v (S) для всех возможных общих игр га лиц. Первая из них описывается условиями (57:2:а), (57:2:с), а вторая - условиями (57:1:а) - (57:1:с).

Подобно тому как это было сделано в п. 26.2, мы назовем функции, удовлетворяющие этим условиям, соответственно ограниченной характеристической функцией и расширенной характеристической функцией, даже если они рассматриваются сами по себе, вне связи с какой-либо конкретной игрой.

57.4. Устранимые множества игроков

57.4.1. Результат, который мы получили для расширенной характеристической функции, можно сформулировать еще и так: любая характеристическая функция (в старом смысле) некоторой игры п + 1 лица с нулевой суммой является также расширенной характеристической функцией соответствующей общей игры га лиц 1). Вспоминая сказанное в п. 57.2.2, мы видим, что любая характеристическая функция игры п + 1 лица с нулевой суммой есть также характеристическая функция некоторой игры га + 1 лица с нулевой суммой, в которой (га + 1)-й игрок не имеет влияния на ход игры.

Заменяя в этом утверждении га + 1 на га, мы получим эквивалентное утверждение для игры га лиц с нулевой суммой и для роли игрока га. Для того чтобы сформулировать этот результат, удобно ввести следующее определение.

(57:А) Пусть даны игра га лиц с нулевой суммой Г и множество S / = (1, . . ., га). Назовем множество S устранимым в Г, если существует игра га лиц с нулевой суммой Г, имеющая ту же характеристическую функцию, что и Г, но в которой ни один из игроков, принадлежащих S, не имеет влияния на ход игры.

Используя это определение, мы можем сказать, что множество S = (га) устранимо. Любого игрока k = 1, . . ., га мы можем поменять ролями с га; следовательно, множество S = (к) также устранимо. Таким образом, мы видим:

(57:В) Любое одноэлементное множество S устранимо в любой игре Г.

Теперь нам следует отметить, что, в соответствии с нашей теорией, стратегия коалиций, а также компенсации в игре зависят только от характеристической функции. Следовательно, игры Г и Г из (57:А) с этой точки зрения идентичны.

Итак, (57:В) можно переформулировать следующим образом: роль любого игрока в любой игре га лиц с нулевой суммой, пока это касается стратегических возможностей коалиций и компенсаций, может быть в точности продублирована в такой ситуации, в которой он лишен всякого прямого влияния на ход игры. Слово роль здесь употребляется в самом широком смысле: в нее входят связь игрока со всеми остальными игроками и его влияние на связи остальных игроков друг с другом.

Другими словами, мы описали в пп. 56.3.2-56.3.4 механизм, с помощью которого игрок, не имеющий прямого влияния на ход игры, может тем не менее влиять на переговоры по поводу коалиций и компенсаций. В (57:В) мы показали, что этот механизм вполне пригоден для

г) Действительно, условия (57:1 :а) - (57:1 :с) совпадают с условиями (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1, если заменить в них /= (1, . . ., п) на / = (1, . . ., п, п + 1).

описания влияния, которое любой игрок может меть в любой игре. Это утверждение следует воспринимать буквально: наш результат обеспечивает воспроизведение всех мыслимых деталей и нюансов.

57.4.2. Согласно (57:В), каждый игрок к = 1, . . ., п устраним, т. е. устранимо любое одноэлементное множество S = (к); это не означает, однако, что все эти игроки устранимы одновременно, т. е. что устранимо множество

В действительности мы имеем:

(57:С) Множество S = I устранимо тогда и только тогда, когда

Г несущественна.

Доказательство. То, что ни один игрок к = 1, . . ., п не имеет влияния на течение игры Г, означает, что все функции &Съ (ть . . ., хп) не зависят от своих переменных ть . . ., тп, т. е. что все они являются постоянными:

(57:12) £П(Ч, ...,тл)=аА.

Отсюда следует, что

(57:13) v (S) = S ak для всех S /.

Обратно, если принять равенство (57:13), то из него будет следовать (57:12).

Следовательно, в (57:13) стоит характеристическая функция игры Г, для которой такая игра Г существует, и (57:13) является в точности определением несущественности игры Г.

Для п = 1, 2 любая игра несущественна; значит, в этих случаях множества S = /, а вместе с ним и любое множество устранимы.

3 амечание. Основной результат для игр двух лиц, состоящий в том, что игры этого типа имеют определенное значение для каждого игрока (скажем v и -v; см. пп. 17.8 и 17.9), означает только то, что эта игра эквивалентна постоянным платежам v и -v игрокам, и это составляет построение, при котором ни один из них не влияет на игру.

С другой стороны, во всякой существенной игре имеет место взаимодействие (переговоры о коалициях и выплатах компенсаций); это исключает одновременную устранимость всех игроков.

Отсюда возникает вопрос:

(57:D) Каковы устранимые множества для существенной игры Г?

Утверждения (57:В) и (57:С) содержат частичный ответ на этот вопрос: одноэлементные множества устранимы, /г-элементное (S = I) - неустранимо. Где же проходит разделяющая граница?

57.4.3. Верхним крайним случаем будет тот, когда все (п - -элементные множества, а вместе с ними все множества, кроме /, устранимы. Мы назовем такие игры экстремальными. Полезно отдавать себе отчет в том, что скрывается за этим свойством. Стратегическая ситуация в такой игре эквивалентна следующей: только один игрок имеет влияние на течение игры, а роль остальных игроков сводится к попытке повлиять на принимаемые им решения. Способ влияния на него состоит, конечно, в предложении ему компенсаций с целью заставить его принять решение, благоприятное для того игрока или тех игроков, которые делают это предложение.

Теперь мы можем доказать следующее:

(57:Е) Для п = 3: существенная игра трех лиц с нулевой суммой

экстремальна.

(57:F) Для п = 4: существуют как экстремальные, так и неэкстре-

мальные игры четырех лиц с нулевой суммой. Более подробно это выглядит так:

(57:Е*) В существенной игре трех лиц с нулевой суммой все двухэлементные множества устранимы.

(56:F*) В существенной игре четырех лиц с нулевой суммой устранимы либо все трехэлементные множества, либо все, кроме одного 1 2).

Доказательства этих утверждений не представляют серьезных трудностей, и мы не имеем в виду здесь их приводить.

Результаты (57:В), (57:С), (57:Е) и (57:F) показывают, что общая теория устранимых множеств и экстремальных игр, по-видимому, не так уж проста. Систематически она будет рассмотрена в последующих публикациях.

57.5. Стратегическая эквивалентность. Игры с нулевой и постоянной суммой

57.5.1. Мы уже исчерпали все полезные сведения из расширения Г общей игры п лиц до игры с нулевой суммой, и поэтому будем впредь изучать теорию общих игр п лиц, не прибегая к этому понятию. Следовательно, далее мы будем рассматривать только саму игру Г и ее ограниченную характеристическую функцию, кроме тех случаев, которые будут специально оговорены. По этой причине мы будем в термине опускать слово ограниченная и будем говорить просто о характеристической функции Г. Это соответствует прежней терминологии игр п лиц с нулевой суммой, так как здесь старое и новое употребления понятия характеристической функции согласованы. (См. первое замечание в конце п. 57.1.)

В соответствии со сказанным, решение должно быть определено, как указано в (56:I:d) из п. 56.12. Дележи определены в (56:Р.Ь) и в последней части (56:1:е). Представляется полезным повторить приведенное там определение в явном виде.

Дележом называется вектор

(57:14) а = {{аи ...,а4},

компоненты которого удовлетворяют условиям (57:15) av((t)) для г = 1, ...,тг;

(57:16) 2 a* = v(/)3).

г=1

*) Любое двухэлементное множество есть подмножество двух трехэлементных множеств (мы помним, что п = 4) и, по сказанному выше, хотя бы одно из них устранимо. Значит, каждое двухэлементное множество устранимо в любом случае.

2) Части куба Q из п. 34.22, которые соответствуют этим двум возможностям, могут быть определены в явном виде.

3) Как было показано там же, мы могли бы рассматривать эквивалентное условие

2 <**21 vtf).

что является его первоначальной формой. Однако мы предпочитаем (57:16).