Это, очевидно, является усиленной формой (56:10) из п. 56.8.2.

(56:1:с) В том частном случае, когда сама игра Г является игрой с нулевой суммой, наше новое понятие решения (для Г) совпадает со старым, т. е. без изменений применяется понятие из п. 30.1.1 (см. первое замечание в п. 56.9.4). Следовательно, нет больше необходимости различать старую и новую теории (см. также сноску 1 к стр. 523).

(56:I:d) Для общей игры га лиц Г решение также может быть получено применением определений п. 30.1.1 (которые были задуманы только для игр с нулевой суммой) непосредственно к Г и без каких-либо изменений. Понятие дележей в Г в этом случае должно использоваться в форме (56:7). (См. первое замечание в п. 56.11.1.)

(56:1:е) Справедливость (56:I:d) означает, что к определению дележей в форме (56:7), данному в п. 56.8.2, ничего добавлять не нужно. Однако по (56:I:d), равенство (56:25) будет в этом случае автоматически выполняться в каждом решении V. Следовательно, мы можем, если пожелаем, добавить условие (56:25), т. е. усилить (56:10) из п. 56.8.2 до (56:25) х).

(56:I:f) Ограничение, наложенное в (56:1:а) на решения Г, может быть также выражено модификацией понятия доминирования для Г с последующим допущением всех решений в этом новом смысле. Эта модификация состоит в предъявлении к эффективному множеству (в смысле п. 30.1.1) нового требования, состоящего в том, что оно не должно содержать га + 1 (см. второе замечание из п. 56.11.1).

§ 57. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И СВЯЗАННЫЕ

С НЕЙ ПОНЯТИЯ

57.1. Характеристическая функция. Расширенная и ограниченная формы

57.1. Теперь мы располагаем теорией, которая применима ко всем играм и, подобно теории из п. 30.1.1 для игр с нулевой суммой (обобщением которой она является), основана исключительно на характеристической функции. Это значит, что функции $£k (т1? . . ., тп), к = 1, . . ., га, из п. 11.2.3, которые фактически определяют игру, оказывают влияние в этой теории не непосредственно, а лишь через характеристическую функцию v(5) 2).

г) Эта возможность перехода от

(56:10) 2 а* = у№> Л

(56:25) 2 a*=v((l. .*))

аналогична (но в более общей форме) эквивалентности Е (0) и F (0), о которой говорилось во втором замечании из п. 56.9.5.

2) Конечно, y(S) определяется с помощью $Ch (хи . . ., тп). См. пп. 25.1.3 и 58.1.

Существует, однако, различие между употреблениями характеристической функции v (S) для игры с нулевой суммой и для общей игры. Для игры п лиц с нулевой суммой Г характеристическая функция v (S) определена для всех множеств S (1, . . тг) и только для них (см. 25.1). Для общей игры п лиц мы должны были составить ее расширение, игру п + 1 лиц с нулевой суммой Г, и характеристическая функция v (S) была фактически построена как характеристическая функция (в старом смысле) для игры Г (это та y(S), которая фигурировала во всех наших последних рассуждениях, в частности в пп. 56.4.1, 56.5.1, 56.7.2, 56.8.2, 56.9.1, 56.9.3-56.10.3 и 56.11.2-56.12). Соответственно значения v(*S) определены теперь для всех множеств S (1, . . ., тг, п + 1) и только для них. Мы можем, однако, при желании рассматривать v (S) только для множеств S s= (1, . . п). Если это сделано, то мы будем говорить об ограниченной характеристической функции, тогда как v (S) в своей первоначальной области определения, охватывающей все S (1, . . ., тг, тг + 1), назовем расширенной характеристической функцией.

Отсюда мы заключаем, что в частном случае игры с нулевой суммой характеристическая функция из старой теории есть ограниченная характеристическая функция в новой теории *).

Возвращаясь к общим играм, мы видим, что характеристические функции являются основой всей рассматриваемой теории. Из эквивалентных формулировок этой теории (56:1:Ь) из п. 56.12 использует ограниченную характеристическую функцию, в то время как (56:1:а) использует расширенную.

Следовательно, нашей ближайшей целью неизбежно становится выяснение природы этих характеристических функций и их связей друг с другом.

57.2. Основные свойства

57.2.1.-Рассмотрим общую игру п лиц Г и две ее характеристические функции, как они были определены выше: ограниченную v (S), определенную для всех подмножеств S множества / = (1, . . ., тг), и расширенную \(S), определенную для всех подмножеств множества / = (1, . . ., тг, п+1) 2).

В дальнейшем мы должны различать две возможности в наших обозначениях для -S, как это делалось во втором замечании в п. 56.10.2. Для S / = (1, . . ., тг, тг + 1) мы можем понимать -S из / как / - S, тогда как для S / = (1, . . ., тг) мы можем также понимать -S из / как I - S 3). Снова обозначим первое множество через L S, а второе через -S.

Мы намерены перечислить существенные свойства обеих характеристических функций для общей игры п лиц так же, как это было сделано в пп. 25.3 и § 26 для характеристической функции игры тг лиц с нулевой суммой.

г) Все эти различия и определения не могут влиять и не влияют на тот строго установленный факт, что для игр с нулевой суммой эти две теории эквивалентны (см. (56:1:с) из п. 56.12).

2) Мы обозначаем их одной и той же буквой v, так как они имеют одни и те же значения на тех множествах, для которых они обе определены.

3) Ясно, что эти множества, образованные для одного и того же множества S (конечно, S с/), различны. Раньше мы требовали, чтобы они были одинаковыми, но там мы их образовывали для двух различных множеств S и Т.

Сначала рассмотрим расширенную характеристическую функцию. Так как она является характеристической функцией в старом смысле для игры га + 1 лица Г с нулевой суммой, она должна обладать свойствами (25:3:а) - (25:3:с), сформулированными в п. 25.3.1, с единственной заменой там /= (1, . . ., га) на / = (1, . . ., га, га -f 1).

Таким образом, мы получаем следующее:

(57:1:а) v(0)=O;

(57:l:b) v(lS)-~v(S);

(57:1:с) v (S U Т) v (S) + v (Т), если 5ПГ = 0 (5, Tc=f).

Рассмотрим, далее, ограниченную характеристическую функцию. Условия, которым она должна удовлетворять, мы получим из (57:1:а) - (51:1:с), если ограничимся подмножествами из /. Условия (57:1:а), (57:1:с) сохраняются, чего нельзя сказать об условии (57:1:Ь) 1). Итак, мы получаем:

(57:2:а) v(0) = O;

(57:2:с) v (S [} Т) v (S) + v (Г), если S()T=0(S, Т<=1).

Заметим, что мы не можем заменить (57:1:Ь) чем-нибудь эквивалентным для -S. В самом деле, все, что мы можем сделать с -- это положить в (57:1:с) Т= - S. Это даст нам

(57:2:b) v (-S) v (/) - v (S).

Даже если v(/) = 0, чего в нашем случае и не может быть, (57:2:Ь) превращаются только в

(57:2:b*) v (-S) v (£),

что не эквивалентно (25:3:Ь) из п. 25.3.1, где v ( - S) = - \? (S).

Условия (57:1:а) - (57:1:с), так же как и (57:2:а) и (57:2:с), являются, как это следует из их вывода, лишь необходимыми свойствами (ограниченной или расширенной) характеристических функций. Мы должны выяснить, являются ли они также и достаточными.

57.2.2. Если Г - произвольная игра га + 1 лица с нулевой суммой, то из результатов п. 26.2 следует, что функция v (S), удовлетворяющая условиям (57:1:а) - (57:1:с), является характеристической функцией (в старом смысле) некоторой игры Г, т. е. расширенной характеристической функцией некоторой общей игры га лиц Г. Другими словами, этим доказано, что условия (57:1:а) - (57:1:с) являются необходимыми и достаточными, т. е. что они содержат полное математическое описание характеристических функций всех возможных общих игр Г.

Однако игра Г не является совершенно произвольной. Как мы видели в п. 56.2.2, (га + 1)-й (фиктивный) игрок не имеет влияния на течение игры, т. е. не имеет личных ходов; значения &Ck (т1? . . ., тд, т+i) в действительности не зависят от переменной тд+1. Кроме того, из п. 56.2.2 ясно, что это единственное ограничение, которому должна удовлетворять Г: если в игре га + 1 лиц с нулевой суммой Г игрок га + 1 не влияет на ход игры, то можно рассматривать Г как расширение некоторой общей

г) S и L S не могут одновременно С / = (1, . . п), так как одно из этих множеств должно обязательно содержать п + 1.