тем не менее они смогут осуществить соответствующими компенсациями любую другую цену, которую они пожелают.

Таким образом, оказывается, что модель из п. 61.2.2 не является ни самой простой, ни самой полной. Однако мы используем ее, так как нам представляется, что она лучше выявляет существенные черты ситуации без излишних деталей.

61.3.3. Основанный на здравом смысле результат п. 61.2.2 в терминах дележей состоит в следующем. Существует единственное решение: множество дележей

а = {{аи а2}},

(61:3) а{ и, а20,

(61:4) <x1 + a2 = z\

Сравнивая это с приложениями теории в п. 60.2.2, мы. видим, что соответствие будет достигнуто, если (61:3) и (61:4) совпадают с (60:3) и (60:4). Это означает, что должно быть

(61:5) = v((2))=0,

(61:6) v((l, 2)) = v.

Легко проверить, что (61:5) и (61:6) действительно справедливы. В целях полноты мы сделаем это для обеих моделей из пп. 61.2.2 и 61.3.1, 61.3.2. Для первой мы это сделаем подробно, а изменения, необходимые для второй, мы будем приводить в квадратных скобках.

(61:5). Игрок 1 может быть уверен в получении и, если он предложит цену р = и (решит не производить обмена). Игрок 2 может быть уверен, что игрок 1 получит и, отклонив любую цену (решив не производить обмена). Следовательно, v ((1)) = и.

Заменяя р = и на р = v (при том же поведении обоих игроков), мы получаем таким же образом, что v ((2)) = 0.

(61:6). Оба игрока вместе получают либо и, либо и, которое получается из Р + (v - Р) (из и + и )* По (61:1) и предпочтительнее; следовательно, v((l, 2)) =и.

61.4. Обоснование точки зрения, высказанной в § 58

61.4. Установленное в п. 63.3.3 совпадение значений характеристической функции v (S) с числами и, 0, и может показаться тривиальным. Однако в этом имеется некоторый важный момент. Это совпадение было получено на основании нашего определения характеристической функции, которое критиковалось в пп. 58.3 и 61.2. Таким образом, оно связано с приписыванием каждому игроку (в некоторой части теории, но не во всей теории) большего желания принести убыток другому игроку, чем самому получить выигрыш.

Важно отдать себе отчет в том, что эта зависимость действительно существенная, т. е. что изменение этого предположения изменит и результат и поэтому сделает его неверным, так как, как мы видели, он был верным. Сказанное лучше всего проверить на модели из п. 61.2.2.

В самом деле, предположим, что при некоторых условиях игрок 2 предпочитает принести пользу себе, чем причинить ущерб игроку 1. Предположим, что такие условия осуществляются например, когда

игрок 1 предлагает некоторую цену р0 > и, но <Cv. В этом случае игрок 2 получает v - р0, если он ее примет, и 0, если он ее отклонит. Следовательно, он выигрывает, если принимает цену. С другой стороны, игрок 1 получает р0, если игрок 2 примет предложение, и и, если отклонит. Следовательно, наше предположение, касающееся целей игрока 2, означает, что он примет предложение.

Таким образом, в этих условиях игрок 1 может рассчитывать на получение суммы р0. Это противоречит предыдущим выводам, в соответствии с которыми весь интервал цен (61:2) должен быть допустимым, а в п. 61.2.2 мы видели, что этот последний результат должен рассматриваться как естественный.

Подведем итоги. Обсуждение общей игры двух лиц, проведенное в пп. 61.2-61.4, показало, что общая игра двух лиц помогла нам в решении вопроса, следует ли строить характеристические функции так, как это сделано в нашей теории. Структура игры была достаточно простой для того, чтобы позволить предсказать результат, согласующийся со здравым смыслом , и любое изменение в процедуре образования характеристической функции существенно изменит теоретический результат. Таким образом, с помощью приложения теории мы получили ее подтверждение в смысле четвертого замечания из п. 58.3.

61.5. Делимые продукты. Маргинальные пары

61.5.1. Дискуссия из пп. 61.2-61.4 относилась к весьма простому случаю, но тем не менее оказалась достаточной для той задачи подтверждения , которую мы себе поставили. Кроме того, интерпретируя одну существенную общую игру двух лиц, мы интерпретируем сразу все такие игры, так как все они стратегически эквивалентны игре в редуцированной форме (которую мы можем нормировать, положив у = 1).

Пока нам было этого достаточно. Однако желательно убедиться еще и в том, что наша теория справедлива также и в несколько менее тривиальных экономических ситуациях. С этой целью мы сначала несколько расширим описание рынка двух лиц. Как мы увидим, это не даст ничего существенно нового. После этого мы обратимся к общей игре трех лиц. Там мы найдем действительно новые подтверждения и возможности для более глубоких интерпретаций.

61.5.2. Вернемся к ситуации, описанной в п. 61.2.2: продавец! 1 и покупатель 2 на рынке. Мы допускаем теперь сделки, касающиеся некоторых или всех из s (неделимых и взаимозаменяемых) единиц А±, ... . . ., As некоторого товара х).

Обозначим полезность для игрока 1 от обладания t (= 0, 1, . . ., s) этими единицами через щ, а для игрока 2 - через vt. Таким образом, количества

(61:7) u0 = 0, ии ...,ws,

(61:8) о = 0, vu ..., vs

описывают различныеполезности этих единиц для каждого участника. Так же как и в п. 61.2.2, мы считаем исходное положение покупателя нулем его полезности.

2) Мы могли бы допустить также и бесконечную его делимость, но это не составило бы существенной разницы.

J) Игрок 1 - требованием неприемлемо высокой цены, аигрок 2 - отклонением любого предложения.

Здесь нет необходимости повторять рассуждения из пп. 61.2.2, 61.3.1 и 61.3.2, касающиеся правил игры, которая моделирует эту ситуацию.

Легко видеть, какой должна быть ее характеристическая функция. Так как каждый игрок может воспрепятствовать любой из сделок1), мы, как ивп. 61.3.3, получаем, что

(61:9) v((l)) = v((2)) = 0.

Так как оба игрока вместе могут определить число единиц, которые должны быть переданы, и так как передача t единиц приносит им в сумме us-t-\-vt, должно быть

(61:10) v((l, 2)) = max (ut + ut).

/=0, 1, ... ., s

v (S) является характеристической функцией и потому должна удовлетворять неравенствам (57:2:а), (57:2:с) из п. 57.2.1. Только одно из них (ввиду (61:9) и (61:10)) не является очевидным:

(61:11) v((l, 2))v((l)).

Оно получается, если заметить, что (согласно (61:10)) его левая часть us-\-v0 = us (полагая t = 0), а правая часть =us.

61.5.3. Рассмотрим теперь то значение t, на котором достигается максимум в (61.10). Пусть это будет t = t0. Оно характеризуется неравенством Us-tQ + vtQUs-t + Vt для всех t. Это должно быть установлено только для t Ф t0, и мы можем устанавливать это для случаев t t0 по отдельности. Эти неравенства можно переписать так:

(61:12) us to-us-tvt - vto для t>t0,

(61:13) us-t - us-t0<=vto - vt для t<t0.

Положив в (61:12) t = t0 + l (кроме того случая, когда t0 = s и (61:12) неверно), мы получим

(61:14) us-to - us-to-i vto+i - uto,

а положив в (61:13) t = t0- 1 (кроме t0 = 0, когда (61:13) утрачивает смысл), мы будем иметь

(61:15) u8-to+i - Us-to vtQ - *V-l

Заметим, что (61:12) [и (61:13) (кроме случаев t = t0±l, которые ведут к (61:14) и (61:15)) могут быть записаны следующим образом:

(61:16) 2 (us-i+i - Us-i) 2 (*>/ - *>ы) Для t>t0,

*=*o+i i= o+i

(61:17) 2 (и*-м - us-i) 2 { j - Vj-i) Для t<t0.

i=H-i jW+1

В общем случае мы можем сказать, что (61:14) и (61:15) лишь необходимы, тогда как (61:16) и (61:17) необходимы и достаточны. Однако мы можем теперь ввести предположение об убывающей полезности, т. е. о том, что полезность каждой добавляемой единицы убывает, в то время