Если мы рассмотрим нуль-редуцированную форму y(S) той же характеристической функции v(5), то получим

v(/) = v(/)+ 2 <4;

следовательно, из (59:9). мы получаем v (/) = v (/) - 2 v ((&)) т- е->

используя (59:11), имеем:

(59:12) ny = v(I).

Возвращаясь к редуцированной форме v (S), мы видим, что некоторые равенства и все неравенства из п. 27.2 остаются в силе.

Начнем с того, что (59:10) можно переписать следующим образом:

(59:13) v (S) = -у для любого одноэлементного S.

Это совпадает с (27:5*), в то время как (27:5**) неверно, так как мы видели в п. 57.2.1, что у нас теперь нет эквивалента для (25:3:Ь) из п. 25.3.1, и это не позволяет здесь получить (27:5**) из (27:5*).

Повторное применение (57:2:с) из п. 57.2.1 к множествам (1), . . ., (п) дает с помощью (59:13) -пу 0, т. е.

(59:14) 70.

Это совпадает с (27:6) из п. 27.2.

Рассмотрим, далее, произвольное подмножество S множества /. Пусть р - число его элементов: S = (к . . ., кр). Повторное применение (57:2:с) из п. 57.2.1 к множествам (к, . . ., (кр) и использование (59:13) дают нам

Применим это к множеству -S, которое состоит из п--р элементов. Ввиду (57:2:Ь) из п. 57.2.1 и (59:3) мы получаем

7( s)-f(S)i).

Поэтому предыдущее неравенство превращается в

7(5) (л-р) у. Объединение этих неравенств дает нам

(59:15) -ру v (S) (п - р) у для каждого р-элементного множества *S.

Это совпадает с (27:7) из п. 27.2.

(59:13) вместе с v(0) = 0 (т. е. с (57:2:а) из п. 57.2.1) можно сформулировать также следующим образом:

(59:16) Для р = 0, 1 мы получаем равенство в первом соотношении из (59:15).

*) Заметим, что мы применяем здесь это неравенство вместо недостающего равенства (25:3:6) из п. 25.3.1, которое использовалось в п. 27.2.

Это совпадает с (27:7*) из п. 27.2.

v (/) = 0 (т. е. (59:3)) можно также сформулировать в следующем виде:

(59:17) Для р = п мы имеем во втором соотношении из (59.15) знак =.

Это совпадает с (27.7**) из п. 27.2, за исключением случая р = п - 1, отсутствующего по той же причине, по которой здесь недостает эквивалента для (27.5**) (см. замечание, следующее за (59.13)).

59.3. Различные вопросы

59.3.1. Полученные неравенства теперь можно трактовать в том же духе, как это делалось в п. 27.3.1.

Рассмотрим две возможности, основанные на (59:14).

Первый случай: у = 0. Здесь (59:15) дает нам v (S) = 0 для всех S. Это есть как раз несущественный случай, рассмотренный в п. 27.3.1, со всеми присущими ему свойствами, перечисленными там. Рассмотрение (59:А) дает, что несущественная игра эквивалентна игре, для которой v (S) = 0, т. е. игре, которая является совершенно бессодержательной.

Второй случай: у > 0. Изменяя масштаб, мы можем положить 7 = 1 со всеми последствиями, выявленными в п. 27.3.2. Так же как и там, мы сделаем это несколько ниже. По той же причине, что и там, стратегии коалиций имеют решающее значение в такой игре. Мы назовем игру в этом случае существенной.

Критерии несущественности и существенности (27:В), (27:С), (27:D)

из п. 27.4 остаются в силе: в (27:В) сумму 2 v ((&)) следует заменить на

2 v ((£))-v(/),

в то время как (27:С) и (27:D) остаются без изменения. Действительно? легко проверить, что доказательства, данные там, переносятся на этот случай, если использовать для обоснования сказанное в п. 59.2.1.

Мы предоставляем читателю применить выводы из п. 27.5 для существенного случая при нормировании у = 1 к настоящей ситуации.

59.3.2. Мы можем теперь перейти к исследованиям, которые аналогичны проведенным в § 31.

Замечания из пп. 31.1.1-31.1.3, касающиеся структуры понятия доминирования, а также заведомо необходимых и заведомо не необходимых множеств, могут быть повторены без изменений. Понятия выпуклости и линейности можно ввести как и в п. 31.1.4. Выводы из пп. 31.1.4- 31.1.5 также получаются непосредственно; исключение составляют (31:Е:Ь) из 31.1.4 и (31 :G) из п. 31.1.5, так же как и (31 :Н) для случая р = п - 1. Это происходит лишь там, где используется (25:3:Ь) из п. (25:3:1) (см. п. 57.2.1).

Наконец, замечание в конце п. 31.1.5 должно быть изменено. Ввиду сказанного выше, значение р = п - 1 так же вызывает сомнение, как и в (31:8), т. е. те р, для которых необходимость S сомнительна, ограничены случаями р Ф 0, 1, п, т. е. интервалом

(59:18)

2рп-1.

Таким образом, этот интервал здесь непуст уже при тг 3, а не только для тг 4 х), как это было раньше.

Рассмотрим теперь результаты п. 31.2. Для читателя, познакомившегося с этим пунктом, не составит труда проверить справедливость

утверждений (31:1), (31:J), (31:К). В (31:L) построение Р с помощью

а может быть проделано без какого-либо изменения; первое утверждение,

Р е- а, не может быть сохранено, так как оно опирается на ту часть (31 :Н)

из п. 31.1.5, которая больше не имеет места; второе утверждение, что -> ->

неверно а е- р, не затрагивается. Это ослабление (31:L) исключает (31:М). Утверждение (31 :N) остается верным, так как оно использует только незатронутую часть (31:L). Утверждения (31:0) и (31:Р) сохраняются.

59.3.3. В заключение рассмотрим некоторые понятия из главы IX.

Мы определили там два числа, Г 4 и Г 2, первое - в п. 45.1, а второе - в п. 45.2.3, и разобрали их свойства в п. 45.3.

Оба определения, т. е. содержание пп. 45.1 и 45.2, переносятся буквально. В п. 45.3 нужно внести, однако, существенные изменения: в (45:F) остается в силе только вторая часть доказательства, но не первая его часть, так как первая (и только она) использует (25:3:Ь) из п. 25.3.1 (см. п. 57.2.1). Конкретно говоря, мы имеем

неверно, и мы не можем оценивать Г 4 с помощью Г 2. В действительности мы увидим в п. 60.2.1, что для некоторых игр может оказаться

В соответствии с этим замечания из пп. 45.3.3-45.3.4 становятся беспредметными. То же самое можно сказать и о п. 45.3.1, т. е. его результат (45:Е) неверен, поскольку это касается Г 2. Он верен для Г 4, однако это просто пересказ определения. Отсюда и из (59:19), (59:21) мы видим, что (45:Е) должно быть ослаблено следующим образом:

Теория композиции и разложения, которой посвящена глава IX, может быть распространена в своей существенной части и на данный случай. Разница между поведением Г [ 4 и Г 2, рассмотренная выше, требует внесения небольших изменений, но и это легко осуществляется. Конечно, теория эксцессов и решений в множествах Е (е0) и F (е0) должна быть распространена и на настоящий случай, но это тоже не представляет реальных трудностей.

Подробный анализ этих вопросов вывел бы нас за пределы, которые мы себе поставили в п. 59.1.1. Кроме того, интерпретационное значение этих результатов не отличается существенно от того, что уже было получено в главе IX при рассмотрении игр с нулевой суммой.

(59:19) irUJLzlin,

(59:21)

Iгu>о. Г2=о.

(59: С)

Если игра Г несущественна, то Г 4 = 0, Г 2 = 0. Если игра Г существенна, то Г 4 > 0, Г 2 0.

х) Это соответствует той связи, которая существует между общей игрой п лиц и игрой п + 1 лица с нулевой суммой, которая рассматривалась в пп. 56.2-56.12. 2) (59:20) и (59:19) выражают соответственно две части (45:F).