§ 62. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ П = 3; ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ

62.1. Случай п = 3; частный случай. Рынок трех лиц

62.1.1. Рассмотрим, наконец, п = 3. Мы предполагаем получить некоторую интерпретацию в том же смысле, что и в п. 61.2.1. Мы сделаем это, расширяя модель п. 61.2.2 для двух лиц до рынка трех лиц.

Как мы уже отмечали, такие рассуждения не могут не оказаться исчерпывающими, так как существует всего лишь одна существенная общая игра трех лиц. С другой стороны, мы знаем, что существенные общие игры трех лиц образуют трехпараметрическое семейство, и подробное исследование в п. 60.3.2 заставляет нас различать многочисленные возможности В соответствии с этим для описания всех вариантов существенной общей игры трех лиц требуется несколько моделей. Мы ограничимся рассмотрением одного типичного класса. Полное исследование было бы несколько длинно и не внесло бы пропорционального вклада в понимание теории, хотя оно и не представило бы каких-либо дополнительных трудностей.

62.1.2. Итак, рассмотрим рынок трех лиц, состоящий из продавца и двух покупателей. Рынок с двумя продавцами и одним покупателем приводит к той же математической модели и к соответствующим заключениям. Для определенности мы рассмотрим первый вариант задачи и предоставим читателю провести параллельное изучение второго.

Тремя участниками являются 1, 2, 3 - продавец 1 и (возможные) покупатели 2 и 3. Мы последовательно рассмотрим частный случай, соответствующий п. 61.2.2, а затем более общий, соответствующий п. 61.5.2. В противоположность тому, что было там, здесь второй случай фактически окажется обобщением первого.

Начнем с модели п. 61.2.2. Сделка, которую мы рассматриваем, состоит в продаже игроком 1 одной (неделимой) единицы А некоторого товара одному из игроков 2 и 3. Обозначим полезность А для 1 через и, для 2 через v и для 3 через w.

Для того чтобы сделка имела смысл для всех участников, полезность А для каждого покупателя должна быть больше, чем для продавца. Далее, кроме того случая, когда 2 и 3 находятся в абсолютно равном положении, один из них сильнее другого, т. е. может извлечь большую пользу из обладания А. Мы можем предположить, что в данном случае более сильным покупателем является 3. Эти предположения означают, что

(62:1) u<vw.

Как и в пп. 61.2.2 и 61.5.2, мы используем начальное положение каждого покупателя в качестве нуля его полезности.

Как и в п. 61.5, здесь нет необходимости повторять рассуждения пп. 61.2.2 и 61.3 относительно правил игры, которая моделирует эту ситуацию.

Легко показать, что характеристическая функция должна быть следующей. Так как каждый покупатель может отказаться покупать товар, а продавец, так же как и оба покупателя вместе, может вообще

*) Два основных случая (а) и (Ь), причем второй подразделен на четыре под-случая, представлены на рис. 70-73.

воспрепятствовать какой-либо сделке (см. п. 61.5.2), мы получаем, как и в п. 61.3.3, что

(62:2) v((l)) = u, v((2)) = v((3)) = 0,

(62:3) V((l, 2)) = v, v((l, 3)) = ы>, v ((2, 3)) = 0,

(62:4) v((l, 2, 3)) = ;!).

Так как v (S) - характеристическая функция, она должна удовлетворять неравенствам (57:2:а) и (57:2:с) из п. 57.2.1. Проверка этого не вызывает больших трудностей, и мы предоставим ее читателю.

По происхождению игра, которой соответствует эта v (£), не является игрой с постоянной суммой 2); тем более она существенна.

62.2. Предварительное обсуждение

62.2. Мы можем теперь применить к нахождению всех решений нашей задачи результаты, полученные в п. 60.3 для существенной общей игры трех лиц. Мы снова проследим связь математических выводов с теми, которые получаются при рассуждениях на основе простого здравого смысла.

Согласие здесь окажется в некотором смысле даже лучшим, чем в пп. 61.5.2-61.6.3. Именно, границы для цены будут теми же самыми при обоих методах. Возможно, это следует приписать тому факту, что мы теперь имеем дело только с одной единицей, так же как в п. 61.2.2. Когда мы перейдем к s единицам в пп. 63.1-63.6, снова возникнут осложнения, как и в пп. 61.5.2-61.6.3.

Однако, кроме указанного сходства, появится еще некоторое качественное расхождение между нашей теорией и обычной точкой зрения. Мы увидим, что это вызвано возможностью образования коалиций. Эта возможность впервые становится реальностью для игр с тремя участниками, и следует ожидать, что наша теория это учтет, в то время как обычная точка зрения, как правило, этим пренебрегает. Таким образом, эти расхождения с точки зрения нашей теории оказываются вполне оправданными.

62.3. Решения. Первый подслучай

62.3.1. Мы приступим к применению сказанного в пп. 60.3.1 и 60.3.2 к$Сзаданной равенствами (62:2) - (62:4) характеристической функции v(S).

Дележи в этом случае имеют вид

->

а = {{аи а2, а3}},

(62:5) ocim, a2 t0, a30,

(62:6) ai + a2 + a3 = w.

Для того чтобы применить пп. 60.3.1 и 60.3.2, необходимо привести характеристическую функцию к редуцированной форме и затем пронормировать ее с у = 1.

*) Конечно, здесь использованы неравенства и < v w.

2) Доказательство (57:20) из п. 57.5.2 нарушается, например, при

v((l)) + v((2, 3)) = i*<i*=v((l, 2, 3)).

Первая операция соответствует замене а1? а2, а3 на а[, а2, а3: (62:7) ak = ak + a°k,

как упоминалось в п. 57.5.1 и обсуждалось в пп. 31.3.2 и 42.4.2. Числа aj, а\, а°3 находятся, как это описано в выводе (59:А) из п. 59.2.1. Именно

(62:8) 0 = 0--о-> а2 = а2---, а3 = а3--ц-.

Соответствующие изменения v(S) даются формулами (59:1) в п. 59.2.1; они превращают (62:2) - (62:4) в

(62:9) v((l)) = v((2))=v((3))=

(62:10)

У((1,2))=-3у-2ш-м

w - и

V((1.3)) = . з , v((2,3))=-i

(62:11) v((l,2,3)) = 0.

Итак, у = --1 и вторая операция состоит в делении всех выражении

на это число. Вместо этого мы предпочтем применить пп. 60.3.1, 60.3.2 непосредственно, вставляя везде (где предполагается 7=1) множитель w - и 1)

3

Сравнение с (60:8) из п. 60.3.1 показывает, что

2 (w - и) w - и 3v - 2w - и

---о- , &2 - 3- 1 а3 --о-

Шесть прямых (60:15) из п. 60.3.2, характеризующих треугольник, из которого мы вывели наши решения, превращаются в

W-U , W-U , W-U 2

L 3 2 3 3

(62:12) 2(w-и) , w - u 3v - 2w - u 3)#

3 а2~ з аз~ 3

62.3.2. Мы можем теперь исследовать эту конфигурацию в духе* п. 60.3.3. Ясно, что

ai-\-a2-\-a3 = v - w<=0.

Следовательно, мы имеем (60:17:Ь), т. е. случай (Ь) из этого пункта; нам остается решить, какой из его четырех подслучаев, представленных рис. 70-73, имеет место. Обратимся поэтому к графическому представлению.

л) Этот процесс аналогичен использованному при исследовании существенных, игр трех лиц с нулевой суммой с избытком в § 47, в частности, в пп. 47.2.2 и 47.3.2 (случай (III)), 47.4.2 (некоторая фаза случая (IV)).

2) -1 в (60:15) соответствует -у; поэтому мы должны все умножить, как уже*

w - и

было сказано, на -- .

3) - д1? - а2, -а3 в (60:15), которые появляются и здесь, уже включают множи-

w- и тель --- .