Рассмотрим первое неравенство из (63:8). Для того чтобы в нем было равенство, необходимо, чтобы первый максимум в (63:6) достигался при t = 0. В свете обычных представлений об этом предмете это означает, что продавец и покупатель 2 в отсутствие покупателя 3 не совершают никаких ►сделок. Иначе говоря, покупатель 2, в отсутствие покупателя 3, не может заставить рынок функционировать.

Рассмотрим второе неравенство в (63:8). Здесь равенство означает, что максимум в (63:7) достигается при г = 0. В соответствии с обычными представлениями это значит, что продавец и покупатель 3 в присутствии покупателя 2 не смогут осуществить сделку. Иначе говоря, покупатель 3 в присутствии покупателя 2 не в состоянии участвовать в рынке.

Объединяя сказанное вместе с соответствующими выводами из (63:9), получающимися перестановкой покупателей 2 и 3, мы получим следующее-,

(63:А) Равенство в любом из четырех неравенств (63:8), (63:9) озна-

чает некоторую слабость одного из покупателей.

В первом неравенстве (63:8) ((63:9)) это означает, что покупатель 2 (3) в отсутствие покупателя 3 (2) не может заставить рынок функционировать. Во втором неравенстве (63:8) ((63:9)) это означает, что покупатель 3 (2) в присутствии покупателя 2 (3) не в состоянии влиять на рынок.

Действительно интересный случай возникает, очевидно, когда все эти слабости исключены. Следовательно, имеет смысл предполагать, что

{63:В:а) Мы имеем < в первом неравенстве как в (63:8), так и в (63:9). >(63:В:Ь) Мы имеем < во втором неравенстве как в (63:8), так и в (63:9).

63.2. Анализ неравенств

63.2.1. Предположим на время, что (63:В:а) выполняется, а (63:В:Ь) нет. Это означает, что один из игроков абсолютно сильнее второго. Более точно, это значит, что он по крайней мере так же силен, как другой, даже когда он пытается полностью исключить второго покупателя из рынка.

Следовательно, мы можем ожидать в этом случае результатов, которые подобны полученным в пп. 62.1.2-62.5.2, когда имелась лишь одна (неделимая) единица А. Таким образом, делимость товара на единицы .At, . . ., А8, которую мы здесь имеем, должна теперь сыграть роль.

Это действительно так. Для того чтобы это доказать, введем величины и, v, w равенствами

(63:10) v((l)) = M, v((l,2)) = i>, v((l,3))=w.

Тогда вторые неравенства в (63.8) и в (63:9) и отрицание (63:В:Ь) дают

(63:11) v((l, 2, 3))=max(i;, w),

тогда как первые неравенства в (63:8) и в (63:9) и вместе с (63:В:а) дают (63:12) u<v, w.

Теперь мы получили в точности условия из пп. 62.1.2-62.5.2. Именно, (63:12) совпадает с (62:16) из п. 62.4, а (63:4) и (63:10) дают (62:2) и (62:3) из п. 62:1.2 и, наконец, (63:11) дает (62:4) из п. 62.1.2 (когда v w) или (62:22) из п. 62.5.2 (когда v w).

Следовательно, результаты пп. 62.4 и 62.5.2 с и, и, w из (63:10) справедливы. Общее решение получается, как это описано, например, в (62:В) из п. 62.4, в соответствии с рис. 76-78.

63.2.2. С этого момента мы будем предполагать, что выполняется как (63:В:а), так и (63:В:Ь).

Введем величины и, и, w, z равенствами

(63:13) v((1)) = h, v((l,2)) = i;, v((l,3)) = m7f

(63:14) v ((1,2,3)) = *.

Тогда из (63:8) и (63:9), а также из (63:В:а) и (63:В:Ь) следует, что

(63:15)

Это представление отличается от представления игры в п. 62.1.2, но тем не менее имеет смысл сравнить их в деталях: (63:15) соответствует (62:1) и (63:4), а (63:13) и (63:14) соответствуют (62:2) - (62:4).

Удобно ввести снова предположение об убывающей полезности, уже использованное в пп. 61.5.2, 61.5.3. Нам сейчас это понадобится на более ранней стадии, чем это было там; это предположение теперь (по крайней мере частично) полезно и для математической части теории х), в то время как раньше оно было нужно только в целях интерпретации.

Мы считаем, что полезность убывает для всех трех участников 1, 2, 3:

(63:16) щ - щ>и2 - щ>... >и8 - и8-1, (63:17) Vi - v0>v2 - ut> . . . >vs - vs i,

(63:18) Wi - w0>wz - Wi > ... >w8 - w8-i.

Немедленного применения потребует только (63:16). Оно дает нам (63:19) v + w>z+u2).

Доказательство. Принимая во внимание (63:6) и (63:7), а также (63:13) и (63:14), предположение (63:19) можно записать следующим образом:

max (u8-t 4 vt) 4 max (us-r 4 mv) >

t=0,l, . .,s r=0, 1,. . .,8

> max (ut-r + vt + wJ + Ug. t, r=0, 1, ... ,6

Рассмотрим те t и г, для которых достигается максимум в правой части. Так как мы имеем (63:В:Ь), т. е. знак > во вторых неравенствах (63:8) и (63:9), мы можем заключить, пользуясь аргументацией из п. 63.1.2, что эти t, гфО. Обозначим их через t0 и г0. Следовательно, наше предположение превращается в

max (u8-t 4 vt) 4 max (us-r -J- Щ) >

t=0, 1,. . .,8 Г=0, 1,. . .,8

> s-fo-ro 4 viQ 4 Wr0 4 usi

г) Но не необходимо; отсутствие этого свойства только слегка усложнило бы рассуждения.

2) В п. 62.1.2 это выполнялось тривиально. В самом деле, из (63:13) и (63:14 мы получаем, что в этом случае

откуда немедленно следует (63:19). 37 Дж. Нейман, О. Моргенштерн

т. е. мы требуем, чтобы существовали такие t и г, чтобы было

Us-t + Vt + Us-r +Wr> Щ-to-ro + Vto + Wro + Us.

Это действительно выполняется для t = t0 и r = r0. Последнее неравенство может быть тогда переписано как

(63:20) Ws-ro - s-to-ro >us - us-to-

По смыслу должно быть ясно, что это следует из предположения убывающей полезности. Формально мы это получаем из (63:16) следующим образом: (63:20) означает, что

(63:21) 2 (s-ro-H-l - Щ-ro-i) > 2 (us-i+i - us-i);

из (63:16) следует

uS - us i > и6 - гг8 - 1 > как только s<s ; следовательно, в частности,

s-го-i-f-l Us-го-г > us-i+i s-i?

и из этого следует (63:21).

63.3. Предварительное обсуждение

63.3. Мы теперь применим к данной ситуации пп. 60.3 1 и 60.3.2. Это похоже на выводы из п. 62.3 для модели п. 62.1.2. Мы дадим более краткое изложение, и лучше всего читать его параллельно с соответствующими частями п. 62.3.

Как и при сравнении математических результатов с выводами, полученными с помощью здравого смысла, снова применяются замечания из п. 62.2. Мы уже указали там, какие усложнения появляются в данном случае. Мы рассмотрим эту модель кратко, хотя и считаем ее более важной. Общая точка зрения была уже достаточно проиллюстрирована раньше, на более простых примерах, а специальный детальный анализ интерпретации этой модели и других, даже более общих моделей, будет предпринят в последующих публикациях.

63.4. Решения

63.4.1. Дележи в данном случае суть

->

a = {ai, а2, а3},

(63:22) оцм, а20, а30,

(63:23) at + a24- a3 = z.

Снова необходимо ввести редуцированную форму. Это достигается преобразованием

(63:24) ak = ak + a°k,

которое описано в п. 62.3. Определим а\% а°2, а°3 как там указано, так что (63:24) теперь превращается в

, z-\-2u , z - и , z - u (63:25) ax = at--, a2 = a2--3-, a3 = a3--- .