Для этого представления мы используем, как и прежде, плоскость рис. 32. Изображая шесть прямых (62:12) так же, как были изображены <(60:15) из п. 60.3.2 на рис. 70-73, мы получим рис. 74. Качественные черты этого рисунка вытекают из следующих рассуждений:

(62:А:а) Вторая о-прямая проходит через пересечение первых а2- и а3-прямых. Действительно,

2(w-и) w-и w - и

3 3 3~~

{62:А:Ь) Обе о-прямые совпадают.

*(62:А:с) Вторая о-прямая левее, чем первая. Действительно, ей соответствует большее значение а3, так как

Ъи-2w - и , w - и г. --3-+ -- = -0.

Сравнение этого рисунка с рис. 70-73 показывает, что он является повернутой и вырожденной формой рис. 72 *): область 5 вырождается в точку (верхняя вершина основного треугольника А), площади 1, 7 также вырождаются, но уже в два отрезка (верхняя и нижняя части основного треугольника А), в то время как области б, 2 сохраняются

Рис. 74. Рис. 75. Рис. 76.

(трапеция и меньший треугольник, на которые разделен фундаментальный треугольник А на нашем рисунке). Расположение пяти областей рис. 72 показано на рис. 75. Теперь мы получим общее решение V, как указано в конце п. 60.3.3, перенесением картины на рис. 65 в ситуацию, описанную рис. 75. На рис. 76 показан результат2) (V - отрезок и кривая).

62.4. Решения. Общая форма

62.4. Прежде чем переходить к дальнейшему, заметим, что рис. 75, вообще говоря, соответствует предположению

{62:13) u<vw,

х) По этому поводу и по поводу следующего дальше замечания см. замечание на стр. 556.

2) Кривая на рис. 76 подобна кривой на рис. 65; она удовлетворяет условиям <47:6) из п. 47.5.5.

однако на рисунке изображен случай (62:14) v<w.

Когда

{62:15) v = w,

область 1 на рис. 75, т. е. верхний интервал левой стороны фундаментального треугольника, вырождается в точку (см. (62:А:с) в п. 62.3,2). Следовательно, в этом случае рис. 76 превращается в рис. 77.

Эти рассуждения можно применять совершенно симметрично по отношению к игрокам 2 и 3 (двум покупателям), следующим образом.

Предполагая (62:14) или (62:15), мы можем заменить (62:13) на более слабое условие

(62:16) u<v, w.

Предположим теперь, что выполняется только (62:16), но не (62:13) с (62:14) и (62:15). Это означает, что каждый покупатель извлекает большую пользу из обладания А, чем продавец, однако не фиксирует взаимного расположения покупателей. (См. первую часть п. 62.1.2.)

Теперь (62:16) оставляет открытыми три возможности: (62:14), (62:15) и

{62:17) v>w.

Решения для (62:14) и (62:15) изображены на рис. 76, 77. (62:17) получается из (62:14) перестановкой игроков 2 и 3 (двух покупателей) и чисел

Рис. 77. Рис. 78.

v и w. Это означает, что рис. 76 надо отразить от его вертикальной оси симметрии (после перестановки v и w). Это показано на рис. 78. Суммируем сказанное.

{62:В) Если предполагать (62:16), то общее решение V приведено на рис. 76, 77, 78 соответственно для случаев v <, =, > w.

62.5. Алгебраическая форма результата

62.5.1. Результат, представленный рис. 76, алгебраически может быть выражен так г):

Решение V состоит из верхней части левой стороны фундаментального треугольника и кривой.

Первая часть V характеризуется соотношениями

а2=--з- ,--з- з---

*) Заметим, что это справедливо, если только v w, и не противоречит (62:В).

Ввиду (62:6) из п. 62.3.1 это означает, что

а2 = 0, w - иа30. Теперь (62:6) из п. 62.3.1 дает нам

ai = w - a3.

Следовательно, приведенные выше условия можно переписать: (62:18) vatw, а2 - 0, а3 = w- cq.

Вторая часть V (кривая) соединяет наименьшее из первой части

(см. (47:6) из п. 47.5.5) характеризуется тем, что вдоль нее а2 и а3 являются монотонно убывающими функциями от аг Мы можем снова перейти от av а2, а3 к а1? а2, а3 по (62:8) из п. 62.3.1. Тогда а! изменяется от своего минимального значения из (62:18) (v) до своего абсолютного минимума (и), и а2, а3 снова являются монотонно убывающими функциями от аА. Итак, мы имеем:

(62:19) и оц v; а2, а3 - монотонно убывающие функции аА Ч2).

Итак, общее решение V есть объединение двух множеств, заданных соотношениями (62:18) и (62:19). Заметим, что функции, фигурирующие в (62:19), произвольны (в некоторых пределах), но что определенное решение (т. е. определенная норма поведения) соответствует определенному выбору этих функций. Эта ситуация вполне аналогична описанной в (47:А) из п. 47.8.2 и в п. 55.12.4.

62.5.2. Соотношения (62:18) и (62:19) могут быть использованы для всех случаев v w (см. сноску 1 на стр. 571). Для и = w (62:18) упрощается:

Мы будем поэтому использовать (62:18) и (62:19) только при v<Zw и (62:20), (62:19) при v = w3).

Если v>w. то мы можем использовать (62:18) и (62:19), переставив игроков 2 и 3 (покупателей), а также v и w. Тогда (62:18), (62:19) превращаются в

(62:21) waiv, a2v - ail а3 = 0,

(62:23) wfgoqrgw, а2, а3 - монотонно убывающие функции о4).

Замечание. Заметим, что указанная выше перестановка превращает (62:4) из п. 62.1.2 в

(62:22) v ((1, 2, 3)) = и,

и (62:6) из п. 62.3.1 в

(62:6*) а4 + а2 + а3 = v.

г) Они должны, конечно, удовлетворять соотношениям (62:5) и (62:6) из п. 62.3.1.

2) Как показывает рис. 76, самая низкая точка прямых совпадает с самой высокой точкой кривой, т.е. точка а4 = г; из (62:18) и (62:19) одна и та же.

Следовательно, можно исключить = v из одного (но не из обоих!) выражений (62:18) или (62:19).

3) Замечание в сноске 2, касающееся (62:18) и (62:19), применимо также к (62:20) и (62:19). Поэтому мы можем вовсе опустить (62:20), но в целях интерпретации п. 62.6 это условие удобно сохранить.

4) Замечание в сноске 2, касающееся (62:18), (62:19), применимо и к (62:21), (62:22). Конечно, мы должны заменить и на w.

с абсолютным минимумом

Ее геометрическая форма

(62:20)

ai = z;i, а2 = а3 = 0.