Замечание. Можно рассмотреть и более тонкий вариант: мы можем приписать а2 и а3 шкалы переменной плотности. В этом случае мы будем все еще иметь единственное решение по тем же причинам, что и раньше. Связь между а2 и а3, если ее изображать на плоскости а2, а3, есть комбинация трех типов, о которых было сказано выше: симметричного для а2, а3, т. е. изображаемого прямой, параллельной биссектрисе координатного угла; параллельного оси а3; параллельного оси а2.

Фактически можно построить любую желательную комбинацию этих элементов, выбирая соответствующим образом шкалы а2 и а3. При этом любая кривая может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована. Таким образом, восстанавливается первоначальная общность непрерывного случая.

Мы, однако, не предполагаем рассматривать здесь этот вопрос и родственные ему.

Это верно в дискретном случае, когда каждый участник имеет определенную шкалу полезности, и правило распределения (т. е. решение) определено однозначно. В непрерывном случае тонкость шкалы полезности не определена, и правила распределения, как мы уже видели, могут быть выбраны многими различными способами.

Итак, здесь мы впервые видим, как способность игрока к различению (именно, тонкость его шкалы полезности) оказывает определенное влияние на его положение при соглашении с союзником *). Следовательно, можно ожидать, что проблемы такого типа могут быть решены полностью, когда можно будет должным образом и систематически учесть связанные с ними психологические условия. Рассуждения в последнем параграфе можно считать первой попыткой соответствующего математического подхода.

г) Это происходит, конечно, только в тех случаях, когда теория с непрерывными етолезностями допускает несколько различных правил распределения между союзниками, что в свою очередь бывает, очевидно, в том случае, когда допускаются соглашения.

Приложение

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ПОЛЕЗНОСТИ

АЛ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

АЛЛ. Мы докажем в этом приложении, что аксиомы о полезности, перечисленные в п. 3.6.1, определяют полезность как число с точностью до линейного преобразованияг). Более точно: мы докажем, что эти аксиомы обеспечивают существование хотя бы одного отображения (в действительности их бесконечно много) полезностей на вещественные числа в смысле п. 3.5.1, со свойствами (3:1:а) и (3:1:Ь); мы докажем также, что любые два таких отображения получаются друг из друга линейным преобразованием, т. е. связаны соотношением (3:6).

Предварительно мы предпримем анализ аксиом (3:А) - (3:С) из п. 3.6.1; два следующих замечания об этих аксиомах могут быть полезными во избежание возможного неправильного понимания.

А.1.2. Первое замечание состоит в следующем. Эти аксиомы, именно группа (3:А), характеризуют понятие линейного упорядочения, основанного на отношениях >, < Мы не аксиоматизируем отношение = , но интерпретируем его как полную индентичностъ. Альтернативная процедура - аксиоматизировать равенство тоже - была бы математически вполне законной; но таковой является и наша процедура. Эти две процедуры математически эквивалентны, и выбор той или иной из них является делом вкуса. Практика в соответствующей математической и логической литературе не является единообразной, и мы поэтому будем придерживаться простейшей из них.

Второе замечание следующее. Как указывалось в начале п. 3.5.1, мы пользуемся символом > как для обозначения естественного отношения и > v полезностей и и v, так и для отношения р > а чисел р и а; точно так же мы пользуемся записью а . . . + (1 - &) . . . как для естественной операции аи + (1 - а) г; над полезностями и и у, так и для операции ар + (1 - а) а над числами р, а (а в обоих случаях является числом). Можно возразить, что такая практика может вести к путанице, однако этого не случится, так как всегда будет ясно, являются входящие в соответствующее выражение величины полезностями (и, v, w) или числами (а, (5, 7, . . ., р, а). Эта идентификация обозначений для отношений и операций в двух случаях ( естественном и числовом) проста и облегчает прослеживание аналогии между естественным и числовым. По этой причине такие обозначения приняты почти всюду для подобных ситуаций в математической литературе; мы также будем ими пользоваться.

А.1.3. Выводы, которые будут сделаны в п. А.2, несколько громоздки и могут показаться довольно утомительными для математически неподготовленного читателя. С чисто математической точки зрения имеется еще и то возражение, что они не могут быть достаточно глубокими - идеи, ведущие к этим выводам, слишком просты, но технические выкладки,* к сожалению, должны быть достаточно объемистыми для того, чтобы

!) То есть без фиксации нуля или единицы полезности.

быть полными. Возможно, что впоследствии будет найдено и более короткое изложение.

Во всяком случае, мы теперь собираемся использовать в п. А.2 эстетически не вполне удовлетворительный способ изложения.

А.2, ВЫВОДЫ ИЗ АКСИОМ

А.2.1. Переходим к выводам из аксиом (3:А) - (3:С) из п. 3.6.1. Весь вывод будет расчленен на несколько последовательных шагов и будет выполнен в этом и в четырех следующих пунктах. Окончательный результат будет сформулирован в (A:V) и (A:W).

(А:А) Если u<v, то из а<Р следует

(1 - а)и + ои;<(1 - p)tt + py.

Дока {ате льство. Ясно, что а = у$ для некоторого О <С < 7 < 1. Из (3:В:а) (примененного к и, и, 1 - р соответственно в качестве и, у, а) мы имеем и < (1 - Р) и + $v и, следовательно, из (3:В:Ь) (примененного к (1 - Р) и + рр, и, у соответственно в качестве и, и, а) получим (1 - р) u + Py>7((l - P)u + f}z;) + (l - у) и. По (3:С:а) это может быть записано как

(l-p)i* + py>7(pi;+(l--p) и) + (1-у)и.

Теперь по (3:С:Ь) (примененному к v, и, 7, р, а = 7Р соответственно в качестве и, v, а, р, 7 = аР) правая часть есть av + (1 - а) и и, следовательно, по (3:С:а) (1 - а) и + av. Итак, (1 - а) и + w < (1 - Р) и + Ру, что и требовалось.

(А:В) Пусть даны фиксированные uG и v0, для которых щ < v0r рассмотрим отображение

а -> w = (1 - а) и0 + ocv0. Это - взаимно однозначное монотонное отображение интервала О < а <С 1 на часть интервала и0 < < *)

Доказательство. Это отображение на часть и0 <Civ интервала щ < w < у0 совпадает с (3:В:а) (примененным к щ, у0, 1 - а в качестве u, у, а), а на часть w <CvQ - с (3:B:b) (примененным к v0, u0, а соответственно в качестве и, v, а).

Взаимная однозначность следует из монотонности, которую установим далее.

Монотонность совпадает с (А:А).

(А:С) Отображение из (А:В) фактически отображает 0 < а <С 1

на все множество щ < w <С v0.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. что некоторое w0: и0 < w0 < v0 не имеет прообраза. Тогда для всех а из 0 < а <С 1 должно быть (1 - а) и0 + av0 Ф w0, т. е. (1 - а) и0 + + аи0 w0.

В соответствии с тем, имеем мы < или >> , будем говорить, что а принадлежит классу I или классу II. Таким образом, классы I и II, которые, очевидно, не пересекаются, составляют вместе интервал 0 < а < 1. Теперь мы замечаем следующее.

х) В (А:С) будет показано, что эта часть в действительности есть весь интервал