Вместо этого мы сделаем несколько непосредственных выводов из двух наиболее простых из наших равенств (64:4), (64:5). Они состоят в следующем:

(64:А) Все множества S L и S <=: М являются линейными. Доказательство. Это означает, что

v (S) = S v ((к))

для S L и для S М, что немедленно следует из (64:4) и (64:5).

(64:В) Игра имеет постоянную сумму тогда и только тогда, когда

она несущественна.

Доказательство. Достаточность. Из несущественности, очевидно, вытекает постоянство суммы.

Необходимость. Предположим, что игра имеет постоянную сумму. Так как L и М - дополнительные множества, должно быть

(64:7) v(I) = v(L)+v(M).

Теперь по (64:А) (полагая последовательно S = L, М) мы имеем:

(64:8) v (L) = 2 v ((к)), v (М) = 2 v ((ft)).

Объединяя (64:7) и (64:8), мы получим

(64:9) v(/) = Sv((ft)).

Теперь модификация (27:В) из п. 27.4, которая применима, согласно п. 59.3.1, в нашем случае, дает в качестве критерия несущественности как раз (64:9).

Легко убедиться, что критерий несущественности (64:9) превращается, если это точно формулировать, используя (64:4) - (64:6), в следующий: максимум в (64:6) равен 2 ui Но это есть значение максимизируемого

ieL Si

в (64:6) выражения при tt = Sf, = 0. Таким образом, наше утверждение эквивалентно тому, что максимум в (64:6) достигается при tt = st, r7-* = 0, т. е. когда никаких сделок не происходит.

Следовательно, (64:В) можно сформулировать также следующим образом*

(64:В*) Тот факт, что индивидуальные полезности продавцов и покупателей таковы, что никаких сделок не происходит вовсе, т. е. что максимум в (64:6) достигается при tt == st, Tj* = 0, равносилен следующему: игра имеет постоянную сумму или, что (в данном случае!) то же самое, игра является несущественной.

Суть этого результата состоит в том, что наша игра, представляющая рынок, может иметь постоянную сумму только тогда, когда цены на -рынке абсолютно неэффективны. Следовательно, эта задача совершенно естественным образом должна принадлежать к играм с непостоянной суммой.

64.2.2. Продолжим теперь рассуждения в несколько ином направлении.

<64:С)

Рассмотрим два дележа: а = {{ 1.

, аг, ai*,

, ocm*}},

, Рь Pi*,

. . , Pm*}}.

Предположим, что

as-P,

где S есть множество из п. 30.1.1, по которому происходит доминирование. Тогда ни S f L, ни S П М не могут быть пустыми Доказательство. В противном случае было бы S =\ М или S iV. Но тогда S было бы линейным по (64:А) и, следовательно, заведомо не необходимым (ср. п. 59.3.2).

Мы заключаем из (64:С), что в этом случае

(64:10) at > Рг хотя бы для одного i £ L,

(64:11) aj* > Pj-* хотя бы для одного у* g М.

Формулы (64:10) и (64:11) представляют интерес, когда либо L, либо М есть одноэлементное множество, т. е. если 1 = 1 или т = 1. Это означает, что имеется только один продавец или только один покупатель, т. е. что мы имеем монополию или монопсонию.

В этом случае либо i в (64:10), либо в (64:11) определяются единственным образом: i = 1 или у* =1. Таким образом, мы имеем: -> -*

(64:D) из aE-P следует

(64:12) сб4>рл, если 1 = 1,

(64:13) ai*>Pi*, еслит=1.

Примечательно то, что как (64:12), так и (64:13) являются транзитивными отношениями, тогда как доминирование a е- р нетранзитивно.

В этом, конечно, нет никакого противоречия, так как (64:12) или (64:13) -

-> ->

всего лишь необходимые условия для а е- р. Но тем не менее это - первый случай, когда понятие доминирования в реальной игре оказывается столь тесно связанным с некоторым транзитивным отношением.

Эта связь представляется весьма существенной чертой монополистиче-, ской (или монопсонистической) ситуации 2). Она будет играть существенную роль в п. 65.9.1.

х) То есть S должно содержать как продавцов, так и покупателей.

2) Словесная интерпретация утверждений (64:12) и (64:13) проста и естественна: никакое эффективное доминирование невозможно без участия монополиста (или моно-псониста).

Глава XII

ОБОБЩЕНИЯ ПОНЯТИЙ ДОМИНИРОВАНИЯ И РЕШЕНИЯ

§ 65. ОБОБЩЕНИЕ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 65.1. Постановка задачи

65.1.1. Наши математические исследования игры п лиц, начавшиеся с определений из п. 30.1.1, использовали понятия дележа, доминирования и решения, которые там были однозначно определены. Однако в последующем развитии теории несколько раз встречались примеры, в которых эти понятия подвергались изменениям. Эти примеры были трех видов.

Первый. Оказывалось, что в ходе наших математических рассуждений, опирающихся только на первоначальные определения, обнаруживалась важность понятий, которые, очевидно, были аналогичны первоначальным (т. е. понятиям дележей, доминирования, решения), однако полностью с ними не совпадали. В этом случае было удобно называть эти понятия теми же именами, не забывая, однако, об их отличии. Примеры этому можно найти в исследовании существенной игры трех лиц с эксцессом в пп. 47.3-47.7, где исследование фундаментального треугольника сводилось к исследованию различных более мелких треугольников внутри него. Другой пример содержится в исследовании одного частного случая простой игры п лиц в пп. 55.2-55.11, где исследование первоначальной области сводилось к исследованию областиV в Л (см. анализ в пп. 55.8.2 и 55.8.3).

Второй. При изучении разложимости в главе IX мы в пп. 44.4.2- 44.7.4 в явном виде переопределили (обобщили) понятия дележа, доминирования и решения. Это соответствовало распространению теории со случая игр с нулевой !*суммой на случай игр с постоянной суммой. В последующем изложении мы подчеркивали, что мы изучаем новую теорию, которая аналогична первоначальной из п. 30.1.1, но не совпадает с ней.

Фактически эти два вида вариации наших понятий отличаются друг от друга существенно: второй может рассматриваться как частный случай первого. В самом деле, новая теория была введена для того, чтобы более эффективно справиться с проблемой разложения в первоначальной теории. Об этих мотивах говорилось в эвристических рассмотрениях, которые привели к этому обобщению. При анализе погружения в:п. 46.10, в частности в (46:К) и (46:L), мы строго установили, что новая теория может быть подчинена первоначальной именно в этом смысле.

Третий. Понятия дележа, доминирования и решения были снова переопределены (обобщены) в главе XI, а именно в пп. 56.8, 56.11 и 56.12. Это соответствовало окончательному распространению теории на случай общих игр. Мы снова подчеркивали, что переходим к изучению новой теории, аналогичной предыдущим, но не совпадающей с ними.

Это распространение, однако, существенно отличалось от двух предыдущих: оно представляло действительно концептуальное обобщение теории, а не просто технически удобный прием.

65.1.2. Очевидно, что хотя в процессе описанных выше изменений понятия дележей, доминирования и решения и претерпевали изменения {в частности, в направлении обобщений), некоторая свяш между ними оста-