Первое. Класс i непуст. Это немедленно следует из (3:В:С) (примененного к щ, w0, v0, 1 - а соответственно в качестве и, Wyy, а).

Второе. Класс ii непуст. Это немедленно следует из (3:B:d) (примененного к v0, w0, и0, а соответственно в качестве и, w, v, а).

Третье. Если а из класса i, а 3 из класса ii, то а << р. Действительно, так как i и ii не пересекаются, должно быть а Ф р. Следовательно, единственной ка<Р альтернативой является а > р. Но тогда по монотонности отображения из (А:В), так как а принадлежит i, 3 тоже должно принадлежать i, но р принадлежит ii. Следовательно, остается а << р.

Из этих трех свойств классов i и ii следует, что должно существовать некоторое а0, 0 < а0 < 1, разделяющее эти классы, т. е. такое число, что для всех а из i будет а :g а0, а для всех а из ii будет а =Х ао

Далее, само число а0 должно принадлежать либо классу i, либо П. Будем различать соответственно два случая.

Первый. а0 из класса i. Тогда (1 - а0) и0 + a0v0 < w0, а также м>о < Щ. Применяя (3:В:с) (с (1 - а0) и0 + a0v0, w0, v0, у соответственно в качестве и, w, v, 7), мы найдем некоторое 7, для которого 0<С7<1> и 7 ((1 - а0) щ + a0v0) + (1 - 7) vo < Wo- Поэтому по (3:С:Ь) (с щ, u0l 7, 1 - а0, 1 - а == y (1 - а0) соответственно в качестве и, v, а, р, 7 = = ар) должно быть (1 - а) щ + av0 <С w0. Значит, а = 1 - 7 (1 - а0) принадлежит i. Однако а > 1 - (1 - а0) = а0, хотя мы должны были бы иметь а < ап.

Второй. а0 из класса П. Тогда (1 - а0) щ + a0v0 > w0, а также Ио < wo- Применяя (3:B:d) (с (1 - а0) щ + a0v0, w0, и0, у соответственно в качестве и, wy v, а), мы найдем некоторое 7, для которого 0 < 7 < 1, и у ((1 - а0) Щ + а0у0) + (1 - 7) щ > и>0. Поэтому по (3:С:а), 7 (аоо + (1 - о) о) + (1 - 7) > о; значит, по (3:С:Ь) (с v0j щ, 7, а0, а = 7а0 соответственно в качестве и, у, а, р, 7 = оф) должно быть av0 + (1 - а) щ > м;0, т. е. по (3:G:a) (1 - а) щ + аи0 > и?0. Следовательно, а = 7а0 принадлежит ii. Однако а << а0, хотя мы должны были бы иметь а а0.

Таким образом, мы получаем противоречие в каждом случае. Следовательно, первоначальное предположение невозможно, и нужное свойство установлено.

А.2.2. На этом месте стоит остановиться. (А:В) и (А:С) осуществляют взаимно однозначное отображение интервала полезностей щ <Cw < у0 (здесь щ и v0 фиксированы и щ << v0, а в остальном щ и v0 произвольны!) на числовой интервал 0 < а << 1. Ясно, что это есть первый шаг для получения числового представления полезностей. Однако этот результат в некоторых отношениях далеко не полон. Основная его ограниченность состоит в следующем.

Первое. Числовое представление получено только для интервала полезностей щ <С w << v0, а не для всех полезностей w одновременно. Неясно и то, как отображения, полученные для различных пар щ, у0, соответствуют друг другу.

*) Интуитивно это вполне правдоподобно. Кроме того, возможен и строгий вывод. Фактически он совпадает с одной из классических теорем, в которой вводятся иррациональные числа, теоремы о дедекиндовом сечении. Подробности можно найти в курсах теории функций вещественной переменной или основ анализа. См., например, Каратеодори (сноска 1 на стр. 356), стр. 11, Аксиома VII. Вместо упомянутого там множества {а} следует взять наш класс I; тогда множество {А} будет содержать наш класс II.

Второе. Числовое представление, определяемое (А:В) и (А:С), еще не согласовано с нашими требованиями (3:1:а), (3:1:Ь). Очевидно, что 3:1 :а) выполняется: это лишь другой способ выражения монотонности, обеспечиваемой (А:В). Однако остается еще проверить справедливость <3:1:Ь).

Мы выполним все эти требования одновременно. Ход рассуждений будет сначала идти по пути, соответствующему первому замечанию, однако в процессе этого будут установлены положения второго замечания и надлежащая единственность результата.

Мы начнем с доказательства группы лемм, которые более в духе второ-то замечания и требования единственности, однако на их основе мы смо-;жемютветить на вопрос, поставленный в первом замечании.

<(A:D) Пусть и0 и и0 такие, как указано выше: и0, v0 фиксированы

и щ <С v0. Для всех w в интервале и0 < w <С v0 определим числовую функцию / (w) = fUQt vo (w) следующим образом: (I) / (щ) = 0;

(II) /Ы =1;

(III) / (w) для w Ф и0, v0, т. е. для uQ < w < v0, есть то число а из интервала 0 < а < 1, которое соответствует w в смысле (А:В) и (А:С).

{А:Е) Отображение w / (w) обладает следующими свойствами:

(Г) оно монотонно; (1Г) для 0<р<1 и и>фщ

/((1-Р) о + И = Р/ И;

(ИГ) для 0<Р<1 и и>фи0

/((1-Р)г;о + Р = 1-р + Р/И.

i(A:F) Отображение всех w из щ < w < v0 на любое множество

чисел, обладающее свойствами (I), (II) и либо (1Г), либо (ПГ), совпадает с отображением (A:D).

Доказательство. (A:D) является определением; мы должны доказать (А:Е) и (A:F).

(А:Е). (Г) Для щ <. w < v0 отображение монотонно согласно (А:В). Все w из этого интервала отображаются на числа > 0 и < 1, т. е. на числа большие, чем образ w0, и меньшие, чем образ v0. Поэтому мы имеем монотонность на щ w vQ.

(IV) Для w = и0 это утверждение превращается в / ((1 - Р) щ + + Руо) = Р, что совпадает с определением (А:В) (с р в качестве а).

Для случая w Ф v0, т. е. щ <Cw < v0, положим / (w) = а. Отсюда по (А:В)

w = (1 - а) щ + av0.

Тогда по (3:С:Ь) (с v0, щ, р, а соответственно в качестве и, v, а, р и с использованием (3:С:а)) мы имеем (1 - Р) и0 + $w = (1 - Р) щ + + р ((1 - а) и0 + av0) = (1 - Ра) щ + раг;0. Следовательно, по (А:В) должно быть / ((1 - Р) и0 + $w) = Ра = р/ (w), что и требовалось получить.

(ПГ) Для w = щ утверждение состоит в том, что / ((1 - Р) v0 + + Pu0) = 1 - Р, а это совпадает с определением (А:В) (с 1 - р в качестве а и с использованием (3:С:а)).

Для w Ф и0, т. е. при щ < w < v0, положим / (w) - а, т. е. по (А:В) w = (1 - а) щ + av0. Тогда по (3:С:Ь) (с щ, v0l р, 1 - а соответственно в качестве и, v, а, р и с использованием (3:С:а)) мы получаем

(1-р)Уо + р = (1-р)о4-Р((1--а)0 + аг;0)-=р(1--а) + (1--р (l-a))iv

Следовательно, на основании (А:В)

/((1 -р)0 + Рш) = 1--а) = 1 -3 + рсс = 1 -р + р/ И,

что и требовалось доказать.

(A:F). Рассмотрим отображение

(A:l) w-+U(w),

удовлетворяющее (I), (II) и либо (1Г), либо (HP). Отображение (А: 2) w-+f(w)

есть взаимно однозначное отображение щ w и0 на 0 ;< a :=g 1; следовательно, для него существует обратное:

(А:3) а->ур(а).

Объединяя теперь (А:1) с (А:3), т. е. с обращением к (А:2), мы получим, (А:4) а->/в(я?(а)) = ф(а).

Так как оба отображения (А:1) и (А:2) удовлетворяют (I) и (II), мь* получим для (А:4)

(А:5) Ф(0) = 0, Ф(1) = 1.

Если (А:1) удовлетворяет (1Г) или (ИГ) то, поскольку (А:2) удовлетворяет и (1Г), и (ИГ), мы получим для (А:4)

(А:6) Ф(ра) = рФ(а),

(А: 7) Ф (1 - р + pa) = 1 - р + рФ (а).

Теперь, положив в (А:7) а = 1 и воспользовавшись (А:5), мы получим* (А:8) Ф(Р)=Р,

а положив в (А:7) a = 0 и снова воспользовавшись (А:5), мы получим ф (1 - р) = 1 - р. Замена р на 1 - р дает снова (А:8).

Таким образом, (А:8) справедливо во всех случаях. (1Г), (ПГ) ограничивают его теми р, для которых 0 < р < 1. Однако (А:5) распространяет его также на 3 = 0, 1, т. е. делает верным для всех 3 из сегмента 0 р 1. Принимая во внимание определение ф (а) посредством (А:3) и (А:4), мы получаем, что справедливость (А:8) означает совпадение (А:1) и (А:2), а это и требовалось доказать.

(A:G) Пусть и0, v0 заданы, как и выше: щ, v0 фиксированы и и0<и0.

Пусть даны также два фиксированных числа а0, р0 таких, что-а0 < Ро- Для всех w из интервала щ w :g v0 определим числовую* функцию g (w) = g*l*$°(w) следующим образом:

g И = (Ро - <*о) / И +а0 (/ (w) = fuo,v0(w) в соответствии с (A:D)).