Суммируя сказанное, мы получаем:

(62:С) Если предположить (62:16), то общее решение описывается

условиями (62:18), (62:19); (62:20), (62:19); (62:21), (62:23) соответственно для случаев у<, =, >w.

62.6. Обсуждение

62.6.1. Для того чтобы связать полученные выводы с математическими результатами, сформулированными в (62:С), применим теперь к рынку с одним продавцом и двумя покупателями и с одной неделимой единицей товара обычный, опирающийся на здравый смысл, анализ.

Рассуждения на основе здравого смысла приводят к тому выводу, что мы здесь фактически имеем дело с одним из простейших частных случаев теории маргинальных пар . Аргументация имеет следующий вид.

Продавец владеет одной неделимой единицей товара, которую мы рассматриваем; имеются также два покупателя. Следовательно, один будет включен в сделку, а другой исключен из нее. Ясно, что более сильный покупатель занимает преимущественное положение, кроме того случая, когда оба имеют одинаковую силу, и в этом случае они оба одинаково могут быть выбраны. В соответствии с этим цена, при которой состоится сделка, будет лежать между полезностями включенного и исключенного из нее покупателей, а если они окажутся одинаковой силы, то цена окажется в точности равной общему значению этих величин. Значение полезности для продавца, которое, как мы должны предполагать для того, чтобы иметь фактически рынок трех лиц, меньше, чем соответствующие значения для обоих покупателей, никак в игре не фигурирует.

В нашей математической формулировке полезности продавца и покупателя суть, г;,1 w. Сделанное выше замечание означает, что

.(62:16) и < у, w.

Утверждения, касающиеся цены, означают, что (62:24) upw при v<C.w,

(62:25) p = v при v = w,

(62:26) wpv при v>w.

Исключенный покупатель кончает с тем, что он имел вначале, т. е., в нашей системе отсчета, с нулевой полезностью.

Следовательно, это утверждение в точности соответствует (62:18), (62:20), (62:21), как и предусмотрено в (62:С).

До этого места математические результаты согласуются со здравым смыслом . Но очевидна и граница этого совпадения: (62:С) определяет еще и другие дележи, именно (62:19) и (62:23), которые не затрагиваются проведенными выше обычными рассуждениями.

В чем же значение (62:19) и (62:23)? Не выражают ли они противоречие между нашей теорией и точкой зрения здравого смысла ?

Легко ответить на эти вопросы и увидеть, что никакого реального противоречия не существует, а (62:19) и (62:23) представляют собой вполне естественное обобщение обычной точки зрения.

62.6.2. Сумма o&i, полученная продавцом в данном дележе, есть, конечно, цена р, рассматриваемая при предложении данного дележа. В (62:19) и (62:23) а4 изменяется от и до v или до w (в зависимости от того,

которое из этих чисел меньше); иными словами, цена изменяется от полезности продавца до полезности более слабого покупателя. Имеется также определенная (монотонная) функциональная зависимость между (переменными) суммами, получаемыми покупателями х).

Эти два факта позволяют дать (62:19) и (62:23) следующую словесную интерпретацию. Два покупателя могут образовать коалицию, основанную на определенных правилах разделения между ними полученного дохода, и вступить в соглашение с продавцом. Правила разделения представлены монотонной функцией, описанной в (62:19) и (62:23). Никакое соглашение не может сделать доход продавца меньшим, чем его собственный предел 2). С другой стороны, цена более высокая, чем предел слабого покупателя, исключает любую возможность для него оказывать влияние на игру.

Особым правилам, содержащимся в (62:19) и (62:23), а также ролям всех участников в таких ситуациях может быть дано более подробное словесное объяснение. Мы не будем здесь этого делать, так как приведенных выше рассуждений достаточно для того, чтобы утверждать основное положение: с одной стороны, (62:18), (62:20) и (62:21) (т. е. верхняя часть V на рис. 76-78) соответствуют конкуренции двух покупателей в сделке, в которой более сильный игрок, если такой существует, уверен в выигрыше. С другой стороны, (62:19) и (62:23) (т. е. нижняя часть V на рис. 76- 78, кривые) соответствуют коалиции двух покупателей против продавца.

Итак, оказывается, что классические выводы, по крайней мере в той форме, в какой они применялись в п. 62.6.1, учитывают только первую возможность и не принимают во внимание коалиций. Наша теория, в которую коалиции введены по существу и с самого начала, необходимо отличается в этом отношении: она охватывает обе возможности, она их объединяет как одно целое в решении, которое она дает. Разделение, соответствующее схемам с коалициями и без них, может быть проведено на основе словесных объяснений, по-видимому, лишь для относительно простых игр трех лиц: нет оснований предполагать, что это может быть сделано для всех игр, в то время как математическая теория строго применима во всех ситуациях.

§ 63. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ П = 3. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

63.1. Делимые товары

63.1.1. Нам остается обобщить модель игры трех лиц из п. 62.1.2 так же, как была обобщена модель игры двух лиц, рассмотренная в п. 62.2.2, до модели из пп. 61.5.2 и 61.5.3.

Вернемся поэтому к ситуации, описанной в п. 62.1.2: продавец 1 и (возможные) покупатели 2 и 3 на рынке. Мы предполагаем теперь, что в сделке фигурируют часть или все s (неделимых и взаимозаменяемых) единиц . . ., As некоторого товара. (См. также сноску 1 на стр. 562.) Обозначим полезность t (= 0, 1, . . ., s) этих единиц для 1 через щ, для 2 через vt и для 3 через wt. Итак, числа

(63:1) Щ = 0, щ, ..., и6,

*) Все эти суммы выражены в полезности, которую мы рассматриваем в предположении существования только одной неделимой единицы товара.

2) Этот предел есть наилучшее использование им (вместо продажи) товара Л.

(63:2) о = 0, vi9 v8,

(63:3) w0 = 0, Wi,...,w8

описывают полезности этих единиц для каждого участника.

Как и раньше, мы считаем начальную позицию каждого покупателя нулем его полезности.

Как и в пп. 61.5.2, 61.5.3 и 62.1.2, мы не считаем нужным повторять рассуждения пп. 61.2.2, 61.3.1, 61.3.2, касающиеся правил игры, которая моделирует эту ситуацию.

Легко видеть, какой должна быть характеристическая функция этой игры. Так как каждый покупатель может воспрепятствовать продаже товара ему, а продавец, равно как и оба покупателя вместе, могут не допустить вообще любой сделки (см. пп. 61.5.2 и 62.1.2), из этого следует, как и в п. 61.3.3, что

(63:4) v((l)) = ue, v((2))=v((3)) = 0,

(63:5) v((2, 3)) = 0.

Обозначая число единиц, переданное продавцом 1 покупателям 2 и 3 соответственно через t иг, легко найти, что получают остальные коалиции (1,2), (1,3), (1, 2, 3), т. е. продавец с одним или двумя покупателями.. Знакомые рассуждения дают нам:

v((l, 2))= max (us.t + vt),

f=0, 1.....8

v ((1, 3)) = max (us-r + wr),

r=0, 1.....s

v ((1,2,3))= max (us-t-r + vt + wr)г).

t, Г=0, 1,. . . , 8

Это v (S) является характеристической функцией. Мы предоставляем читателю проверить выполнение неравенств, вытекающих из этого факта.

Исследование того, когда игра является существенной, может быть проведено как и в пп. 61.5.2 и 61.5.3 и тоже предоставляется читателю 2). Можно определить также, когда один из двух покупателей 2 и 3 становится болваном в смысле теории разложения. Мы также не будем этого рассматривать; результаты нетрудно получить, и хотя они не являются неожиданными, но не лишены интереса.

63.1.2. Если положить г = 0 под знаком максимума в (63:7), то это выражение превращается в первый максимум из (63:6). Если же положить далее t = 0, то оно превращается в us. В результате каждой из этих операций значение становится rg, т. е. мы имеем

(63:8) v((l))=gv((l,2))sgv((l,2,3)). .

Если мы сделаем то же самое для г и t в обратном порядке то получим таким же образом

(63:9) v((l))=gv((l,3)):£v ((1,2,3)).

*) Условие t + г s под знаком max выражает тот факт, что число t + г проданных единиц не может превосходить числа единиц, первоначально имевшихся у продавца.

2) Исследование связи с (62:1) из п. 62.1.2 или с (62:16) из 62.4, когда s = 1, также может быть легко проделано. Следует вспомнить обсуждение (61:В) в конце п. 61.5.3 и сноску 3 на стр. 564.

(63:6) (63:7)