Соответствующие изменения в w(S) снова даются формулами (59:1) из п. 59.2.1; они превращают (63:4), (63:13), (63:14) соответственно в

(63:26)

v(l)) = v((2))=v((3)) =

(63:27) v ((1 2)) = 3v f u , v ((1, 3)) 3

3tt-22-M ,v((2, 3))=-fc

(63:28)

v ((1,2,3)) = 0.

Отсюда следует, что y = -и мы опять не будем переходить к нормированию у = 1.

Следовательно, мы снова должны вводить коэффициент пропорциональности при применении результатов пп. 60.3.1 и 60.3.2, как это было

описано в п. 62.3. Этим коэффициентом теперь будет z~u .

Сравнение с (60:8) из п. 60.3.1 показывает, что теперь

2(z - и)

3w - 2z - и

3v-2z - и

Шесть прямых (60:15) из п. 60.3.2, характеризующих треугольник, из которого мы получаем наши решения, превращаются теперь в

(63:29)

2(z - и)

а9 =

а9 =

3w - 2z - и

z - и

3v- 2z - и

63.4.2. Применяя критерий из п. 60.3.3, мы находим, что

ai + а2 + аз = v + w - 2z 5 0.

Следовательно, мы имеем снова (60:17:Ь), т. е. случай (Ь), и остается решить, какой из его четырех подслучаев, описываемых на рис. 70 - 73. имеет место.

Делая такое же графическое представление, как и в п. 62.3, мы получим рис. 79. Качественные особенности этого рисунка становятся ясными из следующего рассуждения.

(63:С:а) Вторая с-прямая проходит через пересечение первых а2- и о-прямых. В самом деле,

2 (z - и) z-и z - и 3 3 3~~

= 0.

\с \ / V ,Ч о>\§Л / /

/A \\

W / \ \

(63:С:Ь) Вторая а2-(а3-) прямая правее (левее) первой.

(63:С:с) Действительно, ей соответствует большее значение а2 (а3), так как

3w - 2z - и

Рис. 79.

z - и 3 1 3~~

Зг;-2z - и . z - и

= Z - W>0, = z -у>0.

(63:C:d) Первая а-прямая лежит ниже, чем пересечение вторых аг-и Яд-прямых. Действительно,

z- и 3w-2z - и 3v-2z -

-Z-\- U - V - W<. 0,

no (63:19) из п. 63.2.2.

Сравнение этого рисунка с рис. 70-73 показывает, что это опять повернутая и вырожденная форма рис. 72 (см. сноску 1 на стр. 570), хотя и менее вырожденная, чем соответствующая рис. 74 из п. 62.3: область 5 снова вырождена в точку (верхнюю вершину основного треугольника), но области 1, 2, 6, 7 не вырождены (четыре области, на которые

Рис. 80. Рис. 81.

разделен фундаментальный треугольник на нашем рисунке). Это расположение основных пяти областей рис. 72 показано на рис. 80. Общее решение получается теперь, как это указано в конце п. 60.3.3, перенесением картины, изображенной на рис. 65, в ситуацию, описываемую рис. 81. На рис. 81 показан результат: V состоит из заштрихованной области и кривой (см. сноску 2 на стр. 570). Итак, резюмируем:

(63:D) При предположениях (63:В:а), (63:В:Ь) и (63:16) общее решение V дается рис. 81.

Сравнение этого рисунка с рисунками из п. 62.3, 62.4 показывает, что рис. 81 представляет собой промежуточную форму между рис. 76-78, а те в свою очередь являются вырожденной формой рис. 81.

63.5. Алгебраическая форма результата

63.5. Результат, выраженный рис 81, может быть установлен алгебраически так же, как это было сделано в случае рис 76 в п. 62.5.1. На рис. 81 решение V состоит из заштрихованной области и кривой. Первая из этих частей V описывается неравенствами

Ъю-2z - , z - и Sv-2z - и z - и

> а0 > -

- 3 =2= з 3 =-з =

Ввиду (63:25) из п. 63.4.1 это означает, что

z - w о&2 = 0, z - v>a3>0. Далее условие (63:23) из п. 63.4.1 дает ai = z - a2 - oc3,

и точными границами для at будут

v-\-w - zatz.

(Вспомним, что v-\-w - z>u по (63:19) из п. 63.2.2.) Сформулируем эти условия вместе; результат получается несколько более сложный, чем его аналог (62:18) из п. 62.5.1. Вот он:

Границы для а1? а2, а3 в первой строке (63:30) те же самые.

Вторая часть V (кривая) может быть описана дословно как в п. 62.5.1: ал изменяется от своего минимума из (63:30), т. е. от (и + w - z), до своего абсолютного минимума (и), а а2 и а3 суть монотонно убывающие функции от aj. Таким образом, мы имеем

(63:31) и -\ o&i и -\- w - z, a2, а3 - монотонно убывающие функции от а± х 2).

Итак, общее решение V есть объединение двух множеств, (63:30) и (63:31). Следует отметить, что роль функции (63:31) исследовалась в конце п. 62.5.1.

Резюмируем:

(63:Е) В предположениях (63:В:а), (63:В:Ь) и (63:16) общее решение V

дается выражениями (63:30) и (63:31).

63.6.1. Рассмотрим теперь эквивалент п. 62.6 и применим обычный, основанный на здравом смысле, анализ к рынку с одним продавцом, двумя покупателями и s неделимыми единицами конкретного товара, для того чтобы связать получаемы.е при этом результаты с математическими, сформулированными в (63:Е).

Фактически интерпретация, которая должна быть проведена сейчас, составится из объединения идей пп. 61.5.2-61.6.3 с идеями п. 62.6: первые применяются ввиду наличия делимости товара на s единиц, а последние - ввиду того, что имеется рынок трех лиц. Как было указано в п. 63.3, мы не предполагаем в данном случае вдаваться в детали.

Две части (63:30) и (63:31), из которых состоит решение, весьма напоминают части (62:18) и (62:19) (или (62:20) и (62:19), или (62:21) и (62:23)), полученные в п. 62.5. (Ср. также (63:Е) из п. 63.5 с (62.С) из п. 62.5.2.) Следовательно, представляется разумным интерпретировать результаты так же, как это было сделано в соответствующей ситуации в п. 62.6.2: условия (63:30) описывают ситуацию, в которой два покупателя вступают в конкурентную борьбу за s единиц, которыми обладает продавец, в то время как (63:31) описывает ситуацию, в которой они образуют коалицию и встречают продавца объединенными. Для читателя не составит трудностей проделать это подробно, параллельно с п. 62.6.2.

г) Они должны, конечно, удовлетворять соотношениям (63:22) и (63:23) из п. 63.4.1.

2) Как показывает рис. 81, одна из низших точек заштрихованной области совпадает с высшей точкой кривой, т. е. точки а± = v + w - z из (63:30) и (63:31) одни и те же.

Следовательно, мы можем исключить совпадающую точку а4 = v + w - z из одного (но не из обоих!) выражений (63:30) и (63:31).

(63:30)

0 a2 z - w, 0 5g а3 <g z - у,

63.6. Обсуждение