Здесь мы советуем читателю вернуться к анализу понятия полезности и ее числового выражения, проведенному в пп. 3.3 и 3.8. Имеется два вопроса, которые там рассмотрены или, во всяком случае, упомянуты, но которые представляются достойными повторения.

А.3.2. Первый из этих вопросов касается связи между нашей процедурой и понятием дополнительности. Аддитивная формула, подобная (3:1 :Ь), представляется выражением того, что мы предполагаем отсутствие какой бы то ни было дополнительности предметов, полезности которых смешиваются. Важно отдать себе отчет в том, что мы делаем это лишь в такой ситуации, где действительно не может быть никакой дополнительности. Как отмечалось в первой части п. 3.3.2, наши и и v являются полез-ностями не каких-то определенных (и возможно сосуществующих) благ или услуг, но воображаемых событий. Эти и и г; из (3:1 :Ь) фактически относятся к мыслимым альтернативно событиям и и и, из которых только одно, может быть, и станет реальным. Это значит, что (3:1 :Ь) имеет дело либо с обладанием и (с вероятностью а), либо с обладанием и (с вероятностью 1 - а), но так как ни в каком случае нельзя представить, что они имеют место одновременно, они никогда не могут дополнять друг друга в обычном смысле.

Следует заметить, что теория игр дает и некоторый адекватный путь к обращению с дополнительностью, когда это понятие применимо. Так, при вычислении значения v (S) для коалиции S (в игре п лиц), как это описано в § 25, должны быть учтены все возможные формы дополнительности между благами и между услугами. Кроме того, формула (25:3:с) выражает тот факт, что коалиция S [} Т может быть оценена выше, чем сумма значений двух составляющих ее коалиций S и Г. Следовательно, она выражает возможную дополнительность между действиями членов коалиции S и членов коалиции Т (см. также п. 27.4.3).

А.3.3. Второе замечание касается вопроса, дает ли наш подход возможность приписать такое же значение для потери, как и для равного ей (денежного) выигрыша; позволяет ли он применить понятие полезности или вредности (disutility) к азартным играм (даже когда ожидаемые значения сбалансированы), и т. д. Мы уже касались этих вопросов в последней части п. 3.7.1 (см. также сноски 1 и 2 на стр. 54). Однако несколько дополнительных, более конкретных замечаний могут оказаться полезными.

Рассмотрим следующий пример. Даниил Бернулли предполагал (см. сноску 1 на стр. 54), что полезность для игрока денежного выигрыша dx должна быть не только пропорциональна выигрышу dx, но также (считая выигрыш бесконечно малым, т. е. асимптотически для весьма малых выигрышей dx) обратно пропорциональна выраженной в деньгах общей сумме х, которой этот игрок обладает. Следовательно (при выборе надлежащих единиц числовой полезности), полезность этого выигрыша

есть ~ . Прирост полезности от обладания суммой по сравнению с x2j

- = In - . Превышение полезности от выигрыша

х х2

(конечной) суммы т] по сравнению с потерей той же суммы, есть In il! - ln = ln (l ~ 2)- Эта избыточность < 0, т. е. при одинаковых выигрышах и потерях последние более ощутимы, чем первые. Азартная игра 50% - 50% с равным риском является явно невыгодной.

Тем не менее бернуллиевская полезность удовлетворяет нашим аксиомам и подчиняется нашим выводам. Однако полезность от обладания х денежных единиц пропорциональна In х, а не х\ х 2).

Таким образом, подходящее определение полезности (которая в такой ситуации определяется из наших аксиом, по существу, единственным образом) исключает в этом случае ту конкретную полезность или ипрц-ность азартной игры, которая, на первый взгляд, ей присуща.

Мы остановились на бернуллиевской полезности не потому, что считаем ее особенно важной или более близкой к действительности, чем многие другие более или менее подобные ей конструкции. Единственной нашей целью было показать, что использование числовой полезности не обязательно содержит предположение о том, что 50%-50% азартную игру с равными денежными рисками следует рассматривать как индифе-рентную 3).

Более глубокой проблемой является формулировка системы аксиом, в которой азартная игра имеет при всех условиях определенную полезность или вредность и где, однако, числовые полезности, удовлетворяющие исчислению математических ожиданий, не могут быть определены каким-либо процессом, прямым или косвенным. В такой системе некоторые из наших аксиом заведомо не должны выполняться. В настоящее время трудно предсказать, какие аксиомы или группы аксиом больше всего подойдут для такой модификации.

А.3.4. Тем не менее имеются некоторые соображения по этому поводу.

Первое. Аксиома (3:А), или, конкретнее, (3:А:а), выражает линейность упорядочения всех полезностей, т. е. полноту индивидуальной системы предпочтений. Весьма сомнительно, что идеализация реальности, в которой верен этот постулат, является адекватной, или хотя бы удобной. Это значит, что можно стремиться допускать для двух полезностей и и v отношение несравнимости, обозначаемое через u\\v, которое означает, что не имеет места ни и = v, ни и > v, ни и <. и. Следует отметить, что употребительный метод кривых безразличия не вполне соответствует этой возможности. Действительно, в этом случае конъюнкция ни и > у, ни и <С и , соответствующая дизъюнкции либо и = и, либо и\\и и обозначаемая через uv, может рассматриваться как простое расширение понятия равенства (полезностей; см. также замечание по поводу истинного равенства в п. А.1.2).

Таким образом, если и\\и и и\\ и, то и и и можно заменить в любом отношении на и и и; например, в этом случае из и << v следует и < и. Значит, в частности, это следствие можно получить из и\\и и v = v, а также из и = и и v\\v\ Именно, беря и, w, и соответственно в качестве и, vr и и и, и, w в качестве и, и, v\ мы получим:

(А:16) Из и\\и и v<.w следует u<w.

(А:17) Ш u<iv и 171н; следует u<w.

1)В упомянутой выше игре 50% - 50% был равный риск, выраженный в ж, но не в In х.

2) На тот факт, что полезность х денежных единиц может быть выражена через ж, но не быть пропорциональной х, было обращено внимание в сноске 3 на стр. 44.

3) Как указывалось в замечании (1) в п. 3.7.3, мы не предполагали передач полезностей между различными лицами. Более строгая точка зрения, излагавшаяся в другом месте этой книги и обрисованная в п. 2.1.1, допускала передачу полезностей между игроками; она заставляет предполагать пропорциональность полезности и ее денежного измерения. Однако на данной стадии исследования это не имеет значения.

Л.З]

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Однако для действительно интересных случаев частично упорядоченных систем ни одно из утверждений (А:16) или (А:17) не верно. (См., в частности, второй пример в конце п. 65.3.2, с которым мы встречаемся также в сноске 1 на стр. 590, где указывается на его связь с понятием полезности. Это - упорядочение на плоскости, при котором и > v означает, что и имеет большие, чем у и, ординату и абсциссу).

Второе. В группе аксиом (3:В) аксиомы (3:В:а) и (3:В:Ь) выражают свойство монотонности, без которого было бы трудно обойтись. С другой стороны, аксиомы (3:В:с) и (3:B:d) выражают то, что известно в аксиоматике геометрии как аксиома Архимеда: сколь бы много полезность v ни превосходила (или была бы меньше, чем) полезность и и сколь бы мало полезность w ни превосходила (соответственно была бы меньше, чем) полезность и, если и примешать кис численно достаточной малой вероятностью, то эта смесь будет отличаться от и меньше, чем w. Быть может, желательно требовать сохранения этого свойства при всех условиях, так как отказ от него был бы равносилен введению бесконечных разностей между полезностями.

Замечание. По поводу аксиомы Архимеда в геометрической аксиоматике, где она возникла, см., например, книгу Д. Гильберта, упомянутую в сноске 1 на стр. 100. Ср. с аксиомой V.I в этой книге. Аксиома Архимеда широко использовалась в аксиоматике числовых систем и алгебр.

Имеется небольшое различие между трактовкой аксиомы Архимеда здесь и в цитируемой литературе. Мы свободно пользуемся понятием вещественного числа, в то время как обычно в соответствующей литературе этого избегают. Поэтому принятый подход состоит в возможности мажорировать большее количество соответствующим прибавлением меньшего (ср., например, гильбертову процедуру из указанной книги), в то время как мы минорируем меньшее количество (в нашемслучае разницу между полезностями w и и) умножением на соответственный малый множитель (в нашем случае коэффициент а) большего количества (в нашем случае разницы между v ж и).

Это различие чисто техническое и не влияет на концептуальную сторону вопроса. Читатель может заметить также, что мы говорим о таких количествах, как превышение и над и или превышение и над и или (объединяя обе эти возможности) разница между и и и (и, v - полезности), лишь для облегчения словесных выражений. Эти обороты не являются частью строгой, аксиоматической системы.

В этой связи стоит также сделать следующее замечание. Пусть дана произвольная линейно упорядоченная система полезностей 41, в которой не допускаются вероятностные комбинации событий и не дано числовой интерпретации полезностей. (Например, система, построенная на обычном упорядочении при помощи кривых безразличия. Линейность этого отношения, как было указано в первом замечании, следует из того, что его можно рассматривать как обобщение понятия равенства, т. е. трактовать введенное там отношение и v как равенство. В этом случае и v означает, конечно, что или лежат на одной и той же кривой безразличия.) Введем теперь события, происходящие с некоторыми вероятностями. Это означает, что мы вводим комбинации, скажем, тг (= 1, 2, . . .) событий с соответствующими вероятностями

а4 ...,ал (а4 . ..,ад0, 2аг = 1).

Это требует введения соответствующих (символических) комбинаций полезностей ащ + . . . + апип (щ, . . ., ип £ °IL). Эти комбинации ащ + . . . + апип (при любых п = 1, 2, . . . и любых аь . . ., ап и и4, . . ., ип, подчиненных указанным выше условиям) можно линейно упорядочить и не делая их числовыми-если допускать не-архимедовы упо-