66.3.2. Теперь надо рассмотреть ограничения, налагаемые на компоненты с. Они будут двух видов. Во-первых, область всех дележей была определена в п. 56.8.2 посредством

(66:1) ajv((0) Для i = l,

(66:2) 2 a*v((l, ...,/г))1).

Во-вторых, мы определяли доминирование с помощью понятия эффективности, основанной на неравенстве

(66:3) 2 a*v(£),

которое есть (30:3) из п. 30.1.1.

Все эти неравенства принадлежат некоторому общему типу: дано некоторое множество Т (Т = (г) в (66:1), Т = (1, . . ., п) = I в (66:2)

иГ = 5в (66:3)) и требуется, чтобы в дележе а это множество (коалиция) Т находилось бы не в лучшем положении (в (66:1)) или не в худшем (в (66:2) и (66:3)), чем при получении v (Т).

Положение коалиции 7\ т. е. синтез положений всех ее участников, характеризуется во всех этих неравенствах суммой компонент дележа

2 ось. Для нечисловых полезностей области . . ., °Un могут отлижет

чаться друг от друга и, кроме того, для них может не существовать понятия сложения, так что образование, подобное 2 afe> может оказаться

бессмысленным. Но, даже если полезности числовые, использование

2 а* в таком контексте, очевидно, равносильно предположению г

их неограниченной трансферабельности. В самом деле, положение коалиции можно описать при помощи суммы выплат ее членам без ссылки на индивидуальные полезности только в том случае, если эти члены в состоянии распределить между собой эту сумму любым способом, с которым все они согласны, т. е. если нет никаких физических препятствий к передаче.

Поэтому, вообще говоря, мы должны будем воздержаться от использования 2 ak- Вместо этого мы должны ввести область полезностей

feeT

для составного игрока, состоящего из всех членов данной коалиции Т. Обозначим эту область через °IL (Т). Ясно, что °И ((к)) есть просто Область °ll (Т) должна получиться в результате некоторого синтеза областей °llk для всех к £ Т. Совсем нетрудно построить для этого процесса соответствующий математический алгоритм, однако мы предполагаем обсудить этот вопрос в другой раз.

Набор чисел ад, где к £ Т, так же как назначение v (Т) характеристической функции, должны быть элементами этой системы. Неравенства (66:1), (66:2) и (66:3) убудут относиться тогда к предпочтениям в такой системе полезностей.

х) Мы предпочитаем пользоваться здесь (56:10) вместо альтернативно возможного 5 6:25) из (56:1:Ь) в п. 56.12.

66.4. Желательность унификации двух этапов

66.4. Надеясь, что читатель не сочтет анализ в п. 66.3 слишком схематичным, мы покажем теперь, как можно получить желательную унификацию двух наших этапов. Наша теория игр двух лиц с нулевой суммой фактически опирается на те же общие принципы, что и последующая система дележей, доминирования и решений для игр п лиц с нулевой суммой и даже для общих игр п лиц. В частности, решающее обсуждение взаимной связи различных стратегий в игре двух лиц с нулевой суммой, проведенное в пп. 14.5, 17.8 и 17.9 (т. е. анализ понятия оптимальной стратегии), во многих отношениях аналогично анализу понятия доминирования дележей.

Нам представляется, что слабость построенной нами теории лежит в необходимости проходить через две стадии: сначала получить решение для игр двух лиц с нулевой суммой, а затем, используя это решение, определить характеристическую функцию, чтобы иметь возможность построить на ее основе решение общей игры п лиц. Общий опыт математических и физических наук показывает, что такой двухшаговый процесс с промежуточным звеном, представленным в данном случае характеристической функцией, имеет два существенных аспекта. На ранних ступенях исследования он может оказаться успешным, так как расчленяет трудности. На дальнейших ступенях, однако, где желательна полная концептуальная общность, могут встретиться затруднения. Требование получения строго определенных количеств в середине нашей процедуры (в нашем случае - для характеристических функций) может оказаться ненужной формальностью, вносящей в главную задачу чисто внешние трудности.

Применим это к нашему опыту с играми. Мы должны расчленить трудности для их преодоления и рассмотреть последовательно вполне определенные в узком смысле игры двух лиц с нулевой суммой, вполне определенные в широком смысле игры двух лиц с нулевой суммой, игры п лиц с нулевой суммой, общие игры п лиц. Однако все эти шаги, кроме двух, в конце концов, сливаются в общей теории: остаются только игры двух лиц с нулевой суммой и общие игры п лиц. Настаивание на характеристических функциях заставляет получать по поводу игр двух лиц с нулевой суммой промежуточные результаты более сильные, чем это необходимо для игр п лиц *). Конечно, мы были способны удовлетворить этим требованиям в случае числовой, неограниченно трансферабельной полезности. Однако все это изменяется, когда мы отказываемся от таких предположений о полезности. Представляется более правдоподобным, что напш трудности с играми п лиц можно приписать тому, что мы продолжаем настаивать на этой частной модели для игр двух лиц с нулевой суммой. Имеющаяся у нас техническая процедура заставляет нас настаивать на этом, но такая настойчивость может тем не менее оказаться неуместной.

Единое исследование всей теории игр п лиц - без искусственного (как это теперь оказывается) звена, состоящего из игр с нулевой суммой и характеристических функций,- может, следовательно, в конце концов, помочь избавиться от этих трудностей.

х) Для игр двух лиц с нулевой суммой мы получаем единственное значение, т. е. дележ. Для общих игр п лиц (так же как и для игр с нулевой суммой) мы имеем только (обычно не единственное) решение, и даже отдельное решение есть множество дележей!

§ 67. ОБСУЖДЕНИЕ ПРИМЕРА

67.1. Описание примера

67.1.1. Мы сейчас рассмотрим пример, в котором понятия полезности и трансферабельности модифицированы. Эти модификации не представляют собой значительного расширения нашей точки зрения на эти понятия. Наш пример представляет интерес скорее потому, что он допускает применение результатов, касающихся ацикличности, и приводит к выводам, которые проливают новый свет на вопросы, затронутые в конце п. 65.9. В частности, можно надеяться, что подобные процедуры позволят построить более адекватную математическую модель для таких явлений, как торговое соглашение.

67.1.2. Модификация, которую мы рассматриваем, состоит в следующем. Предположим, что полезность (или ее денежный эквивалент) состоит из неделимых единиц. Таким образом, мы не оспариваем ее числового характера, но требуем, чтобы ее значение, выраженное в надлежащих единицах, было целым. Тем самым передаваемые количества также необходимо ограничиваются целыми числами, но дальнейших ограничений не делается. Мы предполагаем, как и прежде, пользоваться характеристической функцией, но тоже с целыми значениями. Понятия доминирования и решения остаются без изменений.

Если такую точку зрения применить к общим играм одного и двух лиц, то никаких существенных изменений не произойдет, т. е. все остается, по существу, таким же, как и в нашей старой теории. Поэтому нет необходимости подробно останавливаться на этих случаях. С другой стороны, игры трех лиц приобретут некоторые новые черты, даже в своей старой, нулевой форме. При этом возникнут некоторые весьма специфические трудности, которые, как окажется, представляют значительный интерес, но еще недостаточно изучены. Поэтому мы предпочтем отложить их анализ до другого случая.

Это исключает исчерпывающее исследование общей игры трех лиц в новой модели. Мы, однако, проанализируем некоторый частный случай, который имеет прямое отношение к природе торговых соглашений. Это - рынок трех лиц, состоящий из одного продавца и двух покупателей.

67.1.3. При предварительном анализе этого случая мы получили различные решения, зависящие от того, может ли происходить только одна (индивидуальная) сделка или несколько, а также от относительной силы двух наших покупателей. Эти решения описаны в (62:С) из п. 62.5.2 и в (63:Е) из п. 63.5. Во всех этих случаях оказалось, что общее решение состоит из двух частей: (62:18) (или (62:20), (62:21) и (63:30)) и (62:19) (или (62:23) и (63:31)). Наше исследование этого случая показало, что части типа (62:18) соответствуют ситуации, в которой оба покупателя конкурируют друг с другом, в то время как части типа (62:19) соответствуют ситуации, когда они образуют коалицию против продавца. Часть типа (62:18) определена однозначно и, по существу, находится в согласии с обычными, основанными на здравом смысле экономическими представлениями об этом предмете. Часть типа (62:19), с другой стороны, определяется с помощью весьма произвольных функций. Как мы видели в п. 62.6.2, эти функции соответствуют различным возможным правилам разделения полученного выигрыша между объединенными игроками. Тем самым они утверждают нормы их поведения внутри коалиции. Наше настоящее исследование имеет целью получить некоторую дополнитель-