Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 [ 188 ] 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

валась инвариантной. Для того чтобы выработать общий взгляд на эти вариации (и другие аналогичные им, которые могут появиться в дальнейшем), необходимо найти точную формулировку для этой инвариантной связи. Когда это будет сделано, мы достигнем полной общности во всех отношениях и сможем на этой основе переформулировать всю теорию.

Если вспомнить примеры, перечисленные в п. 65.1.1, то окажется, что эта инвариантная связь есть процесс, с помощью которого понятие решения получается из понятий дележей и доминирования. Это - условия (30:5:с) (или эквивалентные им (30:5:а) и (30:3:Ь)) из п. 30.1.1. Следовательно, мы достигнем наибольшей общности, если освободим понятия дележей и доминирования от каких-либо ограничений, но определим решения указанным способом.

В соответствии с этой программой мы будем поступать следующим образом.

Вместо дележей мы рассмотрим элементы из некоторой произвольной но фиксированной области (множества) D. Вместо доминирования мы рассмотрим некоторое произвольное, но фиксированное отношение & между элементами х и у из D х).

Теперь решением (в D для of) будет множество V D, которое удовлетворяет условию:

(65:1) Элементы V суть в точности те элементы у £ D, для которых

хоРу не верно ни для одного элемента х £ V 2).

65.2. Общие замечания

65.2. Эти определения представляют собой основу для более общей в указанном смысле теории.

Следует заметить, что имеющееся теперь понятие решения порождает то же самое отношение к понятию насыщения, исследованному в п. 30.3 и, в частности, в п. 30.3.5, что и первоначальное понятие решения из п. 30.1.1. В частности, наше определение (65:1) можно сравнить с четвертым примером из п. 30.3.3, причем рассматриваемое теперь $ соответствует отрицанию М из этого примера. Особенно существенно то, что при нахождении решения снова возникают все трудности, связанные с отсутствием симметричности рассматриваемого отношения. Поэтому все замечания, сделанные по этому поводу в пп. 30.3.6 и 30.3.7, остаются в силе и здесь.

Мы увидим далее, как эти трудности могут быть разрешены, по крайней мере в некоторых конкретных случаях 3).

Для того чтобы достигнуть лучшего понимания ситуации в целом, мы должны рассмотреть некоторые конкретизации отношения xofy. Действительно, в данном случае of совершенно произвольно, и поэтому мы не можем надеяться получить сколько-нибудь глубокие результаты, если <$Р остается во всей его общности. С другой стороны, первоначальное понятие решения, определенное в п. 30.1.1, остается важнейшим примером сУ, и представляется очень трудным обнаружить какие-либо простые отличительные свойства этого конкретного отношения. Поэтому нет никакого очевидного способа вводить конкретизации, хотя это и было бы желательно.

г) xtfy выражает то, что отношение имеет место между конкретными элементами хну. Читателю рекомендуется вспомнить начало п. 30.3.2.

2) Это эквивалентно (30:5:с) из п. 30.1.1, как и было обещано.

3) См. результаты из пп. 65.4, 65.5 и более глубокие результаты из пп. 65.6-65.7.



Тем не менее мы обсудим три часто встречающиеся схемы конкретизации отношения xtfу, а потом найдем и четвертую, которая, хотя и с некоторыми ограничениями, приложима к интересующим нас проблемам. Для того чтобы выполнить это, нам потребуются некоторые математические приготовления, к которым мы и перейдем.

65.3. Упорядочения, транзитивность, ацикличность

65.3.1. Рассмотрим сначала такое отношение xtfy (с областью D), которому присущи все существенные черты понятий больше и меньше . Этот круг идей детально и тщательно изучался в математической литературе, и в настоящее время имеется достаточно полное согласие о том, что список этих свойств должен выглядеть следующим образом:

{65:А:а) Для любых двух х, у из D имеет место одно и только одно из следующих отношений:

х = у, xtfy, ytfx.

<65:A:b) Из xtfy и ytfz следует xtfz 1).

Мы назовем отношение tf с этими свойствами (линейным) упорядочением на D. Легко привести примеры линейного упорядочения и согласовать их с обычной интуицией: обычное понятие больше для множества всех вещественных чисел или для некоторой его части 2), понятие меньше при тех же условиях. Даже точки на плоскости обладают линейной упорядоченностью, например, в следующем смысле: xtfу означает, что х должна иметь большую ординату, чем у, или такую же, но в последнем случае х должна иметь большую абсциссу, чем у3).

65.3.2. Понятие линейной упорядоченности может быть значительно ослаблено, и при этом мы еще будем иметь содержательное понятие. Этому также уделено внимание в математической литературе 4), и такие понятия играют важную роль в теории полезности. Они получаются, если ослабить условие (65:А:а), но оставить без изменения (65:А:Ь).

Таким образом, мы приходим к следующему определению:

{65:В:а) Для произвольных х и у из D может выполняться не более чем одно из трех соотношений:

х = у, xtfy, ytfx. (65:B:b) Из xtfy и ytfz следует xtfz.

Мы назовем отношение tf с такими свойствами частичным упорядочением на D 5). Два элемента х и у из D, для которых ни одно из трех

2) Если читатель рассмотрит в качестве xtfy первоначальное отношение больше , х ;> у, то он убедится, что (65:А:а) и (65:А:Ь) являются действительно основными свойствами этого отношения.

2) Например, для целых чисел или какого-нибудь интервала и т. д.

3) Без этой последней оговорки такое отношение будет исследоваться в следующих параграфах.

4) См. книгу Г. Б и р к г о ф, Теория структур (на которую мы уже ссылались), гл. 1. В этой книге в духе современной математики изучаются упорядочения, частичные упорядочения и аналогичные понятия. Там же приведены и обширные литературные ссылки.

5) Заметим, что слово частично употребляется здесь в нейтральном смысле, т. е. линейная упорядоченность является частным случаем частичной упорядоченности, так как из (65:А:а) следует (65:В:а).



соотношений (65:В:а) не выполняется (так как упорядочение частичное, это возможно), называются несравнимыми (в смысле отношения cf).

Легко привести примеры частичного упорядочения: точки на плоскости, если xofy означает, что ордината х больше, чем у (см. сноску 3 на стр. 589). Мы можем определить хоРу как отношение, состоящее в том, что обе координаты х больше соответствующих координат у г). Другой хороший пример получается в области положительных целых чисел, если в качестве хоРу рассматривать отношение делимости х на у, исключая равенство.

65.3.3. Для обоих введенных понятий упорядочения сохраняется (65:А:Ь), в то время как (65:А:а) превращается (ослабляясь) в (65:В:а). Это подчеркивает важность (65:А:Ь), называемого свойством транзитивности 2). Предпримем теперь дальнейшее ослабление комбинации (65:В:а) и (65:А:Ь) так, чтобы (65:А:Ь) было тоже существенно изменено.

Заметим сначала, что (65:В:а) эквивалентно следующим двум условиям:

(65:С:а) Никогда хоРх.

(65:С:Ь) Никогда одновременно хоРу и уоРх.

В самом деле, (65:В:а) исключает три комбинации х = у, хоРу\ х = уг у£Рх\ хоРу, уоРх. Первая и вторая из них - это всего лишь два способа написания (65:С:а), а третья - это в точности (65:С:Ь).

Докажем теперь следующее.

(65:D) Рассмотрим утверждение:

(Ат) Неверно хх0, х2хи . . ., xm<SPxm-u где х0 = хт и х0г хх, . . ., m ! принадлежат D. Тогда мы имеем:

(65:D:a) (65:В:а) эквивалентно (At) и (А2).

(65:D:b) Из (65:В:а) и (65:А:Ь) следуют все (Ах), (А2), (А3), . . .

Доказательство. (65:D:a). Ясно, что (At) есть (65:С:а) а А2 есть (65:С:Ь).

Запись отношения (Ат) в обратном порядке и применение (65:А:Ь) т - 1 раз дает хтоРх0. Так как хт = х0, это означает х0х0, что противоречит (65:В:а).

Эти результаты наводят на мысль рассматривать совокупность всех условий (At), (А2), (Аз), . . . Они следуют из (65:В:а) и (65:А:Ь), т. е. из частичного упорядочения, и представляют, как окажется, дальнейшее ослабление этого свойства.

Введем в соответствии с этим следующее определение:

(65:D:c) Отношение оР ациклично, если оно удовлетворяет всем условиям (А±), (А2), (А3), . . .

Читатель поймет, почему мы называем это свойство отношения ацикличностью: если какое-либо (Ат) неверно, то имеется цепочка отношений хХоРхо, x2oPxt, ..., хтъРхтЛ, которая является циклом, так как ее последний элемент хт совпадает с первым д;0.

г) Заметим, что это близко к правдоподобному типу частичной упорядоченности* полезностей в смысле последнего замечания из п. 3.7.2. Каждое мыслимое событие-может зависеть от двух числовых характеристик, которые обе надо увеличить для того, чтобы породить ясное и воспроизводимое предпочтение.

2) Некоторые другие важные отношения, совсем иной природы, чем упорядочение, также обладают этим свойством: например, равенство х = у.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 [ 188 ] 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227