Ситуация тем не менее является парадоксальной по следующей причине: модификация понятия полезности, которая будет рассматриваться в п. 67.1.2, может быть применена так, чтобы сделать рассматриваемое множество конечным. Тогда упомянутые ациклические игры должны иметь единственные решения. Далее, эти конечные модификации могут быть сделаны сколь угодно близкими к первоначальным играм. Следовательно, первоначальные ациклические игры со многими решениями (бесконечное DI) можно сколько угодно близко аппроксимировать модифицированными ациклическими играми с единственными решениями (конечное D\). Как могут при этом единственные решения быть сколь угодно близкими к неединственным?

Эта парадоксальная ситуация будет подробно описана в § 67. Анализ, который мы предполагаем там провести, прояснит это отсутствие непрерывности и даст возможность сделать несколько интересных интерпретаций.

§ 66. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПОЛЕЗНОСТИ 66.1. Обобщение. Два этапа теоретического исследования

66.1.1. В предыдущих пунктах мы наиболее широко обобщили понятие решения, основанное на отношении of, которое играло роль доминирования. Эти обобщения будут использованы в нашей теории следующим образом: наши понятия дележа, доминирования и решений опираются на первичное понятие полезности. Теперь, если мы хотим изменить формализацию, использованную для описания вторичных понятий, то мы можем попытаться адекватно описать эти изменения при помощи соответствующих обобщений первичных понятий.

Конечно, мы не хотим заниматься обобщениями ради них самих, но имеются некоторые модификации, которые делают нашу теорию более реалистической. Конкретно: мы трактовали понятие полезности довольно узким и догматическим способом. Мы не только предполагали, что она выражается численно (для этого случая еще можно построить приемлемую теорию (см. пп. 3.3 и 3.5)). но что она также заменяема и неограниченно трансферабельна между различными игроками (см. п. 2.1.1). Мы поступали так по техническим причинам: числовые полезности были необходимы для теории игр двух лиц с нулевой суммой - в частности, благодаря той роли, которую должны играть там ожидаемые значения. Заменяемость и трансферабельность были необходимы в теории игр п лиц с нулевой суммой для того, чтобы ввести дележи как векторы с числовыми компонентами и характеристическую функцию с числовыми значениями. Все эти необходимости встречаются в неявном виде и во всех последующих конструкциях, а поэтому, в конце концов и в общей теории игр п лиц.

Таким образом, представляется желательной модификация понятия полезности в направлении ее обобщения; но в то же время ясно, что для осуществления этой программы придется преодолеть определенные трудности.

66.1.2. Построение нашей теории игр очевидным образом разбивается на два различных этапа: первый, состоящий из исследования игр двух лиц с нулевой суммой и ведущий к определению их значения, и второй, касающийся игр п лиц с нулевой суммой и основанный на характеристической функции, определенной с помощью значений игр двух лиц. Ранее мы подчеркивали, каким образом на каждом из этих этапов

используются специфические свойства понятия полезности. Поэтому если обобщить, изменить или отбросить некоторые из этих свойств, то нам придется изучать эффект таких изменений на каждом этапе. Это указывает, следовательно, на необходимость раздельного анализа каждого из этих этапов.

66.2. Обсуждение первого этапа

66.2.1. Трудности обобщения на первом этапе очень серьезны. Теория игр двух лиц с нулевой суммой, изложенная в главе III, широко пользуется численным характером полезности.

Скажем более конкретно. Трудно понять, как может быть приписано1 игре определенное значение, если для каждого игрока нет возможности во всех случаях определить, какая из различных ситуаций, которые могут возникнуть, предпочтительнее с его точки зрения. Это означает, что индивидуальные предпочтения должны определять на полезностях линейное упорядочение.

Далее, нельзя обойтись и без операции смешивания полезностей с помощью числовых вероятностей. Мы видели, что правила игры могут в явном виде требовать подобных операций, если в них предусмотрены ходы случая. Но даже когда их нет, теория главы III приводит, вообще говоря, к применению смешанных стратегий с теми же последствиями (см. § 17).

Теперь хорошо известно, что из линейной упорядоченности полезностей не следует их числового характера. Однако в п. 3.5 мы видели, что из линейной упорядоченности полезностей вместе с возможностью их смешиваний уже вытекает числовой характер полезности.

Таким образом, в данный момент мы не сможем приписать значения играм двух лиц с нулевой суммой, если мы не располагаем численной полезностью.

В игре п лиц характеристическая функция определяется с помощью значений различных (вспомогательных) игр двух лиц с нулевой суммой. Наше сведение общих игр п лиц к играм с нулевой суммой вдобавок еще использует трансферабельность полезности от одного игрока к другому.

Действительно, конструкциям, подобным n+i = 2 из п- 56.2.2,

едва ли можно придать какой-либо иной смысл. Итак, мы в настоящий момент не можем избежать чисто аппаратной связи определения характеристической функции в игре п лиц с численным характером полезности.

Значения v (S) характеристической функции такой игры - значения для соответствующих множеств (коалиций) игроков S. Следовательно, наше заключение можно сформулировать следующим образом: наш общий метод приписывания некоторого значения v (S) каждой возможной коалиции игроков существенно зависит от числовой природы полезности, и мы в настоящее время не в состоянии это изменить.

Мы уже отмечали раньше, что предположение о числовой природе полезности не так конкретно, как обычно принято считать (см. рассуждения в § 3). Кроме того, мы можем избежать всех концептуальных трудностей, относя наши рассмотрения к строго денежной экономике. Тем не менее предпочтительнее было бы освободить нашу теорию от этих ограничений; однако мы должны признать, что пока не располагаем возможностью сделать это.

66.2.2. Несмотря на указанный общий недостаток, имеется много игр, где трудности в определении характеристической функции не являют-

ся серьезными. Так, примеры из пп. 26.1 и 57.3 таковы, что характеристические функции можно определить непосредственно, без реальной необходимости обращения к теории игр двух лиц с нулевой суммой. Конечно, эти примеры сконструированы так, чтобы получить известные, заранее предписанные характеристические функции, - следовательно, легкость, с которой они могут быть получены, едва ли удивительна. Однако существуют и другие, более важные, примеры того же самого явления: так, определение характеристических функций не вызывает трудностей в теории простых игр из главы X Далее, различные модели рынков, рассмотренные в пп. 61.2-64.2, все имеют характеристические функции, которые вычисляются легко и непосредственно.

В этих случаях можно легко заменить числовые полезности более общими понятиями. Мы предполагаем сделать это по другому поводу.

66.3. Обсуждение второго этапа

66.3.1. Если характеристическая функция принимается как заданная, то мы можем перейти ко второму этапу.

Здесь необходимость численной полезности может быть полностью обойдена. Мы не предполагаем описывать это во всех деталях, так как предмет в целом еще недостаточно созрел для полной-математической формализации. Действительно, первый этап осложнен неразрешенными трудностями, которые описаны выше. Однако имеется некоторая надежда на то, что унифицированная форма теории, контуры которой мы в данный момент видим, сможет привести нас к желаемой цели.

Поэтому мы дадим лишь некоторые общие указания, касающиеся исследования второго этапа.

Начнем с того, что отказ от трансферабельности полезности, так же как и отказ от ее числового характера, приводит к невозможности непосредственного определения таких понятий, как игры с нулевой суммой или игры с постоянной суммой. Следовательно, лучше всего иметь дело сразу с общими играми.

Рассмотрим поэтому общую игру п лиц. Так как мы располагаем теорией главы XI, мы можем забыть о ее возникновении из теории игр с нулевой суммой и попытаемся непосредственно распространить ее на более общий случай нечисловых и нетрансферабельных полезностей.

Дележи

а = {{а4, ..., ап}}

по-прежнему останутся векторами, но их компоненты а1? . . ., ап могут уже не быть числами. Надо отметить, что если мы откажемся от числового характера полезности, то лучше всего будет предположить, что каждый участник i (= 1, . . ., п) имеет свою собственную область индивидуальных полезностей °Ии т. е. . . ., °11п, вообще говоря, будут различными. В этой модели каждая компонента at должна принадлежать °lLi. Следует отметить, что, даже если все полезности числовые, т. е. если . . ., Ч1п совпадают друг с другом и с множеством всех вещественных чисел, мы тем не менее можем опустить предположение о трансферабельности. Можно также рассматривать случай, когда трансферабель-ность имеет место, но подчинена некоторым ограничениям. Соответствующий пример будет разобран в § 67.

г) Эти игры определяются указанием выигрывающих коалиций, и в этом уже содержится неявное определение характеристической функции.