Во-вторых, следует проводить соответствующее различие и для ходов, которые служат составляющими элементами игры. Ход представляет собой возможность выбора между различными альтернативами, производимого либо одним из игроков, либо некоторым случайным устройством, в условиях, точно определяемых правилами игры. Ход является не чем иным, как этой абстрактной возможностью с соответствующими деталями описания, т. е. некоторой компонентой игры. Конкретная альтернатива, выбранная в конкретной ситуации, т. е. в конкретной партии, называется выбором. Таким образом, ходы относятся к выборам точно таким же образом, как игра - к партии. Игра состоит из последовательности ходов, а партия - из последовательности выборов г).

Наконец, правила игры не следует смешивать со стратегиями игроков. Точные определения будут приведены позднее, но подчеркиваемое нами различие должно быть ясно с самого начала. Каждый игрок выбирает свою стратегию (т. е. общие принципы, которым подчинены его выборы) свободно. В то время как любая конкретная стратегия может быть хорошей или плохой - при условии, что эти понятия могут быть интерпретированы точным образом (см. пп. 14.5 и 17.8-17.10),- принятие или непринятие этой стратегии полностью находится в распоряжении игрока. Правила игры, однако, представляют собой абсолютные предписания. Если они когда-либо нарушаются, то, по определению, все мероприятие уже перестает быть игрой, описываемой этими правилами. Во многих случаях нарушение правил игры невозможно даже физически 2).

6.2. Элементы игры

6.2.1. Рассмотрим теперь игру п игроков Г. Для краткости игроки будут обозначаться через 1, . . ., п. Привычные представления говорят нам о том, что эта игра представляет собой некоторую последовательность ходов; мы будем предполагать, что как число, так и чередование этих ходов заданы с самого начала. Впоследствии мы увидим, что эти ограничения не являются в действительности существенными и могут быть без труда сняты. Пока что обозначим фиксированное число ходов игры Г через v; оно является целым числом: v = 1, 2, . , . Сами ходы обозначим через . . ., qMv; предположим, что они уже выписаны в том хронологическом порядке, в котором они согласно предписанию должны выполняться.

Каждый ходеи, и = 1, . . ., v, в действительности состоит из ряда альтернатив, среди которых происходит выбор, составляющий ход оЖк. Обозначим число этих альтернатив через ах, а сами альтернативы - через

Ходы могут быть двух типов. Ходы первого типа, или личные ходы, представляют собой выборы, производимые конкретным игроком, т. е. зависящие от свободного решения последнего и больше ни от чего. Ходы второго типа, или случайные ходы, представляют собой выборы, зависящие от некоторого механического устройства, которое производит свои выборы

*) В этом смысле применительно к шахматам мы говорили бы о первом ходе и о выборе е2-е4 .

2) Например, в шахматах правила игры запрещают ставить короля под шах. Это запрещение носит столь же абсолютный характер, как, скажем, запрещение ходить пешками по горизонтали. Однако поставить короля на поле, на котором противник может заматовать его следующим ходом, было бы попросту неразумно, хотя это правилами и не запрещается.

случайным образом с некоторыми вероятностями *). Таким образом, для каждого личного хода должно быть указано, решение какого игрока определяет этот ход,- иначе говоря, чей это ход. Обозначим рассматриваемого игрока (т. е. его номер) через к%. Таким образом, &х = 1, . . ., п. Условимся полагать для случайного хода &х = 0. В этом случае должны быть заданы вероятности различных альтернатив (1), . . ., ?#х (ах). Мы обозначим эти вероятности 2) соответственно через рК (1), . . ., (ах).

6.2.2. Выбор в ходе оМх состоит в указании некоторой альтернативы из j£x (1), . . ., Л-к (ссх), т. е. ее номера 1, . . ., ах. Обозначим выбранное таким образом число через ах. Таким образом, этот выбор характеризуется числом ax = 1, . . ., схх. Партия в целом описывается указанием всех выборов, соответствующих всем ходам qMi, . . Иначе говоря, она

описывается последовательностью аь . . ., av.

Правила игры Г должны указать, каким будет исход партии для каждого игрока fc = l, . . ., п, если партия описывается данной последовательностью а4, . . ., av. Иначе говоря, должно быть известно, какие выигрыши получает каждый игрок при окончании партии. Обозначим выигрыш для к-то игрока через ЗРъ (JFk > 0, если игрок к получает выигрыш, JFu < 0, если он сам должен платить, и jFft = 0, если ни то, ни другое не имеет места). Таким образом, каждое JFk должно быть задано* как функция от at, . . ., av:

.k = k(ou ..., av), & = le..., п.

Подчеркнем еще раз, что правила игры Г определяют функцию (аь av) лишь как функцию 3), т. е. как абстрактную зависимость jFft от переменных аь . . ., av. Но каждое ох представляет собой!перемен-ную с областью изменения 1, . . ., ах. Указание конкретных численных значений для ох, т. е. выбор конкретной последовательности (7i, . . ., oVr не является частью игры Г. Оно* является, как; мы отмечали выше, заданием партии.

6.3. Информация и предварение

6.3.1. Наше описание игры Г пока что не является полным. Нам еще не удалось включить в него сведения о состоянии информации каждого игрока при каждом решении, которое он должен принять, т. е. при на наступлении очереди его личного хода. Поэтому мы сейчас обратимся к этому вопросу.

2) Например, сдача карт из надлежащим образом растасованной колоды, бросание кости и т. п. Сюда можно включить даже некоторые игры, основанные на силе и умении, в которых стратегия играет определенную роль, например, футбол]или теннис. Действия игроков в этих играх до некоторой степени являются личными ходами, т. е. зависят от их свободного решения, а в остальном являются ходами случайными, причем соответствующие вероятности служат характеристиками рассматриваемого игрока.

2) Поскольку рх (1), . . ., рх (ах) являются вероятностями, они необходимо* представляют собой неотрицательные числа. Так как они соответствуют несовместным и единственно возможным альтернативам, их сумма (для любого фиксированного* к) должна быть равна единице. Таким образом,

f ах

3) Систематическое рассмотрение понятия функции дано в п. 13.1.

Лучше всего проводить это рассмотрение, прослеживая ходы . . . . . ., J(v по мере осуществления соответствующих выборов.

Сосредоточим поэтому наше внимание на некотором конкретном ходе Если оМк является случайным ходом, то прибавить больше нечего: выбор производится случайным образом, ничья воля и ничье знание других вещей не могут на него повлиять. Однако, если оМ является личным ходом игрока кк, то весьма важным является состояние информации этого игрока в процессе формирования его решения относительно т. е. формирования его выбора (Тх.

Единственное, о чем он может быть информирован, это о выборах, соответствующих ходам, которые предшествуют оЖх, т. е. ходам е#1? . . . . . ., Иначе говоря, он может знать значения <ть . . ., ax-i- Но он

может всего этого и не знать. Важной особенностью игры Г является объем информации относительно а4, . . ., сгх ь которой игрок кК располагает в момент, когда ему предстоит выбрать ак. Вскоре мы выясним на нескольких примерах природу подобных ограничений.

Простейший тип правил, описывающих состояние информации игрока к к при ходе заключается в следующем. Указывается множество Лк, состоящее из некоторых чисел, взятых из Я = 1, х - 1. Принимает-

ся, что игрок кк знает значения сгя, если X принадлежит Лк, и совершенно не располагает информацией относительно ая при любом другом X.

Если X принадлежит Л , то будем говорить, что X предваряет х. Отсюда следует, что X принимает одно из значений 1, . . ., х - 1, т. е. X <.к\ однако обратное заключение не обязательно будет верно. Иными словами, если рассматривать вместо Я их соответствующие хощаоМ% ис!х, то можно сказать, что из предварения следует предшествование *), но обратное может быть и неверным.

6.3.2. Несмотря на свой несколько ограничительный характер, понятие предварения заслуживает более подробного рассмотрения. Рассматриваемое как само по себе, так и в своем отношении к предшествованию {см. последнюю сноску), оно дает почву для возникновения различных комбинаторных возможностей. Эти возможности имеют различный смысл в тех играх, в которых они возникают; сейчас мы проиллюстрируем их на нескольких примерах особенно характерных ситуаций.

6.4. Предварение, транзитивность и сигнализация

6.4.1. Мы начнем со следующего замечания. Существуют игры, в которых предварение и предшествование совпадают. Например, ими будут те игры, в которых игрок к, совершающий свой личный ход qM, информирован об исходах выборов на всех предшествующихходах оМи . . ., o#x i. Типичным представителем этого класса игр с полной информацией являются шахматы. Обычно считается, что подобные игры носят особенно рациональный характер. В § 15, особенно в п. 15.7, мы увидим, в каком смысле можно точно интерпретировать это утверждение.

Шахматы обладают еще и той характерной чертой, что все ходы в этой игре являются личными. Однако отмеченное выше свойство, т. е. эквивалентность предварения и предшествования, можно сохранить даже в играх, в которых производятся* случайные ходы. Примером такой игры

г) Во времени, т. е. X < х означает, что оМ происходит перед сМК.