ную информацию, касающуюся функционирования этой части социального механизма.

Для того чтобы сделать это эффективно, целесообразно исключить из рассмотрения все те элементы, которые в этом отношении несущественны. Таким образом, мы хотим избавиться от части нашего решения типа (62:18). Мы знаем из пп. 62.5.2 и 62.6.1, что эта часть имеет наименьший объем и может быть фактически вовсе опущена (см. сноску 3 на стр. 572)), если в принятых обозначениях v = w. Это означает, что может произойти только одна (неделимая) сделка и что оба покупателя имеют равные силы. Решение тогда описывается соотношениями (62:20) и (62:19) из п. 62.5 (соотношение (62:20) становится излишним, см. выше) или рис. 77.

Итак, мы предположим в схеме п. 66.1.2 v - w. Мы можем сделать дальнейшее упрощение, без каких-либо значительных потерь, положив полезность альтернативного использования товара для продавца и = 0. Таким образом, равенства (62:2) - (62:4) из п. 62.1.2, определяющие характеристическую функцию, упростятся до

Замечание. Заметим, что мы используем (67:2:Ь) с <, а не с =. Эта точка зрения принята при анализе (66:2) из п. 66.3.2. В терминологии (56:1:Ь) из п. 56.12 это означает, что используется (56:10) и не используется (56:25). Это делается по той причине, что первое условие является первоначальным (см., например, п. 56.8.2), а эквивалентность, использованная в п. 56.12 в данной модели не имеет места.

Мы увидим в первом замечании в п. 67.2.3, что и = из (67:2:Ь) должны привести к различным результатам; однако эта разница сгладится в общей картине. Кроме того, использование = вместо в (67:2:Ь) привело бы к результатам, отличающимся лишь второстепенными деталями от тех, которые мы собираемся получить.

67.1.4. Предположим теперь, что все эти величины, т. е. данное w и все допустимые al5 a2, a3 из (67:2:а) и (67:2:Ь), являются целыми.

Доминирование определим, как и прежде, т. е. посредством п. 56.11.1; это означает, что мы повторяем определения из 30.1.1 дословно.

Поэтому необходимо определить характер множеств S s I = (1, 2, 3) в связи с их ролью в определении доминирования. Легко показать, что множества

являются заведомо необходимыми, а все остальные - заведомо не необходимыми *). Таким образом, мы можем воспользоваться опреде-

*) Условия заведомой необходимости и заведомой ненеобходимости были введены в п. 31.1 и снова рассматривались в п. 59.3.2. Так как наша точка зрения опять изменилась (см. выше, особенно замечание), необходимо вернуться к рассмотрению этих понятий. Проще всего определить их заново.

На основании (67:2:а) и условия (30:3) из п. 30.1.1 каждое S, для которого v (S) = = 0, является заведомо не необходимым. Это распространяется на S - (1), (2), (3), (2, 3). Обращение к (67:1), (67:2:а), (67:2:Ь) дает нам a4 -f- а2 < w = v ((1, 2)), а4 + + а3 w = v ((1, 3)); следовательно, множества S - (1, 2), (1, 3) заведомо необходимы. Так как (31:С) из п. 31.1.3, очевидно, остается в силе, это делает множество S = (1, 2, 3) заведомо не необходимым.

(67:1)

v((l)) = v((2)) = v((3)) = 0, v((l, 2)) = v((l, 3)) = ы>, v((2, 3)) = 0, v((l, 2, 3)) = и>.

Дележи теперь определяются как a = {{alt a2, а3}}, гДе (67:2:а) а0, а2=:0, а3=т0.

(67:2:b) а4 + ос2 -f а3 =g w.

S = (1,2), (1,3)

лением доминирования относительно S = (1, 2), (1,3). Следовательно* a&-fi означает, что

(67:3:а) оц>$1

(67:3:Ь) а2>32 или а3>33.

Итак, из доминирования следует (67:3:а); поэтому отношение доминирования ациклично. (См. соответствующее обсуждение в п. 65.9.)

Кроме того, определяемая неравенствами (67:2:а), (67:2:Ь) область деле-->

жей а конечна, так как компоненты аи а2, а3 должны быть целыми *).

Теперь мы можем применить (65:Х) из п. 65.7.2. Мы получаем, что существует единственное решение V0, которое описывается формулами (65:2) и (65:3) из этого пункта.

67.2. Решение и его интерпретация

67.2.1. Для того чтобы применить формулы (65:2) и (65:3) из п. 65.7.2, мы должны определить множества Вг, Сг, определенные в начале п. 65.7.1. Сделаем это для Bt,

Bi есть множество тех а, которые не могут быть доминируемыми.

->

Для того чтобы доминировать а, мы должны увеличить аь а также и а2 или а3, не нарушая (67:2:а) и (67:2:Ь) из п. 67.1.3. Эти числа можно увеличить не меньше чем на 1, в то время как оставшаяся компонента

или а3 может быть уменьшена до 0. Следовательно, а может быть доми-нировано, если

либо (at + 1) -4- (а2+ 1) =ч и>, либо (oq-f- 1) + (а3 +1) w. Итак, Bt определяется неравенствами

(67:4) (а4 +1) + (а2 + 1) > ш, (а4 + 1) + (а8 +l)>w.

С помощью (67:2:а) и (67:2:Ь) мы получаем а3 < 2, а2 < 2, т. е. а2, а3 = == 0, 1. Теперь (67:4) в соединении с (67:2:а) и (67:2:Ь) дает следующие возможности:

67:А) a2 = a3 = 0, at = w, w- 1;

{02 = 1, а3 = 0 Л или I , а± = и?-и

а? = 0, а3 = 1 J (67:С) а2 = а3=1, а{ = ю - 2.

Ct есть множество тех дележей а, которые доминируются элементами из Bt, т. е дележами из (67:А) - (67:С). Легко проверить, что они характеризуются посредством

( а2 = 0

(67:D) < или У ai=w - 2.

[ а3 = 0 J

*) Это, конечно, не имело места в первоначальной непрерывной модели.

67.2.2. Теперь лучше отклониться от схемы (65:2), (65:3) из п. 65.7.2, т. е. не продолжать определения В2, С2, В3, С3, . . ., а воспользоваться индуктивным процессом, который больше подходит в данном конкретном случае.

Рассмотрим а, для которых (67:Е) а2 = 0 или а3 = 0.

Это соответствует случаям (67:А), (67:В), (67:D). Мы знаем, что из этих дележей V0 содержит в точности те, которые удовлетворяют (67:А), (67:В).

Остаются те а, для которых

(67:F) а2, а31.

Следовательно, они не доминируются дележами (67:А), (67:В). Итак, мы образуем V0, беря (67:А) и (67:В) вне области (67:F) и повторяя процесс нахождения решения в (67:F).

Сравним (67:F) с (67:2:а) и (67:2:Ь) из п. 67.1.3. Разница состоит здесь только в том, что а2 и а3 возрастают на 1. Следовательно, w можно заменить на w - 2. Поэтому V0 содержит еще

(67:G) (67:Н)

а2 = а3 = 1, a{ = w- 2, w - 3;

( а2 - 2, а3 = 1 j < или > , ai = w- 3,

[ а2 = 1, а3 = 2 J

и мы должны повторить этот процесс нахождения решения при (67:1) а2, а32.

Повторение процесса присоединяет к V0 дележи (67:J) а2 = а3 = 2, ai = w - 4, w - 5;

{а2 = 3, а3 = 2 Л или > ,

а2 = 2, а3 = 3 J

и требует повторения процесса нахождения решения при (67:L) а2, а33,

и т. д. и т. д.

Итак, V0 состоит из (67:А), (67:В), (67:G), (67:Н), (67:J), (67:К). Эти множества можно охарактеризовать следующим образом:

(67:М) а1 = 0, w;

(67:N)

<67:0)

а2 = а3 ==

а2 = а3 = w-1 - а4

w-а4

, если W - а4 четно;

а2 =

IV- 1 -

а3: а3-

W- 1 - OCi

если w - a,i нечетно.