Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 [ 172 ] 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

Мы можем теперь распространить понятие стратегической эквивалентности на случай общих игр. Это будет сделано точно так же, как в пп. 42.2 и 42.3.1, т. е. аналогично п. 27.1.1.

Пусть даны общая игра п лиц Г с функциями Жк (хх, . . хп) и набор постоянных aj, .... а%,\ определим новую игру Г с функциями $£к (т1э . . ., тп), положив

(57:17) Жк fa, ..., т ) = SFft (т4, ..., хп) + а°к.

Отсюда, как и раньше, мы получаем, что характеристические функции v (S) и v (S) в этих двух играх связаны соотношением

(57:18) v(S) = v(S) + 2 at

Мы назовем две такие игры, как и их характеристические функции, стратегически эквивалентными.

Так как мы свободны от ограничений, связанных с нулевой суммой, то на постоянные aj, . . ., а%, не накладывается никаких условий, как это было в (42:В) из п. 42.2.2.

Заметим, что стратегическая эквивалентность порождает изоморфизм дележей для игр Ги Г так же, как это было в двух примерах, разобранных раньше. Рассуждения и выводы из пп. 31.3.3 и 42.4.2 переносятся на этот случай без изменения; поэтому нет необходимости в их переформулировке.

57.5.2. Область всех характеристических функций (всех общих игр п лиц) определяется условиями (57:2:а) и (57:2:с), которые мы перепишем:

(57:2:а) v(0) = O;

(57:2:с) v(S(JТ)>>v (S) + v(T) m*S{\T=0.

Среди них характеристические функции игр с нулевой суммой и игр с постоянной суммой представляют собой частные случаи. Первые определяются условиями (25:3:а) - (25:3:с) из п. 25.3.1 (см. п. 26.2), т. е. мы должны добавить к (57:2:а) и (57:2:с) (которые совпадают с упомянутыми (25:3:а) и (25:3:с)) еще условие

(57:19) v(-S) = -v(£).

Последние определяются условиями (42:6:а) - (42:6:с) из п. 42.3.2 (см. там же), т. е. мы должны добавить к (57:2:а) и (57:2:с) (которые совпадают с (42:6:а) и (42:6:с)) условие

(57:20) v (S) + v (- S) = v (/).

Так как игры с нулевой суммой представляют собой частный случай игр с постоянной суммой, (57:20) должно вытекать из (57:19); предполагается при этом всегда (57:2:а) и (57:2:с). Это действительно так; фактически мы можем даже доказать нечто большее, а именно:

(57:G) (57:19) эквивалентно условию (57:20) вместе с v (/) = 0.

Доказательство1). Если v (/) = 0, то (57:19) и (57:20) означают одно и то же. Следовательно, достаточно показать, что из (57:19)



следует v (/) = 0. В самом деле, (57:2:а) и (57:19) дают v (/) = v (-0) = = - v (0) = 0.

Заметим, что (57:20) эквивалентно выполнению равенства в (57:2:с), если S U Т = 1*). Таким образом, v (S) для игр с постоянной суммой характеризуется тем свойством, что слияние двух различных коалиций не дает дополнительной выгоды в том случае, если их объединение содержит всех игроков.

Для того чтобы v (S) определяла игру с нулевой суммой, надо добавить дальнейшее условие v (/) = 0.

В заключение мы подчеркнем, что дополнительные условия (57:19) или (57:20) не означают, что любая игра с такой характеристической функцией должна иметь нулевую или постоянную сумму. Из них следует только, что такой характеристической функцией, среди прочих, должна обладать хотя бы одна игра с нулевой или с постоянной суммой. Может случиться, что и игра с ненулевой (или непостоянной) суммой имеет такую характеристическую функцию, т. е.. характеристическую функцию игры с нулевой суммой (или игры с постоянной суммой). В этом случае с точки зрения стратегий коалиций и компенсаций она будет вести себя так же, как игра с нулевой суммой (или игра с постоянной суммой), хотя таковой и не является.

57.5.3. Теперь мы в состоянии ответить на вопрос, который был поставлен раньше. В пп. 56.3.2-56.4.3 мы уже касались того факта, что фиктивный игрок, несмотря на его нереальность, не является тем самым болваном , т. е. он не является таковым в смысле расширенной характеристической функции и теории разложения расширения игры Г до игры с нулевой суммой 2). Этот вопрос возник снова в начале п. 56.9.3, где мы отметили, что такой игрок является болваном для игры Г с нулевой суммой.

Сейчас мы ответим на вопрос: для какой же общей игры фиктивный игрок является болваном 3). Мы докажем следующее.

(57:Н) Фиктивный игрок является болваном тогда и только тогда, когда Г имеет такую же характеристическую функцию, как и некоторая игра с нулевой суммой, т. е. если выполнено (57:20).

Доказательство. Как показано в конце, п. 43.4.2, игрок является болваном тогда и только тогда, когда он составляет (как одноэлементное множество) компоненту первоначальной игры. Мы должны применить это к фиктивному игроку га + 1 в игре Г с нулевой суммой. То, что га + 1 является компонентой, очевидно, означает, что

(57:21) v (S) + v ((га + 1)) = v (S[)(n + 1)) для всех S s (1, . . п). Далее, мы имеем:

v((ra + l))=-v(/),

v(SU(/* + l))= -v( LSl)(* + l))= - v(-S).

x) Действительно, если S{jT = / и по предположению из (57:2:с) SP\T = 0, то Г - -S.

2) Мы вынуждены были исключить его из игры явным ограничением решения ей до Q\

3) Рассуждения из первого замечания в п. 56.9.4 показывают, что для таких игр Q и Q совпадают, т. е. ограничение решений игры Г не является необходимым.



Итак, (57:21) превращается в

v(S)-v(I)=-v(-S),

т. е.

(57:22) y(S) + v(-S) = v(I).

Но это и есть в точности условие (57:20).

§ 58. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 58.1. Анализ определения

58.1.1. Мы пришли к формулировке теории общих игр п лиц и установили, что понятие характеристической функции является столь же существенным в теории общих игр п лиц, как и в рассмотренной ранее теории игр с нулевой суммой. Следовательно, имеет смысл проанализировать это понятие еще раз, приведя его математическое определение в явном виде и сопроводив его некоторыми замечаниями интерпретационного характера.

Рассмотрим общую игру п лиц Г, задаваемую функциями S7Cъ, (ть . . ., хп) (к = 1, . . ., п) в смысле п. 11.2.3. Значение v (S) характеристической функции для множества S / = (1, . . ., п) получается в результате вычисления этой величины для игры п + 1 лица с нулевой суммой Г - т. е. для расширения Г до игры с нулевой суммой х). Следовательно, мы можем выразить ее по формуле п. 25.1.3.

(58:1) v (£) = max min К (, г]) = minmaxK (g, rj),

-> -> -> ->

I П ч I

где £ - вектор с компонентами £Ts,

?xs0, 2 = 1;

->

т) - вектор с компонентами т)

v-so, 2 v-s=i;

Is - набор переменных t&, k£S;x~s - набор переменных к£ - S 2) и окончательно

(58:2) К(, л) = xS s(Ts T-S).gtS.nx s,

(58:3) (т8, т-s) = 2 SKh (xt, ..., т ).

*) Мы ограничились множествами S с / = (1, . . ., га), т. е. ограниченной характеристической функцией. Использование всех S с: / = (1, . . тг, п + 1), т. е. расширенной характеристической функции, противоречит нашей точке зрения в данный момент (см. начало п. 57.5.1).

2) Через - S обозначается / - S. Так как мы имеем дело с игрой Г, мы должны образовать J £, т. е.~? - S (см. начало п. 57.2.1). Однако это несущественно, так как переменной тп+1 на самом деле нет. (См. конец п. 56.2.2.)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 [ 172 ] 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227