(II) Л(у*) = 1;

(III) h(w) монотонно;

(IV) для 0<7<1 и u<Cv

h ((1 - у) и + yv) = (1 - у) h (и) -г yh (v).

(A:S) Отображение всех w на некоторое множество чисел, обладаю-

щее свойствами (I), (II) и (IV), совпадает с отображением (A:R).

Доказательство. (A:R). Свойства (I), (II) следуют немедленно из (А:0) и (А:М).

Свойство (III) вытекает из (A:Q).

Свойство (IV). Выберем и и и в соответствии с (А:Р), а затем а, (3 и gZ*%(w) в соответствии с (A:Q). Далее согласно (1Г) из (А:Н) (с и, v, vt у соответственно в качестве щ, v0, w, у) следует

*2; 2 ((4 - у) u+yv) = (1 - 7) *г; g N+тс5 М

Значит, по (A:Q) должно быть

h ((1 - у) и + yv) = (1 - у) h (и) + yh (v),

что и требовалось доказать.

(A:S). Рассмотрим отображение

w->hi (w)]

всех полезностей w на множество чисел, и пусть оно удовлетворяет (I), (II) и (IV). Выберем и0 и v0, для которых щ и* < у* г;0. и положим а0 = h (и*), pi = А-! (г;*). Тогда, [по (А:1), /&4 (н?) совпадает с gl°0\v°0 (w) в области щ rg w :g у0. Положив ш = и* и w = у*, мы получим gu°0\ щ {и*) =

= Л4 (и*) = 0 и gSJj (v*) = h (v*) = 1. Следовательно, по (А.Н), gZ\vl есть hUOt VQ. Итак, hi (w) совпадает с hu jVQ (w), т. е. с ft (w) на щ g w :g v0. По (А:0) это означает, что hi(w) и h (w) совпадают везде.

А.2.5. (A:R) и (A:S) описывают отображение всех полезностей в множество вещественных чисел. Это отображение обладает некоторыми правдоподобными свойствами и однозначно ими определяется; следовательно, мы могли бы на этом остановиться. Однако мы еще не вполне удовлетворены по следующим причинам: описание в (A:R) не совпадает с описанием, данным в (3:1:а) и (3:1:Ь); именно, (A:R) требует несколько меньшего в (IV) (в (3:1 :Ь) утверждение касается всех и и v, а (IV) лишь тех и и у, для которых и <С v); кроме того, в (I) и (II) вводится произвольное нормирование (с помощью произвольных и* и v*). Теперь мы займемся ликвидацией этих несоответствий. Это делается совсем просто. Сначала распространим (IV) из (A:R).

<А:Т) Всегда (1 - у) и + уи = и.

Доказательство. Смотря по знаку в соотношении и (1 - у) и + уи, будем говорить, что у принадлежит классу I (верхний класс) или классу II (нижний класс). Если-у принадлежит классу I или II и если 0 < р < 1, то

и$ (1-Р)м + Р((1-7)> + 7)(1-т) + 7

на основании (3:В:а) и (3:В:Ь). (Для у соответственно из I или II класса. Сначала возьмем и, (1 - у) и + уи, Г - р соответственно в качестве и, v, а в (3:В:а) или в (3:В:Ь). Затем возьмем (1 - у) и + уи, и, р соответ-

ственно в качестве и, и, а в (3:В:Ь) или в (3:В:а).) По (3:С:а) и (3:С:Ь) (с и, и, р, у соответственно в качестве и, и, а, Р) мы получаем

(1 - Р) и + р ((1 - у) и + уи) = (1 - Рт) и + $уи.

Значит, и (1 - Ру) и + Pyw $ (1 - y) w + Положим б = Ру. Так как р выбирается свободно из 0 < р < 1, число б может быть любым из 0 < б <С у. Принимая 0<7<1и0<;б<;1, мы имеем поэтому следующее:

(А:9) Если 7 принадлежит классу I или II, то каждое б < 7 при-

надлежит тому же классу, I или II.

(А:10) В условиях (А:9) соответственно должно быть

(1 - б) и + 8и (1 - 7) и + уи.

Выражение (1 - 7) и + уи не изменится, если мы заменим 7 на 1 - 7. Так как 1 - 7 < 1 - б равносильно 7 > б, мы можем в (А:9) заменить 7 и б соответственно на 1 - 7 и 1 - б. Тогда (А:9) и (А:10) соответственно приобретают вид

(А:11) Если 7 принадлежит классу I или II, то любое б>7 при-

надлежит тому же классу, I или И.

(А: 12) В условиях (А: 11) соответственно должно быть

(1 - б) и -f- 8и (1 - 7) и + уи.

Теперь (А:9) и (А:11) показывают, что если 7 из класса I или II, то каждое б (< 7 или = 7, или > 7) из того же класса, I и II. Следовательно, если один из классов I или II непуст, то он содержит все б, для которых 0 < б < 1. Предположим, что это имеет место (для класса I или II), и рассмотрим 7 и б, для которых 7 < б. Тогда по (А:10) должно быть (1 - б) и + 6w (1 - 7) и + уи, а по (А:12) (с б, 7 соответственно в качестве 7, б) (1 - б) и + Ьи =g (1 - 7) и + уи. Значит, в обоих случаях в (1 - б) и + бгг 5g (1 - 7) и + уи имеют место оба знака <С и >. Получили противоречие. Поэтому оба класса, I и II, должны быть пустыми.

Следовательно, никогда не может быть и (1 - 7) и + уи\ значит, всегда (1 - 7) и + уи = и, что и требовалось доказать.

(A:U) Всегда

h ((1 -7) и+ yv) = (1 -7) h (u)+yh (v) (0<7<1, & и в. v любые).

Доказательство. Для и <. и - это (A:R), (IV). Для и > v это получается из только что установленного заменой и, и, у на и, и, 1 - 7. Для и = v это следует из (А:Т).

Теперь мы сможем доказать теорему существования и единственности в требуемой форме, т. е. в соответствии с (3:1:а) и (3:1:Ь). Начиная с этого места мы опустим предположение о фиксированном выборе и* и у*, введенных ранее в (А:М).

(A:V) Существует отображение

w -> v (w)

всех w на некоторое множество чисел, обладающее следующими

свойствами:

(I) монотонность;

(II) для 0 < у < 1 и любых и и и

v ((1 - у) и + yv) = (1 - у) v (и) + YV (*>)

(A:W) Для любых двух отображений v(w) и v(iy), обладающих свой-

ствами (I), (II), должно быть

v (w) = CO0V (ш) + G>1

при некоторых подходящих, но фиксированных со0 и со1? причем со0>0.

Доказательство. Пусть и* и у* - две различных полезности х), гг* у*.

Если г/* > у*, то поменяем гг*, у* ролями. Таким образом, в любом случае мы можем считать, что и* <<у*. Используем эти гг* и у* для построения h (w), т. е. для (A:L) - (A:U). Теперь мы докажем

(A:V). Отображение

w -> h (w)

удовлетворяет (I) ввиду (A:R), а (III) и (II) ввиду (A:U).

(A:W). Рассмотрим сначала \(w). По (I) должно быть v (и*) < v (у*). Положим

v (w) - v (и*)

h{ (W) :

v (v*) - v (и*)

Тогда hi (w) удовлетворяет (I) и (II) из (A:R) автоматически, a (III), (IV) из (A:R) по установленным (I) и (II). Следовательно, ввиду (A:S) должно быть hi (w) = h (w), т. е. (А: 13) v (w) = a0h (w) + a4,

где a0 и a4 - фиксированные числа: a0 = v (у*) - v (и*) > О и a4 = v (и*). Аналогично для v (w) мы имеем

(А: 14) v (w) = a0h (w) + o,

где a0 и - фиксированные числа: a0 = v(v*)-v(u*)>0 и а = у (u*) Теперь (A: 13) и (A: 14) дают вместе

(A: 15) v (w) = co0v (w) + соь

где co0 и coi - фиксированные числа: со0 = > 0, = aoaiaiOS° Это и есть нужный результат.

А.З. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

А.З Л. (A:V) и (A:W), очевидно, образуют теорему существования и единственности, сформулированную в п. 3.5.1. Следовательно, утверждения из пп. 3.5-3.6 установлены во всей их полноте.

х) Говоря более точно, аксиомы допускают случай несуществования двух различных полезностей. Такая возможность едва ли представляет интерес, однако мы можем с ней легко справиться. Если двух различных полезностей нет, то их число должно быть либо нуль, либо один. В первом случае наши утверждения выполняются тривиально. Предположим поэтому, что имеет место второй случай: существует одна и только одна полезность w0. Функция на ней обязана быть константой: v (w0) = = a0. Любая такая функция обладает свойствами (I) и (II) из (A:V). Тогда в (A:W), с v (м?)=ао, V (w) = а£, мы выбираем 0О = 1 и (о± = а0 - а0.