассмотрениях п. 56.10 мы получили два случая (56:D:a) и (56:D:b) в зависимости от двух исключающих друг друга возмояшостей. В смысле п. 30.1.1 понятие доминирования в Г опиралось на множество S. При этом (56:D:a) получилось, когда п + 1 не принадлежит S, a (56:D:b) - в противном случае. Следовательно, ограничиться (56:D:a) - значит потребовать, чтобы S не содержало п + 1.

Мы повторяем: наше новое понятие доминирования означает в терминах Г, что в определении доминирования из п. 30.1.1 мы добавляем к условиям (30:4:а) - (30:4:с), наложенным на множество S, еще и то условие, что S не должно содержать некоторого конкретного элемента, именно п + 1.

Это можно представить и как ограничение понятия эффективности, введенного в своем месте; мы будем считать множество S эффективным, только если оно не содержит п -f- 1 (конечно, первоначальные условия (30:3) также должны быть соблюдены).

56.11.2. Перейдем теперь к изучению нового понятия решения для Г, т. е. решения для Г, основанного на новом понятии доминирования* введенном в п. 56.11.1. При этом мы будем исходить из игры Г, определения дележей (56:5) (а не из игры Г и дележей в форме (56:7)) и определения доминирования, данного во втором замечании из п. 56.11.1.

*) Может показаться странным, что мы пришли к этому простому принципу с таким трудом, на деле же необходимо провести дальнейшее рассмотрение п. 56.11.2, прежде чем принять его окончательно. Однако принятие определения из п. 30.1.1 без каких-либо альтернатив, несмотря на исключительно широкое обобщение, проведенное здесь, требует самого пристального внимания. Подробный индуктивный подход, данный в этих пунктах, представляется наиболее приспособленным для этих целей.

Мы получим нужный результат, доказав последовательно четыре леммы.

(56: Е) Если V - решение i\ в новом смысле, то для каждого

а = {аи . .., ап, an+i} из V должно быть ап+1 = у ((га + 1)). Доказательство. Предцоложим противное. Так как всегда 7i+i=-v + 1)), должен существовать дележ а = {а4, . . ., ап, an+i) £ 6 V, для которого ап+1 > v ((га + 1)). Положим an+i == v ((га + 1)) +е> 8 > 0. Определим (3 = {р1? . . ., р , р-м}, взяв Р* = а*4~ для 1 = 1,..., га; p7i+i = а +1 - 8 = v ((га + 1)).

Так как 2 pz- = - рд+1 = - v ((га + 1)) = v ((1, . . ., га)) и р* > <xf для

i = l, . . ., га, должно быть р е- а по множеству S = (1, . . ., га) Так как а принадлежит V, дележ Р не может принадлежать V. Следовательно, существует такое у £ V, что у е- р. Рассмотрим теперь множество S, относительно которого происходит это доминирование. Так как S не содержит га + 1, мы имеем S s (1, . . п). Из Р* > для i =

= 1, . . # и у е- р следует, что 7 е- а. Но и у и а взяты из V; следовательно, получено противоречие.

(56:F) Если V является решением Г в новом Смысле, то оно являет-

ся решением и в старом смысле.

Доказательство. Мы должны показать, что (30:5:а), (30:5:Ь) из п. 30.1.1, с доминированием в новом смысле, влекут аналогичные соотношения с доминированием в старом смысле. В самом деле, из доминирования в новом смысле следует доминирование в старом, а значит, (30:5:Ь). Так что проверки требует лишь (30:5:а).

Предположим поэтому, что (30:5:а) неверно в старом смысле, т. е. что

-V -> -у -у

для некрторых а, Р £ V имеет место а е- Р в старом смысле. Пусть S - множество, по которому осуществляется доминирование. По (56:Е) an+i = pn+i (= v ((га + 1))); значит, га + 1 не может принадлежать S.

Следовательно, а е- Р в новом смысле, т. е. (30:5:а) неверно и в новом смысле. Это завершает доказательство.

(56 :G) Если V -решение Г в бтаром смысле и если для любого

а = {аи ..., аП9 an+i} из V имеет место а71+1 = v((ra-f 1)) то V является решением и в новом смысле.

Дрказате льство. Мы должны доказать, что из (30:5:а) и (30:5:Ь) с доминированием в старом смысле следуют те же соотношения с доминированием в новом смысле. Доминирование в старом смысле

*) Это доминирование, как и все остальные в этом доказательстве, понимается в новом смысле.

следует из доминирования в новом; следовательно, (30:5:а) выполняется. Остается доказать (30:5:Ь).

Рассмотрим теперь дележ а = {а1? . . ., ад, a +i}, не принадлежащий V. Раз (30:5:Ь) верно в старом смысле, должно существовать такое

-> - -> ->

Р = . . ., рд, p+i} £ V, что р е- а в старом смысле. Пусть S - множество, по которому осуществляется это доминирование. Всегда

c+i v ((тг + 1))> а так как р принадлежит V по предположению,

- должно быть рд+1 = v ((тг -f- 1)). Следовательно, рд+1 ад+1 и тг -f- 1

-> ->

не может принадлежать 5. Значит, р е- а в новом смысле, т. е. (30:5:Ь) выполняется и в новом смысле, что завершает доказательство.

(56:Н) V является решением Г в новом смысле тогда и только тогда, когда оно принадлежит системе Q , определенной в (56:A:d) из 56.7.2.

Доказательство в одну сторону следует из (56:Е) и (56:F), а в обратную- из (56 :G).

56.11.3. Для того чтобы пояснить результат (56:Н), мы должны вспомнить первоначальные рассуждения о необходимости ограничить систему Q всех решений Г при использовании ее для Г. Мы видели в п. 56.7, что разумным результатом такого ограничения могут являться множества Q или Q (или, возможно, некоторое промежуточное множество). После этого наши усилия были направлены на то, чтобы сделать выбор между этими двумя возможностями. Далее, в пп. 56.10-56.11.1 мы пришли к выводу, что изменение понятия доминирования в Г может помочь нам решить этот вопрос. А теперь в (56:Н) показано, что это изменение понятия доминирования приводит в точности к £2 . Этим решение вполне определено. Мы принимаем теперь £2 в качестве системы всех решений Г.

56.12. Новое определение решения

56.12. Переформулируем сказанное, делая ссылки на те основные результаты, которые лежат в основе наших выводов. (56:1)

(56:1:а) Решением общей игры Г является любое из решений (в первоначальном смысле ц. 30.1.1) ее расширения до игры с нулевой суммой (игры п + 1 лиц с нулевой суммой Г), в котором для всех

а = {а4, ..., (Хд, <хп+1}

из V

(56:24) cWi = v((/i + l)).

Эти решения как раз образуют множество £2 , определенное условием (56:A:d) в п. 56.7.2.

->

(56:1:Ь) Используя для этих дележей форму (56:7), а = {{с, . . .ап}} (т. е. подчеркивая, что речь идет об игре Г и ее игроках, а не о Г), преобразуем (56:24) в

(56:25) S aj = v((l, в)).