представляется целесообразным1). Бесспорно то, что существуют экономические модели, в которых рассмотрение Фх является необходимым 2).

Однако наиболее существенный момент заключается в следующем.

Преследуя поставленные перед собой цели, мы должны быть уверены в том, что все комбинаторные возможности, связанные со всеми взаимодействиями различных решений игроков, изменениями их состояний информации и т. п., нами исчерпаны. Эти проблемы широко обсуждались в экономической литературе. Мы надеемся показать, что они могут быть полностью проанализированы. Но для этого мы хотим обезопасить себя от любых возможных обвинений в том, что из-за чрезмерной специализации моделей некоторые существенные возможности нами упущены.

Кроме того, мы увидим, что все формальные элементы, вводимые нами в рассмотрение игры, не усложняют ее окончательного анализа. Иначе говоря, они усложняют только настоящий, предварительный этап формального описания. Окончательный вид задачи оказывается не зависящим от них (см. п., 11.2).

7.2.3. Нам еще остается рассмотреть только один вопрос, а именно сформулированное в самом начале этого обсуждения (в начале п. 6.2.1) предположение о том, что как число, так и расположение ходов заданы (т. е. фиксированы) с самого начала. Мы сейчас увидим, что это ограничение несущественно.

Рассмотрим сначала расположение ходов. Возможная переменность характера каждого хода, т. е. соответствующего к%, была уже полностью рассмотрена (особенно в п. 7.2.1). Упорядочение ходов о#х, к = 1, . . ., v, было с самого начала попросту хронологическим. Таким образом, здесь обсуждать больше нечего.

Обратимся теперь к числу ходов v. Эта величина также может быть переменной, т. е. зависящей от развития партии. Описание этого переменного характера v требует определенной аккуратности.

Замечание. Это имеет место в большинстве игр (шахматы, трик-трак, покер, бридж). В случае бриджа эта переменность появляется, во-первых, из-за переменной длины этапа торгов и, во-вторых, из-за изменяющегося числа соглашений, необходимых для завершения роббера (т. е. партии). Сложнее указать примеры игр с фиксированным v. Мы увидим, что в любой игре можно сделать v фиксированным при помощи некоторого искусственного приема, но те игры, в которых v фиксировано с самого начала, как правило, скучноваты.

Развитие партии характеризуется последовательностью выборов оь . . ., <rv (см. п. 6.2.2). Теперь нельзя утверждать попросту, что v может быть некоторой функцией от переменных 0Ь . . ., ov, поскольку всю последовательность аь , . ., ау нельзя представить себе, не зная наперед, какой будет ее длина v 3). Правильной формулировкой будет

г) Мы имеем в виду карточные игры, в которых игроки могут сбросить некоторые карты, не открывая их, а впоследствии взять обратно или использовать другим образом часть сброшенных карт. Существует также игра в закрытые шахматы , иногда называемая морской бой , принадлежащая этому классу. Описание ее приведено в п. 9.2.3. Сошлемся на это описание. Каждый игрок знает о возможности предшествующих выборов другого, не зная самих этих выборов, причем эта возможность является функцией всех предшествующих выборов.

2) Пусть, например, некоторый участник не знает всех деталей предыдущих действий других участников, но информирован об определенных статистических характеристиках этих действий.

3) То есть нельзя сказать, что длина партии зависит от всех выборов, произведенных в связи со всеми ходами, так как от самой этой длины партии зависит, будут ли те или иные ходы вообще иметь место и т. д. Это рассуждение очевидным образом носит круговой характер.

следующая. Предположим, что переменные а4, а2, о3, ... выбираются одна за другой г). Если эта последовательность выборов осуществляется неопределенно долго, то правила игры должны в некоторый момент прервать этот процесс. Тогда то v, на котором процесс остановится, будет, разумеется, зависеть от всех выборов, сделанных к этому моменту. Это будет число ходов в данной конкретной партии.

Далее это правило остановки должно гарантировать нам, что любая мыслимая партия когда-нибудь закончится. Иначе говоря, должно быть невозможно расположить последовательные выборы аи а2, а3, . . . таким образом (при ограничениях, приведенных в данной здесь сноске), чтобы остановка никогда не наступила. Очевидным способом гарантирования этого является создание правила остановки, обеспечивающего, что остановка произойдет до некоторого фиксированного момента, скажем до v*. Иначе говоря, в то время как v может зависеть от аь а2, а3, . . ., наверняка будет v v*, где v* не зависит от аи а2, о3, ... Если это так, то мы будем говорить, что правило остановки ограничено числом v*. Для рассматриваемых нами игр мы предположим, что они имеют правила остановки, ограниченные (подходящими, но фиксированными) числами v*.

Замечание 1. Это правило остановки действительно является существенной частью любой игры. В большинстве игр легко найти фиксированную верхнюю границу v* для v. Иногда, однако, общепринятая форма правил игры не исключает того, что игра в отдельных исключительных условиях может продолжаться до бесконечности. Во всех подобных случаях в правила игры впоследствии были включены некоторые практические предосторожности, имеющие целью обеспечить существование границы v*. Следует, однако, сказать, что эти предосторожности не всегда оказываются абсолютно эффективными, хотя идея их в каждом случае достаточно ясна. Если даже существуют исключительные бесконечные партии, они не имеют большого практического значения. Тем не менее будет весьма поучительным, по крайней мере с чисто математической точки зрения, рассмотреть несколько типичных примеров.

Мы приведем четыре примера, расположив их в порядке убывания эффективности.

Экарте. Партия представляет собой роббер , роббер состоит в выигрыше двух игр из трех (см. сноску на стр. 74), игра состоит из выигрыша пяти пунктов , а каждая сдача дает одному из игроков один или два пункта. Следовательно, роббер заканчивается не позднее, чем после трех игр , игра - после самое большее девяти сдач , и легко проверить, что сдача состоит из 13, 14 или 18 ходов. Следовательно, v* = 3*9 18 = 486.

Покер. В принципе два игрока могли бы торговаться друг с другом до бесконечности. Поэтому к правилам обычно добавляется некоторое соглашение, ограничивающее допустимое число переторговывании . Суммы ставок также ограничиваются, чтобы сделать число альтернатив ах при этих личных ходах конечным. Это, разумеется, обеспечивает существование конечного v*.

Бридж. Партия представляет собой роббер , который мог бы продолжаться, до бесконечности, если бы обе стороны (игроки) неизменно отказывались вступить в соглашение. Вполне можно себе представить, что сторона, стоящая перед опасностью проигрыша роббера , могла бы, таким образом, неизменно препятствовать окончанию партии путем назначения абсурдно высоких ставок. На практике этого не происходит, хотя правилами игры и не предусматривается ничего, что явным образом предотвращало бы указанную возможность. Во всяком случае, теоретически в бридж должно быть введено некоторое правило остановки.

Шахматы. Легко построить последовательности выборов (или, придерживаясь обычной терминологии,- ходов), особенно в эндшпиле, которые могли бы продолжаться до бесконечности, не давая окончания партии, т. е. не приводя к мату. Простейшими из таких последовательностей являются периодические, т. е. бесконечные повторения одного и того же цикла выборов, хотя существуют и непериодические последовательности. Все они дают игроку, находящемуся под угрозой проигрыша,

!) Область изменения ot есть 1, . . ., аА. Область изменения о2 есть 1, . . ., а2 и может зависеть от о, т. е. а2 = а2 (Oi). Область изменения а3 есть 1, . . ., сс3 и может зависеть от в± и а2, т. е. а3 = а3 (а4, а2). И т. д. и т. д.

весьма реальную возможность добиться в некоторых случаях ничьей. По этой причине для предотвращения указанного явления используются различные ничейные правила , т. е. правила остановки.

Одним из известных ничейных правил является следующее. Любой цикл выборов (т. е. ходов ), повторенный трижды, приводит к ничьей. Это правило не является вполне эффективным, так как оно исключает большинство бесконечных последовательностей, но не все.

Другое ничейное правило состоит в следующем. Если в течение 40 ходов ни одна пешка не была сдвинута с места и ни одна фигура не была взята (эти операции являются необратимыми в том смысле, что после их осуществления первоначальная позиция уже не может быть восстановлена), то партия считается закончившейся вничью. Легко видеть, что это правило эффективно, хотя соответствующее v* оказывается чудовищно большим.

Замечание 2. С чисто математической точки зрения можно поставить следующий вопрос. Пусть правило остановки эффективно только в том смысле, что невозможно расположить последовательные выборы о*1? о*2> ° з таким образом, чтобы остановка никогда не наступила. Иначе говоря, пусть всегда существует конечное v, зависящее от а4, сг2, о*3, . . . Гарантирует ли это само по себе существование некоторого фиксированного конечного v*, ограничивающего правило остановки, т. е. такого, что v <С V*?

Этот вопрос является весьма академическим, так как все практические правила игры имеют в виду непосредственное установление v*. (См., однако, предыдущее замечание.) Тем не менее с математической точки зрения он весьма интересен г).

Теперь мы можем использовать эту границу v* для того, чтобы полностью избавиться от переменного характера v.

Это делается попросту путем такого расширения схемы игры, при котором всегда будут иметься v* ходов оМ, . . ., oSv*. Для любой последовательности о и сг2, о3, ... ничего не меняется вплоть до хода o£v, а все ходы, следующие за qMv, считаются фиктивными. Иначе говоря, если рассматривается ход к = 1, . . ., v*, для последовательности

ai, а2, аз> где v << то мы делаем оЖк случайным ходом только с одной альтернативой 2), т. е. ходом, на котором ничего не происходит.

Таким образом, предположения, сделанные в начале п. 6.2.1, особенно предположение о том, что v задано с самого начала, оказываются в конечном счете оправданными.

§ 8. МНОЖЕСТВА И РАЗБИЕНИЯ 8.1. Желательность теоретико-множественного описания игры

8.1. Мы получили удовлетворительное и достаточно общее описание понятия игры, которое можно теперь переформулировать с аксиоматической точностью и строгостью и сделать его тем самым основой для последующего математического изучения. Однако прежде чем к этому перейти, представляется заслуживающим внимания дать некоторую другую формулировку. Эта формулировка строго эквивалентна той, к которой мы пришли в предыдущих пунктах, но, будучи высказана в общей форме, является более единообразной и простой; кроме того, она приводит к более изящным и простым обозначениям.

Для того чтобы прийти к этой формулировке, мы должны использовать символику теории множеств - особенно разбиения - более широко, чем мы это пока делали. Это требует некоторых объяснений и иллюстраций, к которым мы сейчас и перейдем.

х) Ответ на него является утвердительным, т. е. такое v* всегда существует. См., например, D. К б n i g, Uber eine Schlussweise aus dem Endlichen ins Unend-liche, Acta Litt. ac. Sclent, Univ. Szeged, Sect. Mat. 11 I/I I (1927), 121-130, особенно Приложение, стр. 129-130.

2) Это, разумеется, означает, что ах = 1, к% = 0 и рК (1) = 1.