§ 60. РЕШЕНИЯ ВСЕХ ОБЩИХ ИГР ДЛЯ П 3 60.1. Случай п = 1

60.1. Перейдем к систематическому описанию всех общих игр п лиц с п fg 3, как это было обещано в п. 59.1.1.

Рассмотрим сначала п = 1. Этот случай уже рассматривался (и для практических целей был решен) в п. 12.2. В частности, в п. 12.2.1 мы указывали, что в этом (и только в этом) случае мы имеем дело с чистой задачей максимизации. Тем не менее хотелось бы проверить, что наша общая теория дает и в этом (тривиальном) частном случае те же результаты, что и основанные на здравом смысле *). Поэтому мы применим общую теорию в полной ее математической строгости.

Общая игра Г с п = 1 необходимо несущественна: это следует из рассмотрения характеристической функции v (S) в редуцированной форме, так как тогда (59:16) и (59:17) из п. 59.2.3 дают (для р = 1 = п) - 7 = 0, т. е. у = 0. Мы можем также воспользоваться (не прибегая к редукции) любым из критериев (27:В), (27:С) или (27:D) из п. 27.4 (см. п. 59.3.1). Например, (27:С), очевидно, удовлетворяется при а4 = v ((1)). Заметим, что это есть v (/), т. е. по (56:13) из п. 56.9.1 (в обозначениях из п. 12.2.1) max &С (т). Перепишем это:

(60:1) a1 = v((l))=v(l) = maxS5:(T).

Так как игра Г несущественна, мы можем применить (31:0) или (31 :Р) из п. 31.2.3 (см. п. 59.3.2). Это дает нам:

(60:А) Игра Г имеет ровно одно решение, которым является одно-

-> -у

элементное множество (а), где а = {{cxi}}, причем а4 определяется согласно (60:1).

Это и есть, очевидно, тот основанный на здравом смысле результат из п. 12.2.1, как и должно было быть.

60.2. Случай п = 2

60.2.1. Рассмотрим теперь п = 2. Основным фактом является то, что общая игра для п = 2 не обязана быть несущественной; это отличает ее от игры с нулевой суммой при п = 2. (Последняя несущественна по первому замечанию из п. 27.5.2.)

Действительно, характеристическая функция v (S) в своей редуцированной форме полностью определяется соотношениями (59:16) и (59:17) из п. 59.23:

- I 0 г

(60:2) v(S)= < -7 если S содержит я 1 элементов.

I 0 12

Теперь немедленно проверяется, что v (S) из (60:2) удовлетворяет условиям (57:2:а) и (57:2:с) из п. 57.2.1, т. е. что она является характеристической функцией некоторой игры Г тогда и только тогда, когда 70. Это есть в точности условие (59:14) из п. 59.2.3. Таким образом, мы видим, что в (60:2) возможно любое 7 0 из (59:14).

Итак, как и утверждалось, случай 7 > 0, т. е. существенность, является возможным. В этом случае мы можем продолжить нормирование, положив 7 = 1, чем полностью определяется (60:2). Таким образом, существует только один тип существенной общей игры двух лиц.

Заметим, что, в то время как Г 4 = 2у может быть > 0, Г 2 = 0 всегда (для п = 2). Достаточно доказать это для редуцированной формы, т. е. для (60:2).

В самом деле, вспоминая определения из пп. 45.2.1 и 45.2.3, мы видим,

->

что дележ а = {{а4, а2}} исключен, если а4, а2 - 7, сц -{- а2 = 0, и что соответствующее минимальное е = СЦ -j- а2 есть 0 *). Значит, Г 2 = 0, что и требовалось доказать.

Резюмируем: для п = 2 игра с нулевой суммой должна быть несущественной, а общая - не обязательно. Соответственно для первой должно быть Г ! = 0, а для второй может быть также и Г 4 > 0. Но для обеих всегда Г 2 = 0.

Мы предоставляем читателю интерпретировать этот результат в свете предыдущих рассуждений и, в частности, п. 45.3.4.

60.2.2. Легко найти решения общей игры Г для п = 2.

По остающейся в силе части (31 :Н) из п. 31.1.5 (см. соответствующие замечания из п. 59.3.2) все множества S / с 0, 1, п элементами являются заведомо не необходимыми, но так как п = 2, этим исчерпываются все подмножества. Следовательно, мы можем искать решения Г так же, как если бы доминирования вообще не было. Следовательно, решение определяется просто тем свойством, что вне его не имеется дележей. Это

значит, что существует ровно одно решение: множество всех дележей.

->

Дележ задается в этом случае как вектор а = {{ i, а2}}, удовлетворяющий условиям (57:15), (57:16) из п. 57.5.1, которые теперь превращаются в

дележей, т. е. а = {{а4, а2}}, где а4 и а2 удовлетворяют (60:3)

Заметим, что (60:3) и (60:4) определяют единственную пару чисел ->-

i, а2 (т. е. вектор а) тогда и только тогда, когда

По критерию из п. 27.4 это в точности выражает несущественность Г. Этот результат, как и следовало ожидать, согласуется с (31:Р) лз п. 31.2.3 (см. п. 59.3.2).

В противном случае

и существует бесконечно много пар а1? а2, т. е. а. Это - случай существенной игры Г.

Истолкование этих результатов будет приведено в пп. 61.2-61.4.

и (60:4).

(60:5)

v((l))+v((2))=v((l, 2)).

(60:6)

v((l))+v((2))<v((l, 2)),

60.3. Случай и = 3

60.3.1. Рассмотрим, наконец, п = 3. Среди этих игр содержится и существенная игра трех лиц с нулевой суммой, для которой Г [ * > 0 и Г 2 > 0 (см. п. 45.3.3). Итак, мы видим:

Для п = 3 игра с нулевой суммой, так же как общая игра, может быть существенной и оба неравенства Г[1>0иГ2>0 возможны.

Случай, когда игра Г несущественна, рассмотрен в (31:0) или (31 :Р) из п. 31.2.3 (см. п. 59.3.2). Мы предположим поэтому, что игра Г существенна.

Используем редуцированную форму Г с нормированием у - 1. Тогда мы можем описать характеристическую функцию v (S) с помощью (59:16) и (59:17) из п. 59.2.3 следующим образом:

- / 0 г

(60:7) v (S) = < - 1 если S имеет я 1 элементов

I 0 I 3

(60:8) v ((2, 3)) = аи v ((1, 3)) = а2, v ((1, 2)) = а3, если S имеет 2 элемента.

Непосредственно проверяется, что v (S) из (60:7) и (60:8) должна удовлетворять условиям (57:2:а) и (57:2:с) из п. 57.2.1, т. е. она является характеристической функцией некоторой игры Г (см. п. 57.3.4) тогда и только тогда, когда

(60:9) - 2<;аь а2, а31.

Заметим, что такая Г может иметь нулевую сумму (т. е. что (25:3:Ь) из п. 25.3.1 выполняется) тогда и только тогда, когда

(60:10) а1 = а2 = а3 = 1.

Другими словами, область (60:9) представляет собой множество всех общих игр, тогда как ее верхняя крайняя точка (60:10) представляет в нашем случае (единственную) игру с нулевой суммой.

60.3.2. Определим теперь решения этой (существенной) общей игры трех лиц.

->

Общий дележ в этом случае задается как вектор а = {{с, а2, сс3}}, удовлетворяющий условиям (57:15) и (57:16) из п. 57.5.1, которые превращаются в

(60:11) а-1, а2 -1, а3=%- 1,

(60:12) сц + аз+азО.

Эти условия в точности те же, что и для а1? а2, а3 в п. 32.1.1 (см. (32.2) и (32.3)), т. е. те же, что использовались в теории существенных игр трех лиц с нулевой суммой. Они согласуются также, если отбросить

множитель 1 + с условиями из п. 47.2.2 для а1, а2, а3 (см. (47:2*)

и (47:3*)), т. е. с условиями, использованными в теории существенных игр трех лиц с нулевой суммой с эксцессом. Следовательно, мы можем пользоваться графическим представлением, описанным в п. 32.1.2 и, в част-

ности, представленным на рис. 31. Мы получаем область векторов а как фундаментальный треугольник в п. 32.1.2 на рис. 32. Аналогично в 47.2.2 и на рис. 49.