рядочения. Действительно, сравнивая, скажем, ащ + . . . + ыпип j с -}-... -f- $mvm, мы можем принять, что п = т и что щ, . . ., ип \ и Vi, . . ., vm совпадают (запишем ахщ + . . . + апип + 0 + . . . + 0vm и 0! + . . . + 0ип + Pii + . . . + $mvm соответственно вместо I ОцЩ + + ®>пип и Piyi + + Pmm и заменим затем п + т; \ щ, . . ., ип; Vi, . . ., vm; а4, . . ап, 0, . . ., 0, р4, . . рт соответ- ственно на п; ии . . ., ип; аи . . ., ап; р4, . . ., р). Таким образом, достаточно сравнивать + . . . -f ou и р + . . . + $пип. Далее, при помощи надлежащей перестановки индексов 1, . . ., п сделаем так, чтобы было Ui > ... > ип. После этой предварительной подготовки положим aiUi +...-)- апип > р +...-)- $пип, если для наименьшего i (= 1, . . ., п), для которого otj Ф pf (скажем, i = i0), будет

Ясно, что эти полезности не числовые. Их не-архимедов характер становится ясным, если заметить, что сколь угодно малое превышение вероятностей Pi0 - asi0, соответствующих щ0, перевешивает любое возможное противоположное превышение рг - at оставшихся ии i = i0 -f- 1, ... . . ., п, т. е. полезностей < щ0. (Это, следовательно, исключает возможность применения критериев, подобных упомянутому в сноске 1 на стр. 44.) Очевидно, что здесь нарушаются наши аксиомы (3:В:с) и (3:B:d).

Ясно, что такое не-архимедово упорядочение противоречит нашим обычным представлениям о природе полезности и предпочтения. Если, с другой стороны, желательно определить для вероятностных систем полезности (и их упорядочение), удовлетворяющие аксиомам (3:А)-(3:С) и, следовательно, обладающие архимедовым свойством, то полезности должны быть числовыми, так как в этом случае применимы наши рассуждения из п. А.2.

Третье. Представляется вероятным, что действительно уязвимой для критики группой аксиом является (3:С) или, более конкретно, аксиома (3:С:Ь). Эта аксиома выражает правило комбинирования сложных случайных альтернатив, и представляется правдоподобным, что специфическая полезность или вредность азартной игры может иметь место лишь при отказе от этого простого правила комбинирования.

Некоторое изменение системы (3:А)-(3:С), включающее во всяком случае отказ от (3:С:Ь) или хотя бы радикальное изменение этой аксиомы, возможно, приведет к математически полному и удовлетворительному исчислению полезностей, которое будет охватывать и возможности специфической полезности или вредности азартной игры. Можно надеяться, что будет найден способ сделать это, однако математические трудности при этом представляются значительными. Конечно, это заставляет считать осуществление надежд на успешный подход при помощи чисто словесных средств еще более далеким.

Из сделанных выше замечаний ясно, что употребительный метод использования кривых безразличия не в силах преодолеть эти трудности. Он просто расширяет понятие равенства (см. первое замечание выше), но он не дает никаких полезных указаний, и тем более никаких конкретных предписаний, как трактовать ситуации, в которых участвуют вероятности, неизбежно связанные с ожидаемыми полезностями.

ДОБАВЛЕНИЕ

РАЗВИТИЕ-ТЕОРИИ ИГР

Н. Н. ВОРОБЬЕВ

Наступит день, когда, благодаря длившемуся несколько столетий изучению, вещи, ныне скрытые, явятся со всею своею очевидностью; и потомки наши изумятся, что столь очевидные истины ускользнули от нас.

Сенека

ВВЕДЕНИЕ

Обычно генеалогическое дерево представляется в виде дерева в смысле теории графов, в которых разветвление происходит от некоторого* единого корня . Родословная теории игр скорее напоминает дерево в первоначальном, ботаническом значении этого слова. Она имеет многочисленные разветвленные корни, уходящие в глубь веков, вырастающий из них ствол - книгу Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна - и мощную крону, в которой переплелись современные работы по теории игр. Плодоносить это дерево только начинает, и практические урожаи еще впереди.

Поэтому исторический ход развития теории игр, сначала как математизированной, а затем как математической дисциплины, естественным образом расчленяется на три этапа. Первый этап - до выхода в свет монографии Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна. Его можно назвать домоно-графическим . На этом этапе игра выступает пока еще как: конкретное состязание, описываемое своими правилами в содержательных терминах. Лишь в конце его Дж. фон Нейман вырабатывает представление об игре как об общей модели абстрактного конфликта. Итогом этого этапа явилось накопление ряда конкретных математических [результатов и даже отдельных принципов будущей теории игр.

Второй этап составляет сама монография Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна, объединившая в себе большинство ранее полученных (впрочем, по современным математическим масштабам довольно немногочисленных) результатов. Она впервые представила математический подход к играм (как в конкретном, так и в абстрактном понимании этого слова) в виде систематической теории. Немного можно указать таких книг в истории математики, которые подобно монографии Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна создавали, фактически на пустом месте , сложную, важную и притом весьма нетрадиционную математическую дисциплину.

Наконец, на третьем этапе теория игр в своем подходе к изучаемым объектам мало чем отличается от других разделов математики и развивается в значительной мере по общим с ними закономерностям. При этом, разумеется, существенное влияние на формирование направлений теории игр оказывает специфика ее практических приложенний, как фактических, так и возможных.

Сказанное определяет и общее построение данной обзорной статьи. Ее главы соответствуют указанным этапам истории теории игр. Разумеется, данная статья не может претендовать на исчерпывающее изложение всех фактов, важных для истории теории игр. Последняя должна стать предметом специальных исследований.