является трик-трак Можно высказать некоторые сомнения по поводу того, не нарушает ли наличие случайных ходов рационального характера игр, упомянутых в связи с предыдущими примерами.

В п. 15.7.1 мы увидим, что этого не произойдет, если придерживаться некоторого весьма правдоподобного толкования этого рационального* характера . Неважно, являются ли все ходы личными или нет; существенным является совпадение предварения и предшествования.

6.4.2. Рассмотрим теперь игры, в которых из предшествования не следует предварения. Так бывает, когда игрок /сх, делающий свой личный ход оМк, не информирован обо всем происшедшем ранее. Существует обширный класс игр, в которых это имеет место. Эти игры обычно содержат как случайные, так и личные ходы. Обычно считается, что эти игры носят смешанный характер: хотя их исход существенно зависит от случая, сильное влияние на него оказывают также и стратегические способности игроков.

Удобными примерами являются покер и бридж. Эти две игры показывают также, какие характерные черты понятия предварения могут обнаружиться, если оно обособлено от понятия предшествования. Этот момент, по-видимому, заслуживает несколько более подробного рассмотрения.

Предшествование, т. е. хронологическое упорядочение ходов, обладает свойством транзитивности 2). В наших же примерах предварение но обязано быть транзитивным. Действительно ни в покере, ни в бридже это не так, и условия, при которых это имеет место, довольно характерны.

Рассмотрим в связи с этим покер. Пусть оМ - случайный ход, состоящий в сдаче игроку 1 его карт; оМ% - первая ставка игрока 1, его личный ход; <Мк - первая последующая ставка игрока 2, личный ход второго игрока. Тогда оМ предваряет оЖ% в. оМх предваряет о/Мх, но оМ не предваряет Таким образом, мы встретили нетранзитивность, но в ней участвуют оба игрока. Действительно, на первый взгляд может показаться неправдоподобным, что предварение может оказаться в какой-либо игре яетранзитивным по отношению к личным ходам одного и того же игрока. Для этого требовалось бы, чтобы этот игрок между ходами оМ% и оМ забывал исход выбора, связанного с оМ 4). Трудно представить себе, каким пут$м могло бы реализоваться или тем более вынуждаться подобное-забывание. Тем не менее следующий наш пример иллюстрирует именно эту ситуацию.

Обратимся к бриджу. Хотя в бридже участвуют четыре игрока, которых можно обозначить через А, Б, В, Г, эту игру следует считать-игрой двух лиц. Действительно, А и В образуют объединение, которое-является более чем добровольной коалицией; то же относится к игро-

*) Случайными ходами в трик-траке являются бросания кости, определяющие общее число клеток, на которое могут продвинуться шашки каждого игрока. Личными ходами являются решения о распределении общего числа продвижений, разрешенных данному игроку, между его шашками. Личным ходом является также решение игрока о распределении возможностей при выпадении дубля. Во всяком случае, на каждом ходе исходы выборов всех предшествующих ходов видны на доске всем.

2) Это значит, что если оМ предшествует <М%, а сМ% предшествует оМ, то оМ предшествует оМ%. Особые случаи, когда наличие или отсутствие транзитивности имела серьезное значение, анализировались в пп. 4.4.2 и, 4.6.2 из гл. I в связи с отношением доминирования.

3) Иначе говоря, игрок 1 делает свою первую ставку, зная свои собственные карты; игрок 2 делает свою первую ставку, зная предыдущий торг игрока 1; однако в то же время игрок 2 не знает карт игрока 1.

4) Мы предполагаем, что предваряет <М% и оМ% предваряет е#х, но еМ непредваряет оМ.

кам Б ж Г. Для игрока А объединение с Б или Г вместо объединения с В было бы жульничеством в том же самом смысле, в каком было бы жульничеством подглядывание в карты игрока Б или ход не в масть. Иначе говоря, это было бы нарушением правил игры. Если три (или более) игрока играют в покер, то вполне допустимо для двух (или более) из них, если их интересы параллельны, объединиться против оставшегося игрока. Однако в бридже должны объединяться игроки А и В и аналогично Б и Г, в то время как объединение А и Б запрещено. Естественный способ описания этого факта состоит в обозначении А и В одним игроком 1, а. Б и Г - одним игроком 2. Можно привести следующую равносильную формулировку: бридж является игрой двух лиц, но оба игрока 1 и 2 не действуют в нем самостоятельным образом. Игрок 1 действует4 посредством своих представителей А и 5, а игрок 2 - посредством своих представителей Б ж Г.

Рассмотрим теперь представителей А ж В игрока 1. Правила игры ограничивают их общение, т. е. обмен информацией между ними. Например, пусть о#р, - случайный ход, состоящий в сдаче игроку А его карт, Si - первая карта, с которой ходит А, т. е. личный ход игрока 1; оМ - карта, с которой ходит при розыгрыше этой взятки 5, т. е. личный ход игрока 1. Тогда <М предваряет o/ft ж оМ% предваряет с , но оМ не предваряет оМ% *). Таким образом, мы снова сталкиваемся с нетранзитивностью, но на этот раз она относится уже только к одному игроку. Отметим, что нужное нам забывание хода оМ между ходами оМк и4и было достигнуто здесь путем раздвоения личности игрока 1 на А ж В.

6.4.3. Приведенные примеры показывают, чтонетранзитивность отношения предварения соответствует хорошо известной компоненте практической стратегии, а именно возможности сигнализации . Если при ходе с#х не имеется никаких сведений о М, но оказывается возможным наблюдать при ходе оЖх исход хода &ж&оМ% оказывает влияние оЛ1 (из-за знания об исходе оМу), togIb действительности является сигналом от о/М kcIl т. е. некоторым косвенным носителем информации. Теперь могут возникнуть две противоположные ситуации в зависимости от того, являются лж оМх и ходами одного и того же игрока или двух различных игроков.

В первом случае, который, как мы видели, имеет место в бридже, интересы игрока (который есть к% = &х) лежат в содействии сигнализации , т. е. в распространении информации в пределах своей фирмы . Это стремление находит свою реализацию в широкой системе условных сигналов в бридже 2). Они являются частями стратегии, а не правил игры (см. п. 6.1) и, следовательно, могут варьироваться 3), в то время как сама игра в бридж остается неизменной.

Во втором случае, который, как мы видели, имеет место в покере, интересы игрока (теперь мы имеем в виду игрока к%\ заметим, что здесь

г) Иначе говоря, А ходит со своей первой карты, зная собственные карты; В участвует в разыгрывании этой взятки, зная первую карту, с которой пошел А; в тс же время В не знает имеющихся у А карт.

2) Отметим, что эта сигнализация считается в бридже абсолютно честной, если только она осуществляется путем действий, которые для этого предусмотрены правилами игры. Например, вполне допустимо, чтобы игроки А и В (две составляющих игрока 1, см. п. 6.4.2) договорились - до начала партии! - о том, что начальный торг на два козыря указывает на слабость других мастей. Однако недопустимо, т. е. является жульничеством, указывать на слабость своих карт путем интонаций голоса при торге или постукивания по столу.

3) Они могут быть даже различными для двух игроков, т. е. для А и В, с одной стороны, и Б и Г - с другой. Однако в пределах фирмы одного игрока они должны совпадать.

уже к% Ф кК) лежат в предотвращении этой сигнализации , т. е. получения информации противником к . Это обычно достигается путем беспорядочного и на первый взгляд нелогичного поведения при совершении выбора на ходе оМ \ Оно делает для противника затруднительным извлечение из наблюдаемого исхода оМ% информации относительно исхода оМ, о котором у него нет никаких непосредственных сведений иначе говоря, эти действия делают сигнал ненадежным и двусмысленным. В п. 19.2.1 мы увидим, что в действительности в этом и заключается функция блефа в покере *).

Мы будем называть эти две процедуры прямой и обратной сигнализацией. К этому стоит добавить, что обратная сигнализация, т. е. сбивание противника с толку, имеет место почти во всех играх, включая бридж. Так происходит потому, что она основана на нетранзитивности предварения в случае нескольких игроков. С другой стороны, прямая сигнализация является более редкой: покер, например, не содержит ни малейшего намека на нее. Действительно, как мы уже отмечали выше, из нее следует нетранзитивность предварения, когда мы имеем дело только с одним игроком. Иначе говоря, она требует надлежащим образом урегулированной забывчивости этого игрока, которая достигается в бридже путем расщепления игрока на два лица.

Во всяком случае, бридж и покер представляются достаточно характерными примерами этих двух типов нетранзитивности - соответственно при прямой и обратной сигнализации.

Оба типа сигнализации приводят к деликатной проблеме разумного их сочетания при фактическом разыгрывании игры, т. е. при попытках нахождения хороших , рациональных способов игры. Всякая попытка сигнализировать больше или меньше, чем этого требует бесхитростная игра, неизбежно приводит к отклонениям от бесхитростного способа игры. А это обычно оказывается возможным лишь ценой определенных затрат, т. е. прямыми последствиями здесь являются убытки. Таким образом, задача состоит в том, чтобы установить эту дополнительную сигнализацию на таком уровне, при котором ее преимущества - передача или сокрытие информации - перевесили бы непосредственно вызываемые ею потери. Чувствуется, что это приводит к чему-то похожему на поиск оптимума, хотя все это никоим образом не является четко определенным. Мы увидим, какцм % образом теория игр двух лиц уже позаботилась об этой проблеме; она будет подробно рассмотрена на одном характерном примере, представляющем собой упрощенную форму покера (см. § 19).

Отметим, наконец, что все важные примеры нетранзитивности предварения доставляются нам играми, содержащими случайные ходы. Это довольно странно, поскольку видимой связи между этими двумя явлениями нет 2>3). В действительности дальнейшее исследование покажет, что наличие или отсутствие случайных ходов лишь в малой мере влияет на существенные аспекты стратегий в этой ситуации.

г) И что блеф вовсе не является попыткой обеспечить себе дополнительные выигрыши - в любом прямом смысле,- имея на руках слабую карту. См. указанный пункт.

2) См. соответствующий случай, разобранный в п. 6.4.1, когда предварение совпадает с предшествованием и является поэтому транзитивным. Как было там упомянуто, наличие или отсутствие случайных ходов в этом случае несущественно.

3) Довольно важный в этой связи пример дается игрой в орлянку. Эта игра вместе с некоторыми родственными ей играми рассматривается в § 18.