Выразим отношение доминирования в этом графическом представлении. Относительно множества S из п. 30.1.1, по которому происходит

-> -

доминирование а е- р, можно сказать следующее. По верной части (31 :Н) из 31.1.5 (см. соответствующие рассуждения в п. 59.3.2) все множества 5 g / с 0, 1 и тг элементами заведомо не необходимы, но, так как тг = 3, это ограничивает наше исследование двухэлементными множествами S. Положим поэтому S = (i, j) х). Тогда доминирование означает, что

<xf + о,- v (($, ;)) = ak и аг > Р*, а,- > Р7-.

Согласно (60:12) первое условие можно переписать как ak - ak.

-> ->

Итак, доминирование as-Р означает, что

Обстоятельствами, описываемыми (60:13), можно теперь дополнить картину фундаментального треугольника. Сходство теперь имеется больше с §47, чем с § 32. Эта процедура соответствует переходу от рис. 49 к рис. 50 и 51, или к рис. 63 и 64, или к рис. 66 и 67. Действительно, различие по сравнению с рис. 50, 63, 66 (которые изображают одно и то же в соответствующих случаях (IV), (V), (VI)) состоит толькс* в следующем.

Шесть прямых

которые составляют там конфигурацию, заменяются теперь соответственно шестью прямыми

Поэтому второй треугольник (образованный тремя последними прямыми), который появляется в фундаментальном треугольнике (образованном тремя первыми прямыми), не обязательно должен располагаться симметрично относительно последнего, как это было на трех упомянутых рисунках.

60.3.3. Удобно различать два случая в соответствии с тем, пересекаются полуплоскости

(60:16) а - а а2 - а2, а3 - а3,

ограниченные тремя последними прямыми из (60:15) (где допускаются все три отношения доминирования из (60:13)) или нет. Согласно (60:12),

2) £, /, к - некоторая перестановка 1, 2, 3.

2е-\

2) Это похоже на (47:5) из п. 47.2.3, за исключением того, что там мы имели 1--~

на месте всех трех аи а2, а3. Имеется также изменение масштаба на коэффициент 1 +

+ , о котором говорилось после (60:11) и (60:12). о

По отношению к (32:4) из п. 32.1.3 можно сказать то же, что и для (47:5) из п. 47.2.3, см. сноску 1 на стр. 419.

(60:13)

(60:14)

(60:15)

первое означает, что

(60:17:а)

% + 2 + 3>0,

а второе-что

(60:17:Ь)

1 + 2 + 3 0.

Мы назовем эти случаи соответственно случаями (а) и (Ь).

Случай (а). Мы имеем здесь те же условия, что и на рис. 50 и 51, за исключением того, что внутренний треугольник расположен не обязательно симметрично относительно фундаментального треугольника, как это было там. Если иметь это в виду, то разбор случая (IV), как он приведен в пп. 47.1-47.5, можно здесь дословно повторить. Решения поэтому будут такого же типа, как и те, что изображены на рис. 61 и 62.

Заметим, что если некоторое at = 1, то соответствующие стороны внутреннего и фундаментального треугольников совпадают (см. (60:15)) и соответствующие кривые исчезают *).

Случай (Ь). Мы имеем, в сущности, условия, отраженные на рис. 63, 64 (условия на рис. 66, 67 - всего лишь варианты), с теми же оговорками по поводу асимметрии, какие были сделаны в случае (а).

Мы воспроизведем здесь снова рис. 63, отмечая стороны фундаментального треугольника сплошной чертой, а внутреннего - пунктиром: см. рис. 70. Их взаимное расположение допускает несколько вариантов, так как внутренний треугольник может выходить за пределы фундаментального различными способами 2). Рисунки 70-73 изображают эти варианты 3).

Замечание. Рисунки 70-73 отличаются друг от друга последовательным исчезновением областей 2, 3, 4. Кроме того, одна или более из областей 1 и 5, б, 7 может вырождаться в интервал на прямой или даже в точку. Иногда нелегко усмотреть различие между исчезновением , о котором было сказано выше, и этим вырождением . Правило, обходящее эти трудности, по которому можно различить четыре случая, соответствующие рис. 70-73, следующее: рис. 70-73 последовательно соответствуют тем случаям, когда внутренний треугольник пересекает стороны фундаментального треугольника в количестве от 0 до 3. (Пересечение в вершине считается пересечением обеих сторон, которым она принадлежит.)

Если иметь в виду эти обстоятельства, то приведенное в п. 47.6 обсуждение случая (v) можно повторить дословно4). Решения, следовательно, будут такими же, как и на рис. 65 (с необходимыми поправками на асимметрию и с учетом возможного исчезновения или вырождения областей 1-7 (см. рис. 70-73 и замечание выше)).

60.4.1. Мы нашли все решения общей игры п лиц при п = 3, но мы еще не пытались анализировать смысл этих результатов. Теперь мы приступим к такому анализу.

х) Так в случае нулевой суммы, где а± = а2 = as = 1, в соответствии с результатами из § 32 ни одной из этих кривых нет.

2) По (60:9) должно быть -2 at < 1. Это означает, как читатель может легко проверить сам, что каждая сторона внутреннего треугольника должна быть расположена между соответствующей стороной фундаментального треугольника и его противоположной вершиной. Рис. 70-73 исчерпывают все возможности при этом ограничении.

3) Симметричными могут быть только те, которые соответствуют игре с нулевой суммой, т. е. а4 = а2 = а3 = 0; см. рис. 70 и 73. Рис. 70 соответствует рис. 63, а рис. 73- рис. 66.

4) Обсуждение случая (VI) в п. 47.7 можно также рассматривать как такое повторение , только при более простых условиях.

60.4. Сравнение с играми с нулевой суммой

Начнем с замечаний несколько формального свойства. Мы уже видели, что наименьшим тг, для которого общая игра может быть существенной, является п = 2, в то время как для игр с нулевой суммой было п = 3. Мы видели также, что существует (предполагая редукцию и нормирование у = 1) всего одна существенная общая игра для п = 2, а для случая

Рис. 70. Рис. 71.

нулевой суммы то же можно сказать для п = 3. Далее, существенные общие игры для п = 3 (при тех же предположениях, что и выше) образуют трехпараметрическое семейство, в то время для игр с нулевой суммой это имело место при п = 4. Все это указывает на аналогию между общими играми п лиц и играми п + 1 лица с нулевой суммой.

Рис. 72. Рпс. 73.

Конечно, нам известна и причина этого: расширение общей игры п лиц есть игра п + 1 лица с нулевой суммой, и мы видели, что любая игра тг+1 лица с нулевой суммой может быть получена таким способом 1).

60.4.2. Следует, однако, помнить, что хотя игры тг + 1 лица с нулевой суммой исчерпываются этой процедурой, но для решений это не так: решения общей игры тг лиц образуют только подмножество решений ее расширения до игры с нулевой суммой (см., например, (56:1:а) из п. 56.12).

Таким образом, описание всех решений любой общей игры трех лиц означает только, что мы знаем некоторые, но не все решения любой игры четырех лиц с нулевой суммой. Действительно, пространное, но далеко не полное исследование в главе VII показывает, что нахождение всех решений игры четырех лиц с нулевой суммой является задачей значительно большего объема. Наши результаты, касающиеся общих игр трех лиц, позволяют, однако, сделать более важный вывод: любая игра четырех лиц с нулевой суммой имеет решение (исследования в главе VII не дали этого результата).

*) Точнее, она стратегически эквивалентна игре, которая может быть так получена (см. начало п. 57.4.1).