§ 7. ПОЛНОЕ ОПИСАНИЕ ПОНЯТИЯ ИГРЫ

7.1. Переменность характеристик каждого хода

7.1.1. В п. 6.2.1 мы ввели ах альтернатив (1), . . ., Jk (ах) хода оМк, а также индекс характеризующий ход как личный или как случайный и в первом случае определяющий того игрока, чья очередь ходить, а во втором - задающий вероятности рх (1), . . ., рп (ах) указанных выше альтернатив. В п. 6.3.1 мы описали понятие предварения с помощью множеств Ах, представляющих собой множество всех тех X (из значений X = 1, . . ., х - 1), которые предваряют х. Мы не указали, однако, зависят ли все эти объекты - ах, Лх и Jb (о), рп (а) для а= 1, . . ., ах- только от х или также и от других вещей. Разумеется, этими другими вещами могут быть только исходы выборов, соответствующих ходам, которые предшествуют оМ. Иначе говоря, речь идет о числах аи . . ., ах ! (см. п. 6.2.2).

Эта зависимость требует более подробного рассмотрения.

Во-первых, зависимость самих альтернатив (о) (в отличие от их числа aj от а1? . . ., ах 4 несущественна. Мы можем с полным основанием предположить, что выбор, соответствующий ходу с#х, производится не среди самих альтернатив (а), а среди их номеров а. В конце концов в выражениях, описывающих исход игры, т. е. в функциях ЗРъ (оь . . ., ах), к = 1, . . ., п1), появляется только а, соответствующее ходу qSk , т. е. ах (см. п. 6.2.2).

Во-вторых, все зависимости от аь . . ., ox i, которые имеют место, когда о/ЯК оказывается случайным ходом, т. е. когда &х = 0 (см. конец п. 6.2.1), не вызывают никаких усложнений. Они не препятствуют нашему анализу поведения игроков. Это относится, в частности, ко всем вероятностям рК (о), так как они возникают только в связи со случайными ходами. С другой стороны, множества Лх при случайных ходах никогда не появляются.

В-третьих, мы должны рассмотреть зависимости ах, fcx, Лх от аи . . . . . ., o-i, когда оказывается личным ходом2). Теперь эта возможность действительно является источником затруднений. К тому же возможность эта весьма реальна 3). Причина состоит в следующем.

7.1.2. Игрок кК на ходе ©#х должен быть информирован о значениях ах, &х, Лх, поскольку они составляют теперь часть правил игры, которых

г) Форма и характер альтернатив <?£х (о), имеющихся на ходе оМ, могли бы, разумеется, доставить игроку &х (если оМ является личным ходом) некоторую информацию о предшествующих значениях ои . . ., ах !, если бы Л (о) от них зависели. Однако любую такую информацию можно было бы определить независимым образом как информацию, имеющуюся у игрока &х при ходе оМ. Мы рассматривали простейшие схемы, относящиеся к понятию информации, в п. 6.3.1 и дополним этот анализ в п. 7.1.2. Следующее далее рассмотрение ах, &х, Лх также характерно в том, что касается роли альтернатив Лх (а) в качестве возможных источников информации.

2) Произойдет ли это для данного х, будет зависеть само от &х и, следовательно, косвенным образом от а4, . . ., ах 1? так как оно характеризуется соотношением к% ф 0 (см. конец п. 6.2.1).

3) Например, в шахматах число возможных альтернатив ах на ходе зависит от положения фигур, т. е. от прошлого развития партии. В бридже игроком, кладущим первую карту при разыгрывании следующей взятки, т. е. игроком кК на ходе <Мк, является тот, кто взял последнюю взятку, что зависит опять-таки от предыдущего хода партии. В некоторых вариантах покера и родственных ему игр количество информации, доступное игроку в данный момент, т. е. множество Лх на ходе е#х зависит от того, что он и другие игроки делали до этого.

он должен придерживаться. В той части, в какой они зависят от (ть . . . °х -ь он может вывести из них определенные заключения относительно значений аь . . ., ак 4. Но мы предположили, что он абсолютно ничего не знает о значениях о% для X, не принадлежащих Лх! Вовсе не ясно, каким образом можно здесь избежать противоречий.

Выскажемся более точно. Противоречие не будет иметь места в следующем случае. Пусть Лх не зависит ни от одного из аь . . ., ct-i* a осх и кк зависят только от о% для X, принадлежащих Лх. Тогда игрок к не может извлечь никакой информации из ак, йииЛх, помимо той, которой он уже располагает (т. е. о значениях с для X из Лх). Если это имеет место, то мы будем говорить, что перед нами частная форма зависимости.

Но всегда ли мы имеем частную форму зависимости? Возьмем крайний случай: что будет, если Лх всегда пусто - т. е. если игрок кК предполагается совершенно неинформированным на ходе оМ - и все же, скажем, осх явным образом зависит от некоторых из ои . . ., or* 4?

Это, очевидно, недопустимо. Мы должны потребовать, чтобы все количественные выводы, которые можно сделать, зная осх, к и Лх, были бы явным образом и с самого начала определены как информация, имеющаяся у игрока кх при ходе оМ. Было бы, однако, ошибочным пытаться достичь этого путем включения в Ах индексов X всех тех ая, от которых ах, кн и Лх явным образом зависят. Что касается Лх, то следует, прежде всего, проявить большую аккуратность, чтобы избежать кругового характера в этом требовании *). Но даже если эта трудность и не возникает в силу того, что Лх зависит только от х и не зависит от ои . . ., ax t1 т. е. в случае, когда информация, имеющаяся у любого игрока в любой момент игры, не зависит от предыдущего течения партии, указанный выше подход может все-таки быть недопустимым. Предположим, например, что осх зависит от определенной комбинации некоторых сгя из значений X = 1, . . ., х - 1и что правила игры предусматривают, что игрок кх на ходе оМх знает значение этой комбинации, но не разрешают ему знать большего (т. е. значения индивидуальных а4, . . ., crx-i). Он может, например, знать значение сг + огь где \i и X предшествуют х (fx, X < х), но ему не разрешается знать значения и о% по отдельности.

Можно было бы испытать различные приемы сведения описанной ситуации к нашей прежней, более простой схеме, которая описывает состояние информации игрока кн посредством множества Л 2). Однако становится совершенно невозможным распутать различные компоненты информации игрока к на ходех, если сами они происходят от личных ходов разных игроков или одного и того же игрока, но на различных этапах его информированности. В приведенном выше примере это произойдет, если кц Ф кх или если к = к%, но состояние информации этого игрока на ходах оМ и оМ% является различным3).

г) Те о, от которых, кроме всего прочего, зависит Лх, можно определить лишь путем рассмотрения совокупности всех Лх для всех последовательностей о±, . . . °V-i- Должно ли каждое Лх содержать эти X?

2) В приведенном примере можно было бы попытаться заменить ход оМ новым ходом, в котором выбирается не а, a 0* + 0. Ход оМ% остался бы неизменным. Тогда игрок кх на ходе оМ был бы информирован об исходе выбора, связанного только с новым ходом оМ.

3) В примере, приведенном в предыдущей сноске, это означает следующее. Если k]i Ф к%, то не существует игрока, которому может быть приписан новый ход <М (на котором выбрано ай + о~А, и который должен быть личным). Если А: = к, но состояние информации меняется от оМ к оМ%, то новому ходу оМ нельзя удовлетворительным образом приписать никакого состояния информации.

7.2. Общее описание

7.2.1. В нашем распоряжении все же имеются различные более или менее искусственные приемы, при помощи которых мы могли бы пытаться обойти эти трудности. Однако представляется, что наиболее естественный подход состоит в их принятии и в соответствующем видоизменении наших определений.

Мы сделаем это, пожертвовав множеством Лх, как средством описания состояния информации. Вместо этого мы опишем состояние информации игрока кк при его личном ходе оМ явным образом, а именно путем перечисления тех функций переменных аь предшествующих по отношению к этому ходу, т. е. переменных ои . . ., ох 4, численные значения которых предполагаются в данный момент известными этому игроку. Эта система функций будет обозначаться нами через Фя.

Таким образом, Фя представляет собой множество функций

h(oi, ..ax i).

Так как элементы Фя описывают зависимость от al5 . . ., стх 4, само Фх является фиксированным, т. е. зависящим только от % ах и /сх могут зависеть от аь . . ., ох ь и, поскольку их значения известны игроку кК при ходе оМк, эти функции

осх - а% (а4, ..., cr-i), кн = кК (а1? ..., аи 4)

должны принадлежать Фх. Разумеется, когда оказывается, что кК = О (для конкретного набора значений аь . . ., этот ход оМК является

случайным (см. выше) и ФК вообще не будет использоваться. Однако это уже несущественно.

Наш предыдущий способ описания с помощью множеств Лх является, очевидно, частным случаем изложенного 2).

7.2.2. Читатель может сейчас ощутить некоторую неудовлетворенность тем направлением, которое приняли наши рассуждения. Действительно, этот анализ получил такую направленность из-за тех усложнений, которые возникают в конкретных и типичных играх (см. сноску 3 на стр. 81). Однако необходимость замены Лх на Фх возникла благодаря нашему стремлению сохранить абсолютно формальную (математическую) общность. По существу, мы экстраполировали те решающие трудности (рассмотренные в п. 7.1.2 и, в частности, проиллюстрированные в приведенных там сносках), которые заставили нас предпринять этот шаг. Иначе говоря, они не были характерны для первоначальных примеров, представлявших собой действительные игры. Скажем, шахматы и бридж могут быть описаны с помощью множеств Лх.

Игры, требующие рассмотрения с помощью Фх, действительно существуют. Однако в большинстве этих игр мы могли бы верцуться к множествам Лх посредством различных посторонних приемов. Весь этот вопрос требует довольно тонкого анализа, вдаваться в который здесь не

г) Это построение допускает тем не менее возможность того, что выражаемое ФК состояние информации зависит от а4, . . ., o-i- Это будет, например, тогда когда все функции h (а1? . . ., оК ±) из Фх явным образом зависят от для одного множества значений о, будучи независимыми от для других значений о. Само Фх является все же фиксированным.

2) Если окажется, что Фх состоит из всех функций от некоторых переменных Ох - скажем, от тех, для которых X принадлежит некоторому множеству - и только от них, то описание с помощью ФК сводится к описанию с помощью Лх: именно, в качестве АК нужно взять указанное множество Но мы уже видели, что в общем случае рассчитывать на существование подобного множества не приходится.