игры Г до игры с нулевой суммой, в которой участвуют остальные игроки 1, . . п г).

Следовательно, возникает следующий вопрос. Условия (57:1:а) - (57:1 :с) являются необходимыми и достаточными для характеристических функций в старом смысле для всех игр п + 1 лица с нулевой суммой. Как их следует усилить для того, чтобы сделать их необходимыми и достаточными условиями для характеристических функций (в старом смысле) всех тех игр п + 1 лица с нулевой суммой, в которых (п + 1)-й игрок не имеет влияния на течение игры?

Мы могли бы ответить на этот вопрос, дав полное математическое описание расширенных характеристических функций всех общих игр п + 1 лица. Но тогда остался бы тот же вопрос для ограниченных характеристических функций.

Мы увидим, что, решая сначала вторую задачу, мы оказываемся в несколько более благоприятных условиях: первую задачу можно будет легко решить с помощью второй. Однако, наш подход будет доминиро-ваться предыдущими рассмотрениями.

57.3. Нахождение всех характеристических функций

57.3.1. Продолжим доказательство того, что необходимые условия (57:2:а) и (57:2:с) являются также достаточными, т. е. что для любой числовой функции v(5), удовлетворяющей условиям (57:2:а) и (57:2;с), существует общая игра п лиц Г, для которой \(S) есть ограниченная характеристическая функция 2).

Для того чтобы избежать путаницы, удобнее обозначить данную числовую функцию множеств, удовлетворяющую условиям (57:2:а) и (57:2:с), через v0 (S). Определим с ее помощью некоторую общую игру п лиц Г и обозначим ограниченную характеристическую функцию этой игры через v (S). Теперь мы должны доказать, что v (S) = Vo(£).

Пусть поэтому числовая функция v0 (S), удовлетворяющая условиям (57:2:а) и (57:2:с), задана. Построим общую игру п лиц Г следующим образом 3).

Каждый игрок к = 1, . . ., п своим личным ходом выбирает некоторое подмножество Sk множества /, содержащее к; при этом он совершает свой выбор независимо от выбора других игроков.

После этого расплата происходит следующим образом

Множество игроков S, для которого

(57:3) Sk = S для любого k£S,

называется кольцом. Любые два кольца с общими элементами совпадают. Другими словами, сумма всех колец (которые фактически образовались в игре) представляет собой систему попарно не пересекающихся подмножеств /.

Каждый игрок, который не содержится ни в каком из колец, следовательно, сам образует (одноэлементное) множество, которое

г) То есть что касается правил игры, то мы можем относиться к игроку п + 1 как.к фиктивному игроку. Конечно, мы знаем, что существует решение V игры Г, которое приписывает ему роль реального игрока. (Это в Q, но не в Q, ср. (56:А:а)- (56:A:d) из п. 56.7.2 и (56:1:а) из п. 56.12; вспомним также пп. 56.3.2 и 56.3.4.)

2) Конструкция, которая будет приведена ниже, имеет много общего с конструкцией из п. 26.1.

3) Читателю рекомендуется сравнить детали этого построения с п. 26.1.2.

называется сольным множеством. Таким образом, совокупность всех колец и сольных множеств (которые фактически образовались в игре) представляет собой разбиение /, т. е. систему попарно не пересекающихся подмножеств /, объединение которых равно /. Обозначим эти множества через С7!, . . ., Ср и соответственно числа элементов в этих множествах через пи . . ., Пр.

Рассмотрим теперь игрока к. Он принадлежит в точности одному из этих множеств Си . . ., Ср, скажем Cq. Тогда игрок к получает сумму

(57:4) -vo(Q.

Это завершает описание игры Г. Ясно, что Г - общая игра п лиц, и ясно также, что Г является ее расширением до игры с нулевой суммой. Мы особенно подчеркиваем, что в Г фиктивный (п + 1)-й игрок получает

(57:5) - S VoO)1).

Покажем теперь, что Г имеет данную ограниченную характеристическую функцию v0 (S).

57.3.2. Обозначим ограниченную характеристическую функцию Г через v(S). Напомним, что условия (57:2:а) и (57:2:с) остаются в силе для v (5), так как это - ограниченная характеристическая функция, а также для v0 (£), по предположению.

Если S пусто, то v (S) = v0 (S), по (57:2:а). Поэтому мы можем предположить, что S непусто. В этом случае коалиция всех игроков из S может управлять выбором соответствующих Sk так, чтобы сделать S кольцом. Для этого достаточно, чтобы каждый игрок к 6 S выбрал Sh = S. Теперь, что бы ни делали остальные игроки (из --£),

5 будет одним из множеств (колец или сольных) Си . . ., Ср; пусть, например, Cq. Кцкдый игрок к £ Cq = S получает выигрыш в соответствии с (57:4); следовательно, вся коалиция получает v0 (S). Поэтому

(57:6) v(S)]v0(S).

Рассмотрим теперь дополнение -S. Коалиция всех игроков к, принадлежащих коалиции -S, может так управлять выбором соответствующих Sh, чтобы сделать S суммой колец или сольных множеств. Если -S пусто, то это тривиально, так как тогда S = I. Если - S непусто, то достаточно каждому к 6 - S выбрать Sk = - S. Следовательно, -S - кольцо, и, значит, S есть сумма колец и сольных множеств.

Итак, S есть сумма некоторых из множеств Си . . ., Ср, скажем

..., С

(здесь 1, . . ., г - некоторые из чисел 1, . . ., р). Каждый игрок

6 6 (g = s = 1, . . г) получает сумму (57:4); следовательно, nq игроков в Cq получают вместе сумму v0 (Cq). Так как Су, . . ., Сг> суть

г) nq игроков в Cq в соответствии с (57:4) получают вместе v0 (Cq)\ следовательно, все игроки 1, /г, т. е. все игроки из С±, . . ., Ср получают вместе сумму

2V° (д)* Отсюда мы имеем (57:5). <z=i

попарно не пересекающиеся множества, объединение которых равно 5, повторное применение неравенства (57:2:с) дает

2 Vo(CS)v0(S).

Иными словами, что бы ни делали игроки из S, вместе они получают сумму y0(S). Следовательно,

(57:7) v(S)v0(S).

Теперь (57:6) и (57:7) вместе дают

(57:8) v(£) = v0(S),

что и требовалось доказать.

57.3.3. Рассмотрим теперь расширенную характеристическую функцию. Для этого случая мы знаем, что условия (57:1:а) - (57:1:с) необходимы. Докажем, что они также и достаточны, т. е. что для любой числовой функции множеств v (5), удовлетворяющей условиям (57:1:а) - (57:1 :с), существует общая игра п лиц Г, для которой v (S) есть расширенная характеристическая функция.

Для того чтобы избежать путаницы, удобно снова обозначить данную числовую функцию множеств, удовлетворяющую условиям (57:1:а) - (57:1:с), через v0 (S). Расширенную характеристическую функцию общей игры Г будем обозначать через v (S).

Итак, пусть дана функция v0 (5), удовлетворяющая условиям (57:1:а)-(57:1:с). Рассмотрим ее пока только для множеств S g= / = = (1, . . ., тг); тогда она удовлетворяет условиям (57:2:а) и (57:2:с). Значит, построение из пп. 57.3.1 и 57.3.2 может быть применено к v0 (S). Таким образом, мы получаем такую общую игру тг лиц Г, что ее ограниченная характеристическая функция v (S) = v0 (S) и для ее расширенной характеристической функции всегда г) будет v (S) = у0 (S) для S I. Иными словами, если мы возвратимся к первоначальной области множеств S 2), то получим

(57:9) v (S) = у о (S), если тг + 1 не содержится в S.

Пусть теперь игрок п + 1 содержится в S. Тогда он не содержится в 1.5. Следовательно, (57:9) дает нам у (±S) = у0 (±S). Условия (57:1:а) - (57:1:с) выполняются, как для v (£), потому что v (S) - расширенная характеристическая функция, так и для v0 (S), по условию. Из (57:1:Ь) мы получаем, что v (JlS) = - v (£), v0 (±S) = - v0 (S).

Из всех этих равенств следует, что

(57:10) v (S) = v0 (*S), если тг + 1 содержится в S.

Из (57:9) и (57:10) мы получаем

(57:11) v(5) = v0(5)

для всех 5, что и требовалось доказать.

57.3.4. Подведем итоги. Мы получили полное математическое описание как ограниченной, так и расширенной характеристических функций

) Слово всегда в этом случае относится, конечно, только к множествам S с /. ) Которая в этом случае состоит из всех S с /.