существенной роли. Такую ситуацию мы найдем в приложениях в пп. 61.2.2-61.4. Эти примеры дадут фактическое подтверждение нашего подхода.

Кроме того, в случае, когда первое условие выполняется, а второе - нет, мы обнаружим расхождения как раз в том направлении и в той степени, которые могут быть оправданы различием в точках зрения. Это будет, в частности, ясно из примеров пп. 61.5.2, 61.6.3 и 62.6.

Наконец, когда и первое условие не выполнено и задача перестает быть элементарной, мы постепенно достигнем области, в которой теоретическая процедура с необходимостью вытесняет обычную, чисто словесную х).

§ 59. ОБЩИЕ РАССМОТРЕНИЯ

59.1. Обсуждение программы

59.1.1. Теперь мы можем перейти к применениям нашей теории общих игр п лиц. Лучше всего начать такое применение с систематического изучения всех общих игр п лиц для небольших значений тг. Ока- жется, что мы сможем сделать это без труда для тех же тг, что и в случае игр с нулевой суммой, именно для п 3. Исследование для больших значений, т. е. для тг 4, по меньшей мере так же трудно, как и для игр с нулевой суммой, где мы смогли изучить только различные частные случаи.

На этот раз мы предполагаем сделать значительно меньше в анализе игр с п 4. Мы можем позволить себе теперь быть гораздо более краткими, чем при изучении игр с нулевой суммой: детальное обсуждение там было необходимо для того, чтобы самим убедиться в адекватности нашего подхода, а также общих идей и методических принципов, лежащих в его основе. На той стадии, которой мы уже достигли, общие положения теории уже подтверждены, и мы хотим лишь приобрести уверенность в одном обобщающем шаге, сделанном в этой главе. Для этой цели достаточно и менее подробного анализа приложений.

Кроме того, окажется возможным связать общие игры, для которых п 5g 3, с некоторыми типичными экономическими проблемами (двусторонней монополией, дуополией и т. д.), что позволит судить об адекватности нашей теории в ранее определенном смысле.

Более подробное исследование общих игр с п 4 будет предпринято в последующих публикациях.

59.1.2. Систематическое применение нашей новой теории лучше всего начать с общего рассмотрения, подобного произведенному в § 31. Однако нет необходимости проводить в деталях эквивалентное рассуждение; мы должны только проанализировать, в какой мере полученные там результаты применимы в настоящей ситуации или какие изменения требуется в них внести.

Нам не надо снова обсуждать роль стратегической эквивалентности, как это делалось в п. 31.3, так как этот предмет разобран вполне удовлетворительно в п. 57.5.1. С другой стороны, мы поставим некоторые

*) Этот постепенный переход от подтверждений теории с помощью надежных, с точки зрения здравого смысла, результатов в простом случае к пренебрежению нетеоретическими подходами в пользу теорий в сложных случаях является, безусловно, весьма характерной чертой построения научных теорий.

другие вопросы, не возникавшие в § 31: редуцированные формы, неравенства, которые выполняются для характеристической функции, несущественность и существенность (см. пп. 27.1-27.5); далее, абсолютные значения j Г 1? Г 2 (см. п. 45.3) и, наконец, некоторые замечания, касающиеся теории разложения из главы IX.

59.2. Редуцированная форма. Неравенства

59.2.1. Понятие стратегической эквивалентности, введенное в п. 57.5.1, можно использовать для определения редуцированной формы всех характеристических функций в духе п. 27.1.

Пусть дана характеристическая функция v (S); тогда ее общее стратегически эквивалентное преобразование описывается равенством (57:18) из п. 57.5.1, т. е.

(59:1) v(S) = v(S) + % a°k.

Это в точности совпадает с (27:2) из п. 27Л Л с той только разницей, что теперь на aj, . . ., не накладывается ограничение (27:1), которому

они должны были удовлетворять раньше: 2 а<ь = 0. Таким образом,

aj, . . ., осп оказываются теперь п независимыми параметрами, тогда как раньше среди них было только п - 1 независимых (см. п. 27.1.3) 2).

Однако было бы ошибочно предполагать, что это ведет к 1)6лее ограниченным возможностям нормирования, чем найденные в п. 27.1.4. В самом деле, там мы хотели получить конкретную v (S) (которую мы обозначили через v (S)) удовлетворяющую п- 1 условию (27:3):

(59:2) v ((1)) =v ((2)) =...=v (( )).

К тому же, рассматривавшаяся тогда характеристическая функция относилась к игре с нулевой суммой; следовательно, мы имели автоматически:

(59:3) f((l, п)) = 0.

Теперь, считая это нормирующим условием, мы будем иметь п условий: (59:2) и (59:3). Так мы получаем:

(59:4) v(/)+ S с4 = 0,

k= 1

(59:5) v ((1)) + aj = v ((2)) + aj = ... = v ((n)) + a°n.

(59:4) выражает (59:3); (59:5) выражает (59:2). Эти равенства соответствуют (27:1*) и (27:2*); легко проверить, что им удовлетворяет

г) Наша настоящая точка зрения на этот вопрос подобна той, которую мы высказали для игр с постоянной суммой в п. 42.2.2.

единственная система aj, а°п:

(59:6) &= -v((fc))+-i {2 v((A))-v(/)} *) .

Таким образом, мы можем сказать:

(59:А) Характеристическая функция v (S) называется редуциро-

ванной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям (59:2) и (59:3) 2). Тогда любая характеристическая функция v (S) стратегически эквивалентна ровно одной редуцированной v (S). Эта v (S) задается формулами (59:1) и (59:6), и мы назовем ее редуцированной формой v (S).

59.2.2. Другое возможное требование, предъявляемое к п параметрам aj, . . ., ctn, возникает, если требовать, чтобы v (5), которую мы обозначим через v (S), удовлетворяла п условиям

(59:7) v ((1)) = v ((2)) = . .. = v ((/ )) = 0.

Это означает, что

(59:8) v ((1)) + = v ((2)) + а° = ... = v ((в)) + а°п = 0,

т. е.

(59:9) a£=-v((fc)).

Итак, мы можем сказать:

(59:В) Назовем характеристическую функцию v (S) нуль-редуциро-

ванной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет (59:7). Тогда любая характеристическая функция v (S) стратегически эквивалентна ровно одной нуль-редуцированной v (S). Эта характеристическая функция v (S) определяется формулами (59:1) и (59:9), и мы назовем ее нуль-редуцированной формой v (S).

59.2.3. Рассмотрим редуцированную характеристическую функцию v (S). Обозначим общее значение п членов в (59:2) через -у, т. е. положим (59:10) -у = v((l)) =v((2)) = ... = v((b)).

Следовательно, -у = у ((к)) + аЪ, и из (59:6) мы получаем

(59:11) Y = ir{v(/)-2 V((k))}

х) Доказательство. Обозначим общее значение п членов равенств (59:5) через р. Тогда (59:5) дает а\ = - v ((к)) + Р, а (59:4) превращается в

v(/)- 2 v((*)) + nP=l,

т. е.

p=v {2 v))-v(7)}-