Если это принять, то ничего нового о (63:31), т. е. о ситуации, в которой покупатели объединяются и не вступают в конкуренцию, сказать нельзя. Однако соотношения (63:30), которые описывает их конкуренцию, еще заслуживают некоторого внимания.

Рассмотрим дележи, относящиеся к (63:30), и сформулируем их сущность в терминах обычных представлений о ценах. Это то же, что мы делали в соответствующих местах в пп. 61.6.1 и 61.6.2.

Введем снова те t0 и гэ, на которых достигается максимум в

(63:7) у ((1, 2, 3)) = max (usr + vt +wr).

1, r=0, 1.....я

Так как наши дележи а = а2, ос3}}, для которых ах + а2 + а3 = = v ((1, 2, 3)), фактически распределяют сумму v ((1, 2, 3)), эти t0 и г0 должны представлять числа единиц, фактически переданных продавцом соответственно покупателям 2 и 3.

Анализ из пп. 61.5.2 и 61.5.3, приводящий к (61:А), можно было бы теперь повторить с соответствующими изменениями. Он показал бы, что числа t0 и г0 можно найти в соответствии с критерием маргинальных пар Бем-Баверка, так же, как это было сделано раньше для соответствующего числа передач t0. Так как это исследование не принесет нам ничего нового, мы не будем на нем больше задерживаться.

63.6.2. Обратимся теперь к вопросу о ценах. Покупатели 2 и 3 получают, как мы уже говорили, соответственно t0 и г0 единиц. С другой стороны, дележ а приписывает им суммы а2, ос3. Эти два описания можно согласовать, если принять

(63:32) vto - t0p==a2,

(63:33) wro - r0q = а3

и интерпретировать р и q как цены, уплачиваемые за одну единицу товара соответственно покупателями 2 и 3. (63:32), и (63:33) эквивалентны (61:24) из п. 61.6.1, но следует подчеркнуть, что мы получаем две различные цены для двух покупателей!

Теперь соотношения (63:30) могут быть сформулированы в терминах р и q1) следующим образом:

(63:34) ~ (vto - z + w)p vto,

(63:35) -L {WrQ-z+v)q-±~ w4.

Эти неравенства аналогичны неравенствам (61:25) из п. 61.6.1. Мы можем трактовать их так же, как там, и сравнить их с пределами, получающимися при применении теории Бем-Баверка. Мы этого делать не будем по причинам, о которых уже говорилось в п. 63.3. Тем не менее уместно сделать несколько замечаний.

Интервалы (63:34) и (63:35) снова шире, чем в теории Бем-Баверка, так же как в п. 61.6 (ср. с (61:С) из этого пункта). Некоторые числовые примеры указывают, однако, что разница имеет тенденцию уменьшаться.

*) То есть утверждения относительно а2 и а3 с помощью (63:32), (63:33) можно переделать в утверждения о р и д.

Условие из (63:30), касающееся а4, есть лишь следствие аналогичных условий, касающихся а2 и а3, если воспользоваться at + а2 + а3 = z. Поэтому нет необходимости его рассматривать.

Поэтому возможно, хотя в этом направлении ничего еще и не доказано, что дальнейшее увеличение числа покупателей может уничтожить это различие в той части решения, которая соответствует отсутствию коалиции между покупателями. К этому предположению, однако, стоит относиться с величайшей осторожностью, так как мы хорошо знаем, как быстро усложняются решения с ростом числа участников и сколь трудными могут оказаться интерпретации различных частей получающихся решений.

Следует отметить также, что нам пришлось ввести различные цены для двух покупателей, несмотря на наше все еще остающееся в силе предположение о полной информации. Это вполне согласуется с интерпретацией п. 61.6.3. Мы видели там, что то, что мы называли ценами, суть в действительности только средние цены для некоторых различных сделок, что продавец и покупатели должны были оперировать премиями и скидками, и все это неизбежно ведет к различию между двумя покупателями.

Наконец, мы можем сформулировать эквивалент последнему замечанию из п. 61.6.3. Все аномалии в образовании структуры цен находятся в полном соответствии с тем фактом, что рассматриваемый рынок является монополистическим, а не дуополистическим.

§ 64. ОБЩИЙ РЫНОК 64.1. Постановка задачи

64.1.1. Рынки, которые мы рассматривали до сих пор, были весьма ограниченными: они состояли из двух или трех участников. Сейчас мы сделаем следующий шаг и рассмотрим более общий рынок, состоящий из I + т участников: I продавцов и т покупателей. Конечно, это еще не самый общий случай. Следовало бы еще допустить, среди прочего, возможность того, чтобы каждый участник мог решать, будет ли он покупать или продавать, или еще, что он может быть продавцом для одного класса товаров и покупателем для другого. Однако в данном исследовании мы ограничимся лишь указанным случаем.

Далее, мы предполагаем, что имеется s единиц Аи . . ., As товара только одного вида.

Удобно обозначить продавцов через 1, . . ., Z, а их множество череэ

L = (l, I);

покупателей мы обозначим через 1*, .... т*, а их множество через

М=(1*, ...,тгс*). Множеством всех участников будет

J = LUM=(1, ... I, 1*, ..чгп*)1).

Обозначим число единиц товара, которым обладает г-й продавец, через st. Тогда

(64:1) S st = s.

Обозначим полезность £( = 0, 1, ...,$*) единиц товара для продавца i через иги а полезность £( - 0, 1, единиц товара для покупателя ;*

г) Мы использовали это обозначение вместо обычного 1, . . ., Z, I + 1, ... . . ., I + т.

через v\*. Таким образом, числа

(64:2) и10 = 0 и\, ..., и\ (i = l, Z),

(64:3) i# = 0, v{*, ..., if (У = 1*,..., m*)

описывают различные полезности этих количеств для участников

Как и прежде, мы используем начальную позицию каждого покупателя в качестве нуля его полезности.

Как и в пп. 61.5.2, 61.5.3, 62.1.2 и 63.2.1, нам нет необходимости повторять рассуждения из пп. 61.2.2, 61.3.1, 61.3.2 по поводу правил игры, моделирующей эту ситуацию.

64.1.2. Легко определить для этой игры характеристическую функцию v (S).

Очевидно, S I - L\]M. Рассмотрим теперь последовательно три альтернативные возможности.

Первая: S L. В этом случае S состоит только из продавцов, которые не могут совершать между собой никаких сделок. Отсюда непосредственно следует, что v (S) попросту отражает их первоначальное положение:

(64:4) v(5) = SuJ.

Вторая: S М. В этом случае S состоит только из покупателей, и они также не способны заключать между собой сделки. Снова очевидно, что v (S) отражает их первоначальное положение:

(64:5) v(S) = 0.

Третья: S S <М, т. е. S имеет общие элементы как с L, так и с М. В этом случае S содержит и продавцов, и покупателей; следовательно, сделки между ними возможны. Отсюда получается следующая формула:

(64:6) v(5)= max ( 2 Ц + 2 4 )

*-=о, i, ...,s. (iesf]L) iesr\L * j*esr\M j* riHc=o, l,..., s u*esr)M)]

2 *i+ 2 *>= 2 s*

В этом выражении S П L есть множество всех продавцов в S, S [}М - множество всех покупателей ъ S, tt - число единиц, переданных продавцом i (из S\]L), -число единиц, переданных покупателю у* (из S0M)1). Для читателя не будет представлять трудностей проверить формулу (64:6).

64.2.1. Некоторые частные свойства. Монополия и монопсония

64.2.1. Мы далеки от возможности исчерпывающего исследования описанной игры, рынка с I продавцами и т покупателями. Мы располагаем лишь отрывочной информацией о частных случаях, а кроме того, лишь несколькими предположениями относительно более общих случаев. Задачи, возникающие в этой связи, по-видимому, представляют собой определенный математический интерес помимо их экономической важности. Однако нам представляется преждевременным обсуждать эти вопросы до более глубокого исследования.

г) Нет необходимости указывать, какой продавец и какому покупателю передает каждую отдельную единицу: окончательные полезности, которые только и входят в v (£), не зависят от этого.

Все переговоры между индивидуумами, коалиции, компенсации и т. п. должны быть автоматически учтены в приложениях нашей теории.