67.2.3. Результаты, содержащиеся в (67:М) - (67:0), позволяют сделать следующие замечания.

Первое. Значениями а4 + а2 + а3 в этом решении будут w и w - 1. Следовательно, мы не можем заменить в (67:2:Ь) из п. 67.1.3 на =, и результаты, установленные в (56:1:Ь) из п. 56:12, здесь неверны. Максимум социальной выгоды не обязательно достигается, и это оказывается прямым следствием существования неделимых единиц полезности х).

Второе. Такая дискретная шкала полезности сходится к обычной непрерывной, если wоо. (См. соответствующие рассуждения в п. 19.12, касающиеся дискретных и непрерывных раскладов в покере.) Разница между а4 + а2 + а3 и упомянутым выше w не может превосходить 1. Следовательно, когда она становится все более и более незна-

чительной, и в этом смысле ситуация приближается к той, которая имеет место в непрерывном случае.

Третье. а2 и а3 отличаются друг от друга не более чем на 1. Следовательно, разница между ними становится несущественной при w оо. Значит, когда мы приближаемся к непрерывному случаю, решение принимает такой вид:

(67:Р) Oaw;

(67:Q) а2 = а3 = =. .

Как отмечалось в первой части п. 67.1.3, это решение надо сравнить с (62:19) из п. 62.5.1 при значениях и - 0, v = w. Эти два решения действительно похожи, но наше решение покрывает лишь один частный случай (62:19): монотонно убывающие функции а1? фигурирующие там,

совпадают друг с другом и с -.

Эти функции описывают, как было рассмотрено в п. 62.6.2, правила дележа, выработанные в результате соглашения двух покупателей, когда они образуют коалицию (эти правила даются условиями (62:19)). В непрерывном случае эти правила в высшей степени произвольны, но сейчас, в дискретном случае, они оказались вполне определенными: оба покупателя должны рассматриваться совершенно одинаково.

Каков смысл этой симметрии? Являются ли другие правила распределения, т. е. другие выборы функций в (62:19), в дискретном случае фактически невозможными?

67.3. Обобщение. Различные дискретные шкалы полезностей

67.3.1. Для того чтобы ответить на поставленные выше вопросы, мы должны попытаться уничтожить симметрию (между двумя покупателями), но сохранить дискретность .

Это будет сделано в результате изменения модели п. 67.1, при котором покупателю 2 приписывается значение неделимой единицы полезности, отличное от значения, приписываемого покупателю 3. Именно, мы будем считать, что числа аА и а2 - целые, а число а3 - целое четное. Все остальное из п. 67.1 мы оставим без изменения.

Теперь проведем рассуждения, аналогичные проведенным в п. 67.2. В соответствии с этим начнем с определения множеств С4 из п. 65.7*

) Ср. со сноской 2 на стр. 519.

By есть множество тех а, которые не могут быть доминируемы. Для

->

того чтобы доминировать а, надо увеличить аь а также а2 или а3, не нарушая (67:2:а) и (67:2:Ь) из п. 67.1.3. Это увеличение равно 1 (для аи а2)

или 2 (для а3), в то время как одна из оставшихся компонент а2, а3 может

->

быть уменьшена до 0. Следовательно, а может быть доминируемо, если либо (а4 + 1) + (а2 + 1) <; w, либо (с*! + 1) + (а3 + 2) <; w. Итак, Bi определяется следующим образом:

(67:5) . (а4 +1) + (а2 +1) > м?, (cq +1) + (а3 + 2) > т.

Ввиду (67:2:а) и (67:2:Ь) отсюда следует, что а3<2, а2<3, т.е. а2 = = 0, 1, 2, а3 = 0. Теперь (67:5) вместе с (67:2:а) и (67:2:Ь) даст следующие возможности:

(67:R) а2 = 0, а3 = 0, ai = w, w - i\

(67:S) а2=1, а3 = 0, aw -1, w - 2;

(67:Т) а2 = 2, а3 = 0, 0 = - 2.

С4 есть множество тех а, которые доминируются элементами из Ви т. е. теми, которые удовлетворяют условиям (67:R) -(67:Т). Легко проверить, что они характеризуются соотношениями

(67:U) а2 = 0, -

(67:V) сх2= 1, -

67.3.2. Воспроизведем теперь вариант п. 67.2.2. Вместо определения 52, С2, 53, С3, ... мы используем иной индуктивный процесс.

Рассмотрим те а, для которых (67: W) О2 = 0, 1.

Эти дележи как раз составляют множества (67:R), (67:S), (67:U) и (б?)1).

->

Мы знаем, что V0 содержит из них (67:R) и (67:S). Остаются те а, для которых

(67:Х) а22

и которые поэтому не доминируются дележами (67:R), (67:S). Так мы составляем V0, беря (67:R) и (67:S) вне (67:Х) и повторяя процесс нахождения решения в (67 :Х).

Сравним (67:Х) с (67:2:а) и (67:2:Ь) из п. 67.1.3. Единственная разница состоит здесь в том, что а2 увеличилось на 2. Следовательно, с w можно обращаться так, как будто это есть w- 22). Итак, V0 содержит теперь еще

(67:Y) а2 = 2, а3 =-0, aw - 2, w- 3;

(67:Z) а2 = 3, а3 = 0, аА -=w - 3, w - A,

и мы должны повторить процесс нахождения решения в (67:А) сс24.

х) Заметим, что а3 не может равняться 1, так как это число должно быть четным. 2) Заметим, что есть различие между этим и соответствующим ему шагом в п. 67.2.2, следующим за (67:F).

Повторение этого процесса присоединяет к V0 дележи

(67:В) а2 = 4, а3 = О, ах~т - 4, w - 5;

(67:С) а2 = 5, а3 = 0, а{ = ш - 5, w - 6

и требует продолжения процесса нахождения решения в области

(67:D) а26,

и т. д. и т. д.

Итак, V0 состоит из (67:R), (67:S), (67:Y), (67:Z), (67:B), (67:C), ... Эти множества можно охарактеризовать следующим образом:

(67:Е) а1 = 0, 1, .... м>;

(67:F) a2 = w - аи 1 -а4 (второе исключается, если aA = w;); (67:G) схз-0.

67.3.3. Результаты (67:Е) --(67:G) позволяют сделать следующие замечания.

Первое и второе. По поводу суммы ах-\-а2-\-аъ и ее связи с w мы можем дословно повторить соответствующие замечания из п. 67.2.3.

Третье. Здесь положение коренным образом отличается от случая из п. 67.2.3. Мы имеем тождественно а3 = 0. При приближении к непрерывному случаю, т. е. при w->оо, решение стремится к следующему виду:

(67 :Н) Oaw;

(67:Г) 4 = 1 -а*;

(67: J) а3 = 0.

Повторяя сравнение с (62:19) из п. 62.5.1, как это было сделано в соответствующей части п. 67.2.3, мы видим, что теперь ситуация такова: монотонные функции (62:19), которые описывают правила распределения между объединившимися покупателями, сейчас снова полностью определены, но в то же время мы обнаруживаем (вместо одинакового положения, которое эти игроки занимали в п. 67.2.3), что преимущество перешло полностью покупателю 2!

Мы теперь должны сравнить эти результаты с соответствующими результатами из п. 67.2.3 и интерпретировать явление в целом.

67.4. Выводы о соглашении

67.4. Выводы из результатов пп. 67.2.3, 67.3.3 очевидны. В первом случае оба покупателя имеют одинаковые возможности различения, т. е. равные единицы полезности, и правило распределения трактовало их одинаково. Во втором случае покупатель 2 имеет большие возможности различения, чем покупатель 3, именно, единица полезности 2 составляет половину единицы для 3, и в правилах распределения преимущество полностью перешло к покупателю 2. Ясно> что если они поменяются возможностями, то и с правилами произойдет то же самое. Мы можем сказать: в правиле распределения преимущество объединившихся покупателей делится между ними поровну, если они имеют одинаково тонкие шкалы полезностей, в противном случае это преимущество целиком переходит к тому покупателю, у которого шкала полезностей тоньше.