Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 [ 192 ] 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

Следует отметить, что это направление исследования уводит нас от теории игр. Действительно, в этой теории первостепенную важность имело существование решения, а о единственности, как мы убедились, не возникало вопроса.

Тем не менее, так как мы теперь располагаем некоторыми результатами о существовании с единственностью, мы продолжим изучение этого случая. Мы увидим далее, что полученные результаты уже имеют некоторое косвенное значение для теории игр (см. § 67).

В этом направлении дам следует задать вопрос: какие свойства отношения с? необходимы и достаточны для того, чтобы существовало единственное решение? Легко увидеть, однако, что едва ли этот вопрос имеет простой и удовлетворительный ответ. Действительно, в решении (в D для &) содержится очень мало информации о структуре D (вместе с tf). Ациклический случай менее удобен для того, чтобы судить об этом, так как он несколько сложен, но случай линейного или частичного упорядочения хорошо поясняет это. В этих случаях решение связано только с максимумами D и совсем не выражает свойств других элементов D.

Это возражение устранить нетрудно. Рассмотрим множество Е gJ) вместо D. Отношение & в D является также отношением в Е и, если это линейное или частичное упорядочение или (простая или строгая) ацикличность в D, то это же будет и в Е *). Поэтому из нашего результата (65:Х) следует, что в каждом Е D существует единственное решение (для с). Теперь эти решения, построенные для всех Е g= D, говорят уже много больше о структуре D. Удобно ограничиться снова случаями линейного или частичного упорядочения. Ясно, что знание максимума для любого Е =\ D дает достаточно полную информацию о структуре D (вместе с оР).

65.8.2. Итак, мы подошли к следующему вопросу: какие свойства отношения of необходимы и достаточны для того, чтобы для каждого Е s D существовало единственное решение (в Е для #*)? Мы можем показать, что ацикличность и строгая ацикличность являются существенными понятиями, хотя и не приведут к исчерпывающему решению вопроса. Две следующие леммы содержат все, что мы можем утверждать по этому поводу.

(65:Y) Для того чтобы существовало единственное решение для

любого Е <=: D (в Е для <$Р), достаточно строгой ацикличности.

Для конечного D это следует из (65:Х), и ввиду (65:0:с) строгая ацикличность может быть заменена ацикличностью.

Для бесконечного D это зависит от возможности распространения (65:Х) на бесконечный случай (см. начало п. 65.7.1).

Доказательство. Если отношение в D (просто или строго) ациклично, то это же верно и для Е (см. выше). Теперь все утверждения леммы становятся очевидными.

(65:Z) Для того чтобы для каждого Е D существовало единствен-

ное решение (в Е для tf), ацикличность необходима.

Доказательство. Если отношение D неациклично, то из (65:0:а) следует (Вт) из (65:N) для т = 1, 2, ... Возьмем соответствующие Xq, Xi, . . ., Xm-i И хт = Xq И ПОЛОЖИМ Е = (х0, х1ч х2, ., #m-i).

г) То есть по крайней мере то же самое; может оказаться, что частичное упорядочение на D превращается в линейное на Е или ацикличность в D - в упорядочение на Е.



Тогда Е D и (Вт) описывает tf в Е полностью. Рассмотрим решение V в Е (для tf).

Рассмотрим такое решение V: если xt £ V, то xi+i не принадлежит V, так как xi+itfxi. Если xt не принадлежит V, то существует такой элемент у в V, что ytfxu т. е. у = жг nxjtfxf. Это означает, что/ = i + 1 -1), т. е. у = #г+1 и, следовательно, £ V. Итак, мы видим:

(65:6) xt принадлежит V тогда и только тогда, когда xi+l не при-

надлежит V. Повторное применение (65:6) дает следующее:

(65:7) Если число к четное, то х0 принадлежит V тогда и только

тогда, когда хк принадлежит V. Если к нечетное, то х0 принадлежит V тогда и только тогда, когда xh не принадлежит V.

Так как х0 = хт, (65:7) при нечетном т содержит противоречие. Следовательно, если т нечетное, то решения в Е (для tf) не существует. Если т четно, то из (65:7) следует, что V есть либо множество всех хк с четными к, либо множество всех xk с нечетными к. Легко проверить, что оба эти множества действительно являются решениями в Е (для tf).

Итак, мы имеем:

(65:8) Число решений в Е = (х0, ж1? . . ., #m-i) Для tf (с х0, хи . . .

. . ., жт ! из (Вт)) есть либо 2, либо 0, в зависимости от того, будет т четным или нечетным.

Следовательно, для такого Е ( <= D) единственного решения нет ни в одном из случаев.

Объединяя (65:Y) и (65:Z), мы видим, что существование единственного решения (в Е для tf) для всех Е <=: D в случае конечных множеств полностью описывается: для этих D оно эквивалентно ацикличности или строгой ацикличности, что в данном случае одно и то же. Для бесконечных D мы можем сказать только, что ацикличность есть необходимое условие, а строгая ацикличность - достаточное.

65.8.3. Пробел, который здесь образовался, может быть заполнен за счет изучения ациклических, но не строго ациклических (бесконечных) множеств D и их подмножеств Е. Сравнивая (65:0:а) и (65:0:Ь), мы видим, что такие D удовлетворяют условию (В%>). Образуем соответствующее множество х0, хи х2. ... и положим D* = (х0, х х2, . . .) Оно также ациклично, но не строго ациклично; поэтому мы можем изучать его вместо D.

Таким образом, наш вопрос превратился в следующий:

(65:9) Предположим, что D* = (х0, х х2, . . .) удовлетворяет

условию (В%о). Будет ли тогда любое Е <=: D* иметь единственное решение (в Е для tf)l

Ответ на (65:9) не может быть дан немедленно, так как условие (Во) описывает отношение xtfy в J5* (т. е. xptfxq) лишь не полностью. На соответствующий вопрос для (Вт) (т = 1, 2, . . .) в доказательстве (65:Z) был получен отрицательный ответ, но (Вт) описывает отношение xtfy на этом множестве (т. е. xptfxq) полностью. Итак, ответ на (65:9) требует полного исследования всех возможных форм отношения xptfxq, которое удовлетворяет (Бу. Эта задача оказывается достаточно трудной2).

х) Если i = т, заменим его на i - 0.

2) Она лежит на границе комбинаторики и теории множеств и представляется заслуживающей внимания.



65.9. Применение к играм* Дискретность и непрерывность

65.9.1. Полученные выше результаты, касающиеся ацикличности и строгой ацикличности, как уже было сказано, не имеют прямого отношения к теории игр.

Что касается строгой ацикличности, то достаточно обратить внимание на ее эквивалентность условию (65:К) (согласно (65:Р)) и вспомнить, что в теории игр даже само D (множество всех дележей) не имеет максимумов (т. е. недоминируемых элементов) *).

Простая ацикличность тоже исключается, например, уже для существенных игр трех лиц 2).

Тем не менее существуют ситуации, возникающие при математическом исследовании некоторых игр, когда можно воспользоваться понятием ацикличности. Эти ситуации можно рассматривать в духе первого примера из п. 65.1.1, и, в частности, они обнаруживаются среди примеров, о которых там говорилось.

Так в треугольниках Г, исследованных в п. 47.5.1, мы имеем ациклическое доминирование, как показывает изучение рис. 55 и 56 3). Далее, в множестве А, описанном в п. 55.8.2, имеется ациклическое доминирование, как это видно из критерия (55:Z) 4).

Наконец, в модели рынка, рассмотренной в § 64, доминирование является ациклическим для случаев монополии и монопсонии, как показывает обсуждение в конце п. 64.2.2 и, в частности, утверждения (64:12), (64:13) 5). Мы можем усилить впечатление от сделанного там заключительного замечания тем наблюдением, что можно предположить наличие внутренней связи между монополистическими ситуациями в экономике и математическим понятием ацикличности доминирования.

Весьма примечательно поэтому, что во всех этих случаях были обнаружены особенно многочисленные семейства решений. Действительно, в эти решения входят не. только числовые параметры, но даже достаточно произвольные кривые или функции. По этому поводу см. п. 47.5.5 и рис. 60 для первого примера и пятое замечание в п. 55.12 - для второго. В третьем примере мы можем только сослаться на математическое исследование частного случая: рынок трех лиц - монополия против дуополии, который мы анализировали в пп. 62.3, 62.4 и 63.4.

65.9.2. Упомянутая выше многочисленность решений в ациклических ситуациях представляется естественной, если принять во внимание бесконечность соответствующих D (множества всех рассматриваемых дележей). Наконец, из ацикличности следует единственность решения только для конечных множеств D; для бесконечных множеств решающим становится понятие строгой ацикличности (см. последнюю часть п. 65.8, в частности п. 65.8.2). Во всех этих случаях, как легко убедиться, нет строгой ацикличности.

х) Это выполняется для всех существенных игр. См. (31 :М) из п. 31.2.3.

2) Читателю предлагается проверить это, например, на диаграмме рис. 33. Легко убедиться, что (Вт) выполняется (а (Ат) - нет) для всех т 3.

3) Здесь из доминирования следует обладание большей ординатой.

4) Здесь из доминирования следует обладание большей п-я компонентой, из чего очевидным образом следует ацикличность.

5) Здесь из доминирования следует обладание большей 1-й (или 1*-й) компонентой, откуда ацикличность, очевидно, следует.

Если нет ни монополии, ни монопсонии, т. е. если в обозначениях этой книги Z, пг > 1, то вместо (64:12) и (64:13) применяются (64:10) и (64:11). Легко проверить, что в этом случае ацикличности нет.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 [ 192 ] 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227